Контрольная работа выс мат. готовая контрольная работа 2. Решение а Ответ б Тогда Ответ

• Название: Решение а Ответ б Тогда Ответ
• Анкор: Контрольная работа выс мат
• Дата: 10.03.2023
• Размер: 234.31 Kb.
• Имя файла: готовая контрольная работа 2.docx
• Тип: Решение; #979335

Контрольный блок задач М6.
6.01-6.10 (а, б). Решить задачу Коши.
_{6.01. а)}

б)

Решение:

_а)



Ответ:

б)



Тогда



Ответ:

6.11-6.20. Составить таблицу численного решения методом Эйлера дифференциального уравнения =f(x,y) при начальном условии y(x₀)=y₀ на отрезке [a,b] c шагом h. По полученным данным построить интегральную кривую.

		Задачи	f(x,y)	[a,b]	x0	y0	h
		6.101.		[2,4]	2	1	0.2

Решение:

Найдем каждое последующее значение по формуле



Получим рассчетную таблицу:

0	2	1	-0,1	-0,02
1	2,2	0,98	-0,087	-0,0174
2	2,4	0,9626	-0,07641	-0,01528
3	2,6	0,947318	-0,06766	-0,01353
4	2,8	0,933786	-0,06035	-0,01207
5	3	0,921715	-0,05418	-0,01084
6	3,2	0,910879	-0,04891	-0,00978
7	3,4	0,901097	-0,04439	-0,00888
8	3,6	0,892219	-0,04047	-0,00809
9	3,8	0,884126	-0,03705	-0,00741
10	4	0,876717	-0,03405	-0,00681

Отложив на оси абсцисс значения , а на оси ординат – значения , получим интегральную кривую:



6.21-6.30 (а, б, в). Найти общие решения однородных дифференциальных уравнений.

6.21.

а) ,

б) ,

в) .
Решение:

а) ,
Характеристическое уравнение:



Тогда



Ответ:

б) ,

Характеристическое уравнение:



Тогда



Ответ:

в) .

Характеристическое уравнение:



Тогда



Ответ:

6.31-6.40 (а, б). Найти общее решение дифференциальных уравнений.

6.31. a) (2y+1)sin²xdy+5y dx=0; б) ysinx+ycosx=2x.

Решение:

1. 
   (2y+1)sin²xdy+5y dx=0;
   

Ответ: Общий интеграл

б) ysinx+ycosx=2x.



Выполним замену



Получим:



Положим



Тогда



Тогда



Ответ:

6.41-6.50 (а, б). Решить задачу Коши.

6.41. а) y=(2x+3)/(4y+5), y(0)=1;

б) (y–2x+3)dx+(x–y+3)dy=0, y(1)=2.

Решение:

а) y=(2x+3)/(4y+5), y(0)=1;





Ответ:

б) (y–2x+3)dx+(x–y+3)dy=0, y(1)=2.

Решение:



– имеем уравнение в полных дифференциалах.

Получим систему:



Из первого уравнения



Откуда



Тогда общий интеграл уравнения имеет вид:





Ответ:

6.51-6.60 (а, б). Найти общие решения дифференциальных уравнений.

6.51. а) y=y/x, б) y+4y=1/sin(2x).

Решение:

а) y=y/x,

Выполним замену:



Получим:



Тогда



Ответ:

б) y+4y=1/sin(2x).

Характеристическое уравнение:



Тогда общее решение однородного уравнения



Положим



Тогда



Положим



Тогда



Подставим найденные значения в исходное уравнение:



Вместе с уравнением (*) получим систему:



Из второго уравнения



Подставим в первое уравнение:





Тогда



Ответ:

6.61-6.70 (а, б). Решить задачу Коши.

6.61. а) y+4y+4y= 4x²+4x+6, у(0)=1, y(0)=0.

б) y–5y+6y= –e^2x, у(0)=0, y(0)=0.

Решение:

а) y+4y+4y= 4x²+4x+6, у(0)=1, y(0)=0

Характеристическое уравнение:



Тогда общее решение однородного уравнения



Частное решение будем искать в виде



Подставим найденные значения в исходное уравнение:



Тогда





Ответ:

б) y–5y+6y= –e^2x, у(0)=0, y(0)=0.

Характеристическое уравнение:



Тогда общее решение однородного уравнения



Частное решение будем искать в виде



Подставим найденные значения в исходное уравнение:



Тогда





Ответ:
6.71-6.80. Найти общее решение дифференциального уравнения.
6.71. y–2y=(x+1)e^2x+2xe^3x.

Решение:

Характеристическое уравнение:



Тогда общее решение однородного уравнения



Частное решение будем искать в виде



Подставим найденные значения в исходное уравнение:



Тогда





Ответ:

6.81. Локомотив уменьшил скорость с 10 м/с до 5 м/с за 60 с. Полагая силу торможения пропорциональной квадрату скорости движения локомотива, определить время, необходимое для достижения скорости 2 м/с.

Решение:

По условию, сила торможения , где – скорость, – коэффициент пропорциональности.

С другой стороны, , где – масса, – ускорение.

Получим:



С другой стороны, по условию,



Откуда





Тогда



Найдем момент времени, при котором скорость локомотива равна 2 м/с:



Ответ: 240 с.

6.91-6.100. Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
6.91.

Решение:

Из первого уравнения

.

Подставим во второе уравнение:



Характеристическое уравнение:



Тогда





Ответ: