Задача_8. Задача 8
 Скачать 319.27 Kb.
|
 Задача 8
Решение: Для решения начально-краевой задачи (1) − (3) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде  Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1)  Разделим равенство на   т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x. В результате переменные разделяются, и получается два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения   Подставляя  в виде  в граничные условия (2), получим Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то  Таким образом, для функции  получили задачу Штурма-Лиувилля Общее решение уравнения имеет вид  Неизвестные коэффициенты  найдем из граничных условий  Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений  задачи Штурма-Лиувилля  Собственные значения задачи равны  Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)  Уравнение для функции  примет вид Общее решение этого уравнения имеет вид  Решение исходной задачи представим в виде ряда Коэффициенты  этого ряда найдем из начального условия (3) Коэффициенты представляют собой коэффициенты разложения функции  в ряд Фурье по собственным функциям   Таким образом, решение исходной начально-краевой задачи имеет вид  Учитывая, что  функцию можно записать как  Ответ: |
