lab_7_Определение момента инерции. Лабораторная работа 7 определение момента инерции и проверка теоремы гюйгенсаштейнера методом крутильных колебаний цель работы определение моментов инерции тел с помощью трифилярного подвеса и проверка теоремы Гюйгенса Штейнера.
 Скачать 145.65 Kb.
|
|
Лабораторная работа №7 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ГЮЙГЕНСА-ШТЕЙНЕРА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ Цель работы определение моментов инерции тел с помощью трифилярного подвеса и проверка теоремы Гюйгенса - Штейнера. Оборудование трифилярный подвес, секундомер, набор грузов, измерительная линейка. Теория Момент инерции тела I относительно оси есть физическая величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг этой оси и равная где r – расстояние элемента массы dm до оси вращения. Интегрирование проводится по всей массе тела m. Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением или измерить экспериментально, например, с помощью трифилярного подвеса. Трифилярный подвес (рис) представляет собой круглую платформу, подвешенную на трех симметрично расположенных нитях, укрепленных у краев этой платформы. Наверху эти нити также симметрично прикреплены к диску меньшего диаметра. Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, перпендикулярной к ее плоскости и проходящей через ее центр тяжести, который перемещается вдоль оси вращения. Период колебаний определяется величиной момента инерции платформы он будет другим, если платформу нагрузить каким - либо телом этими пользуются в настоящей работе. Если платформа массой m, вращаясь водном направлении, поднялась на высоту h, то приращение ее потенциальной энергии будет равно Е = mgh, где g - ускорение силы тяжести. Вращаясь в другом направлении, платформа придет в положение равновесия с кинетической энергией, равной 2 0 2 2 1 ω I E = , Рис. 1. R O r C A B r R A A 1 O O 1 B α C C 1 Рис. 2. где I - момент инерции платформы, ω 0 - угловая скорость платформы в момент достижения ею положения равновесия. Пренебрегая работой сил трения, на основании закона сохранения механической энергии имеем ЕЕ) Считая, что платформа совершает гармонические колебания зависимость углового смещения платформы от времени запишется в виде t T π α ϕ 2 cos = , где ϕ - угловое смещение платформы, α - амплитуда смещения, Т - период колебаний, t - текущее время. Угловая скорость ω , являющаяся первой производной углового смещения повремени, выражается так В момент прохождения через положение равновесия ( ,... 4 5 , 4 3 , 4 1 T T T t = ) абсолютное значение этой величины будет равно T πα ω 2 0 = (2) На основании формул (1) и (2) имеем 2 2 2 1 = T I mgh πα (3) Eсли l - длина нитей подвеса, R - расстояние от центра платформы до точек крепления нитей на ней, r - радиус верхнего диска, то легко видеть рис, что 1 2 1 2 1 Так как ( ) 2 2 2 2 2 r R l AC AB BC − − = − = , ( ) α cos 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 Rr r R l C A B A BC − + − = − = , то ( ) 1 2 1 2 sin 4 cos 1 Синус малых углов отклонения можно заменить значением угла α , а величину знаменателя, при выполнении условия (R - r) << BC, положить равной 2l. Учитывая это, получим l Rr h 2 Подставляя в (3), найдем 2 2 2 2 1 Откуда 2 2 4 T l mgRr I π = (4) Так как все величины в правой части формулы (4) могут быть непосредственно измерены, она может быть использована для экспериментального определения момента инерции платформы. Выполнение работы 1. Определение момента инерции пустой платформы. С помощью штангенциркуля и измерительной линейки найдите радиус нижней платформы R, радиус верхней платформы r и длину нитей l. Масса платформы в г выгравирована на ее нижней поверхности. Повернув платформу на небольшой угол, при помощи секундомера измерьте время некоторого числа полных колебаний (n 0 =50 - 100). Данное количество колебаний дает возможность достаточно точно определить величину периода колебаний 0 0 0 n t T = . По (4) найдите момент инерции пустой платформы I 0 . Измерения повторите 5 раз. Результаты вычислений занесите в табл. R , мм, м Таблица 1 № t 0 , c n 0 T 0 , c m 0 , кг I 0 , кг ⋅ м 2 ∆ I 0 , кг ⋅ м 2 ε , % 1 2 3 4 5 Ср. 2. Определение момента инерции исследуемого тела. Взвесив исследуемое тело, найдите его массу m 1 . Поместите тело в центр платформы и вновь определите период колебаний Т системы. Воспользовавшись (4), вычислите момент инерции всей системы I, принимая ее массу m равной сумме масс тела и платформы 1 0 m m m + = . Величина момента инерции тела определяется как разность моментов инерции системы I и платформы I 0 0 1 I I I − = , где 0 I - среднее значение момента инерции пустой платформы. Измерения повторите 5 раз. Результаты занесите в табл. 2. Таблица 2. № t 1 , с n 1 T 1 , с m 1, кг m=m 0 +m 1, кг I, кг ⋅ м 2 I 1 , кг ⋅ м 2 ∆ I, кг ⋅ м 2 ε , % 1 2 3 4 5 Ср. 3. Проверка теоремы Гюйгенса-Штейнера. Для проверки теоремы Гюйгенса - Штейнера при помощи трифилярного подвеса необходимы два одинаковых тела. Взвесив грузы, определите суммарную массу этих тел m 2 . Положив два груза один на другой в центр платформы измерьте период колебаний Т системы. По (4) вычислите момент инерции обоих тел вместе с платформой I. Момент инерции двух грузов I оси относительно оси, проходящей через их центр масс равен оси, где 0 I - среднее значение момента инерции пустой платформы. Измерения повторите 5 раз. Результаты внесите в табл. Таблица 3. № t 2 , с n 2 T 2 , с m 2 , кг m=m 0 +m 2 кг I, кг ⋅ м 2 I оси , кг ⋅ м 2 ∆ I оси , кг ⋅ м 2 ε , % 1 2 3 4 5 р. Расположите оба тела симметрично относительно центра платформы на расстоянии d от него. Тела кладите на платформу строго симметрично, так, чтобы не было перекоса платформы. Для этого на платформе нанесены концентрические окружности на определенном расстоянии друг от друга. Найдите период колебаний Т 3 и момент инерции I системы. Экспериментально найденный момент инерции двух тел относительно оси, находящейся на расстоянии d от центра масс каждого тела, вычислите по формуле 0 I I I экспер − = Измерения повторите 5 раз. Результаты занесите в табл. Таблица 4. № t 3 , с n 3 T 3 , с m 2 , кг m=m 0 +m 2 , кг I, кг ⋅ м 2 I экспер , кг ⋅ м 2 ∆ I экспер , кг ⋅ м 2 ε , % 1 2 3 4 5 Ср. Согласно теореме Гюйгенса – Штейнера момент инерции I тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями Следовательно, теоретический момент инерции двух тел I теор относительно оси, проходящей через центр платформы, равен сумме момента инерции тел относительно оси, проходящей через их центр масс оси, и произведения массы грузов на квадрат расстояния d между осями 2 2 d m I I оси теор + = , (5) где оси - среднее значение момента инерции тел относительно оси, проходящей через их центр масс (берется из табл. 3), d - расстояние от центра масс груза до центра платформы. Сравните результаты расчета по (5) со средним значением I экспер из табл. Найдите относительную погрешность измерения момента инерции по формуле % 100 ⋅ − = теор теор экспер I I I ε экспер I , кг ⋅ м 2 теор, кг ⋅ м 2 ε , % Контрольные вопросы 1. При каких упрощающих условиях получена формула (4)? 2. Какие факторы ограничивают точность опытов 3. Можно ли пользоваться предложенным методом для определения моментов инерции тел в том случае, если ось вращения платформы не проходит через центр тяжести 4. Сформулируйте и докажите теорему Гюйгенса - Штейнера. Литература 1. Савельев ИВ. Курс общей физики, Т Механика, колебания и волны, молекулярная физика. - М Наука, 1973. 2. Стрелков С.П.. Механика. - М Наука, 1975. 3. Хайкин С.Э. Физические основы механики - М Наука, 1971. |