22_Бикинеев_08. Лабораторная работа 8 Исследование простейшей демографической модели Мальтуса

• Название: Лабораторная работа 8 Исследование простейшей демографической модели Мальтуса
• Дата: 22.01.2023
• Размер: 102 Kb.
• Имя файла: 22_Бикинеев_08.doc
• Тип: Лабораторная работа; #899502

Лабораторная работа №8

Исследование простейшей демографической модели Мальтуса.

1. Постановка задачи и теория

1.1. Теория

В огром­ном числе случаев при попытке построить модель какого-либо объекта либо невозможно прямо указать фундаментальные законы или вариа­ционные принципы, которым он подчиняется, либо, с точки зрения наших сегодняшних знаний, вообще нет уверенности в существова­нии подобных законов, допускающих математическую формулировку. Одним из плодотворных подходов к такого рода объектам является использование аналогий с уже изученными явлениями. Что, казалось бы, общего между радиоактивным распадом и динамикой популяций, в частности изменением численности населения нашей планеты? Од­нако на простейшем уровне такая аналогия вполне просматривается, о чем свидетельствует одна из в простейших моделей популяций, назы­ваемая моделью Мальтуса. В ее основу положено простое утвержде­ние — скорость изменения населения со временем t пропорциональна его текущей численности N(t), умноженной на сумму коэффициентов рождаемости α≥0 и смертности β≤0. В результате приходим к уравнению

dN(t)/dt = [α(t) –β(t)]N(t)

весьма похожему на уравнение радиоактивного распада и совпадаю­щего с ним при α < β (если α и β постоянные).

1.2. Объект исследования

В данной лабораторной работе объект исследования - количество населения N в некоторой области. Оно обусловлено параметрами α(t) (рождаемость) и β(t) (смертность). α≥0, β≤0.

1.3. Постановка задачи

1.) Предложите зависимости от времени коэффициентов α и β в дифференциальном уравнении для численности популяции, реалистично описывающие ее динамику.

2.) Исследуйте модель, учитывающую равновесную численность популяции, используя как полученное на лекции аналитическое решение, так и численное решение задачи Коши (см. процедуры ode23 ode45).

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

2.1. Простая модель Мальтуса

2.1.1 Описание

Будем рассматривать только одну характеристику, количество популяции в момент времени t.

Введём обозначения:

α(t) – рождаемость;

β(t) – смертность.

Тогда получаем, что количество рождённых Nα и умерших Nb зависит от α(t) и β(t) соответственно как:

Nα= α*N*Δt

Nβ= β*N*Δt

ΔN= Nα- Nβ= α*N*Δt- β*N*Δt

При устремлении Δt->0, получаем дифференциальное уравнение:

dN(t)/dt = [α(t) –β(t)]N(t)

Далее решаем задачу Коши:



Возьмём α  и β  равными const.

Возможны три случая

α = β, тогда уравнение принимает вид: N(t)=N(0)=N;
α < β, тогда уравнение принимает вид: N(t)=exp[(α-β)*t]*N;

α > β, тогда уравнение принимает вид: N(t)=exp[(α-β)*t]*N;

2.1.2. Листинг

>> t=[0:1:100];

>> a=0.01;

>> b=0.02;

>> n0=100;

>> x=(t-t+1)*n0;

>> x1=exp(t*(a-b))*n0;

>> x2=exp(t*(b-a))*n0;

>> plot(t,x,'r-',t,x1,'k-',t,x2);

2.1.3. Результат

2.2. Усложненная модель Мальтуса

2.2.1. Описание и листинг

Пусть теперь α и β – не константы. Пусть α(t) = 0.05*sin^2(x)+0.04, β(t)= 0.03*sin^2(x)*cos^4(x)+0.03.

Для исследования зависимости численности от времени воспользуемся процедурой ode45. Создадим файл func.m с функцией fun_1:
function func=func(t,n)

%

func=0.067*(sin(t))^2*n+0.06-n*(0.03*(sin(t))^2*(cos(t))^2+0.03);
Далее:

>> [t,N]=ode45('func',[0 100],400);plot(t,N,'r')

2.2.2. Результат

3. Вывод

В простой модели Мальтуса при α=β численность остаётся постоянной, т.е. в этом случае решением уравнения является равновесная величина N(0). Равновесие между рождаемостью и смертностью неустойчиво в том смысле, что даже небольшое нарушение равенства α=β приводит с течением времени ко всё большему отклонению функции N(t) от равновесного значения N(0). При α<β численность населения убывает и стремится к нулю при t->∞, а при α>β растёт по некоторому экспоненциальному закону, обращаясь в бесконечность при t->∞,. Последнее обстоятельство и послужило основанием для опасения Мальтуса о грядущем перенаселении Земли со всеми вытекающими отсюда последствиями.