Лабораторная работа 9Аппроксимация
 Скачать 2.82 Mb.
|
|
3 Пример. Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение 70 года равна p = 0.002. Какова вероятность отказа двух элементов за год? Какова вероятность отказа не менее трёх элементов за год? Решение: Будем рассматривать работу каждого элемента как отдельное испытание. По формуле Пуассона при n=1000, k = 3, p = 0.002, λ = np = 1000*0,002 = 2 Обозначим через P1000(> 3) вероятность отказа не менее четырех элементов за год. Переходя к противоположному событию, вычислим P1000(> 3) как: Код в Python будет выглядеть так: import matplotlib.pyplot as plt from matplotlib import mlab import numpy as np 71 import pylab def F (n): f=1 for i in range(n): f=f*(i+1) return f n = float(input("Введите, сколько всего предметов: ")) p = float(input("Введите вероятность поломки: ")) λ=n*p rlist=[] xmax = 3.0 dx = 1 for m in range (int(xmax/dx)+1) : pr=λ**m/F(m)*np.exp(-λ) rlist.append(pr) print("p(0) =",rlist[0]) print("p(1) =",rlist[1]) print("p(2) =",rlist[2]) print("p(3) =",rlist[3]) print("Вероятность отказа не менее трех элементов за год =",1 - (rlist[0] + rlist[1] + rlist[2] + rlist[3])) plt.ylabel('Вероятность') pylab.plot ([0,1,2,3],[rlist[0],rlist[1],rlist[2],rlist[3]]) pylab.show() Вывод: В ходе выполнения данной лабораторной работы мы изучили, что такое распределение Пуассона, а также смоделировали его в Python, решив три задачи на данную тему и вывив на экран графики, характеризующие распределение Пуассона, при этом для построения данных графиков, мы воспользовались библиотекой matplotlib и numpy. 72 Лабораторная работа №16: Нормальное распределение вероятностей Нормальный закон распределения очень часто встречается на практике. Объяснить причины этого впервые удалось Ляпунову. Он показал, что если случайная величина может рассматриваться как сумма большого числа малых слагаемых, то при достаточно общих условиях закон распределения этой случайной величины близок к нормальному независимо от того, каковы законы распределения отдельных слагаемых. А так как практически случайные величины в большинстве случаев бывают результатом действия множества причин, то нормальный закон оказывается наиболее распространённым законом распределения . Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины X распределенной по нормальному закону выражается формулой Кривая распределения изображена на рис. Она симметрична относительно точки x=a (точка максимума). При уменьшении σ ордината точки максимума неограниченно возрастает, при этом кривая пропорционально сплющивается вдоль оси абсцисс, так что площадь под её графиком остаётся равной единице Укажем числовые характеристики нормально распределённой случайной величины (математическое ожидание и дисперсия): M(X)=a; D[X]= σ 2 73 Таким образом, параметры a и σ в выражении нормального закона распределения представляют собой математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение случайной величины. Принимая это во внимание, формулу нормального закона можно представить следующим образом: Эта формула показывает, что нормальный закон распределения полностью определяется математическим ожидание и дисперсией случайной величины. Таким образом, математическое ожидание и дисперсия полностью характеризуют нормально распределённую случайную величину. Разумеется, что в общем случае, когда характер закона распределения неизвестен, знание математического ожидания и дисперсии недостаточно для определения этого закона распределения. Код для использования в Python: #Модель нормального распределения #import matplotlib.pyplot as plt from matplotlib import mlab import numpy as np import pylab import math a=20 σ1=6 σ2=3 rlist1=[] rlist2=[] #Указываем X наименьшее и наибольшее xmin = 0.0 xmax = 100 # Шаг между точками dx = 1 74 #вычисляем значения вероятности при разных значениях x for i in range (int(xmin/dx),int(xmax/dx)+1) : x=i*dx pr1=1/(math.sqrt(σ1*math.pi))*np.exp(-((x-a)**2/(2*σ1**2))) pr2=1/(math.sqrt(σ2*math.pi))*np.exp(-((x-a)**2/(2*σ2**2))) rlist1.append(pr1) rlist2.append(pr2) #Нарисуем графики функциий pylab.plot (rlist1) pylab.plot (rlist2) pylab.legend ( ("Распределение Гаусса a=20,σ=6", "Распределение Гаусса a=20,σ=3") ) pylab.grid() pylab.show() 75 Код в Python будет выглядеть так: Задача 1 76 Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием a=15 ден. ед. и средним квадратическим отклонением σ=0,2 ден. ед. Найти вероятность того, что цена акции: а) равна 15,3 ден. ед. #Модель нормального распределения #import matplotlib.pyplot as plt from matplotlib import mlab import numpy as np import pylab import math a=15 σ1=0.2 rlist1=[] #Указываем X наименьшее и наибольшее xmin = 0.0 xmax = 20 # Шаг между точками dx = 1 #вычисляем значения вероятности при разных значениях x for i in range (int(xmin/dx),int(xmax/dx)+1) : x=i*dx pr1=1/(math.sqrt(σ1*math.pi))*np.exp(-((x-a)**2/(2*σ1**2))) rlist1.append(pr1) #Нарисуем графики функциий pylab.plot (rlist1) pylab.legend ( ("Распределение Гаусса a=15,σ=0,2")) pylab.grid() pylab.show() 77 Код в Python Вывод: В данной лабораторной работе был изучен нормальный закон распределения (закон Гаусса). Была построена модель нормального распределения на основе определения математического ожидания и дисперсии случайной величины, построение осуществлялась с помощью программы Python. 78 По лабораторной работе № 17 «Математическое ожидание. Дисперсия. Теория вероятности в Биткойнах» Аннотация При одноранговом устройстве денежной системы можно совершать электронные транзакции между участниками напрямую, минуя любые финансовые институты. Такая задача частично решается использованием цифровой подписи, но необходимость доверенного лица для контроля за двойной тратой лишает подход всех преимуществ. Мы предлагаем децентрализованное решение данного вопроса. Пиринговая сеть ставит метки времени на транзакции, хешируя их друг за другом в цепочку с доказательством проделанной работы. Сформированные таким образом записи невозможно изменить, не выполнив заново всего объема вычислений. Самая длинная версия цепочки служит не только подтверждением очередности событий, но и доказывает, что над ней произвел работу крупнейший вычислительный сегмент сети. Пока наибольшая часть мощностей удерживается узлами, не объединенными целью атаковать сеть, они будут генерировать самую длинную цепочку, опережая злоумышленников. Устройство самой сети очень простое: сообщения рассылаются на основе принципа «наименьших затрат», а узлы могут покидать сеть и снова подключаться в любой момент, принимая самую длинную версию цепочки для восстановления пропущенной истории транзакций. Рассмотрим теперь, как долго получателю платежа стоит ждать, прежде чем он будет полностью уверен, что бывший владелец не сможет отменить транзакцию. Мы предполагаем, что злоумышленник-отправитель позволяет адресату некоторое время верить, что платеж был проведен, после чего возвращает деньги себе. Получатель узнает об этом, но мошенник надеется, что будет уже слишком поздно. После отправки платежа мошенник начинает втайне работать над параллельной версией цепочки транзакций, содержащей альтернативную транзакцию. Получатель ждет, пока транзакция не будет добавлена в блок и пока тот не будет продолжен еще z блоками. Ему неизвестен прогресс злоумышленника, но если средняя скорость генерации честных блоков — известная величина, то число блоков нападающего 79 подчиняется распределению Пуассона с математическим ожиданием где p-вероятность честных транзакций, q=1-p. Чтобы получить вероятность того, что атакующий обгонит честных участников, мы умножаем значение случайной величины (число созданных им блоков) на вероятность того, что он сможет наверстать оставшуюся разницу: Перегруппировав слагаемые и избавясь от бесконечного ряда, получаем: Это распределение называют распределением Сатоши Накамото. Задание 1 В основополагающей статье Сатоши Накамото о цифровой пиринговой наличности (Bitcoin) проведен расчет вероятности E(z) создания злоумышленником цепочки транзакций длиной z E(z)= где λ=zq/p; q=1-p; p - вероятность появления честного блока транзакций q - вероятность появления блока транзакций злоумышленника Построить кривую E зависимости от z вероятности создания злоумышленником цепочки транзакций длиной z на интервале z = [0,20] при p=0.9, q=1-p. Вывести кривую на терминал. Задание 2 На кривой Накамото где p=0.9; λ=zq/p; q=1-p; найти точку z0 где E<0.001. Код в Python выглядит так: 80 #Модель распределения Сатоши Накамото import matplotlib.pyplot as mlab import numpy as np import pylab import math p = 0.9 q = 1 - p rlist1 = [] #Указываем z наименьшее и наибольшее zmin = 4 zmax = 6 81 # Шаг между точками dz = 1 #Функция вычисления факториала def F (n): f = 1 for i in range(n): f = f*(i+1) return f #вычисляем значения вероятности при разных значениях z for i in range(int(zmin/dz),int(zmax/dz)+1) : z = i*dz λ = z*q/p e = 1 for j in range (0,int(z)) : k = j*dz e=(1/(1-λ**k*np.exp(-λ)/(F(k)*(1-(q/p)**(z-k))))-1) rlist1.append(e) #Создадим список координат по оси Z на отрезке [zmin; zmax] zlist = mlab.frange (zmin, zmax, dz)#Нарисуем графики функциий pylab.plot (rlist1) pylab.legend (("Распределение Накамото p=0.1")) pylab.grid() pylab.show() Вывод: В данной лабораторной работе была показана система электронных транзакций, 82 не основанная на доверии. Построение схемы происходило с традиционного представления монет на основе цифровых подписей, обеспечивающего контроль владения, но допускающего двойную трату. Эта проблема была решена посредством пиринговой сети и схемы «доказательства работы» для записи публичной истории транзакций. Выводом был показан график с выводом зависимости вероятности кривой Накамото. 83 Проект по математике: Гидравлический разрыв пласта В современном мире эффективная разработка нефтяных запасов требует внедрения передовых технологий, их внедрение позволяет осваивать месторождения, которые ещё недавно казались нерентабельны. В эпоху трудноизвлекаемых запасов, важность технологического развития залог успешной разработки месторождений. Раньше толщина нефтяных пластов составляла 20-30 метров, сейчас 3-5 метров, при этом их проницаемость снизилась до десятки раз, это значительно сокращает скорость притока нефти к скважинам, чтобы сделать разработку таких залежей эффективной необходимо бурить высокотехнологические скважины с многостадийным разрывом пласта. Основная идея гидравлического разрыва пласта заключается в образовании и расширении в пласте трещин при создании высоких давлений на забое скважины жидкостью, закачиваемой в скважину. В возникнувшие трещины нагнетают отсортированный крупнозернистый песок, сущность которого состоит в том, чтобы не дать трещине сомкнуться после снятия давления. Рис.1—Забойное оборудование при ГРП 1—эксплуатационная колонна; 2—насосно-компрессорные трубы; 3—гидравлический якорь; 4—пакер; 5—продуктивный пласт; 84 6—хвостик. Давление гидроразрыва зависит от величины горного давления, естественной трещиноватости горных пород, порового давления, проницаемости пород, реологических свойств и расхода жидкости разрыва. Горное давление в свою очередь зависит от глубина залегания пласта; средний плотность осадочных вышележащих пород, (2200–2600 кг/м3). Определяем вертикальное горное давление г д п p H g = , где H–глубина залегания пласта (нижних отверстий фильтра), м; п–средняя плотность осадочных вышележащих пород, (2200–2600 кг/м3). Давление разрыва пласта определяем по формуле: р п г д пл р p р р = − + где p пл –пластовое давление; р –предел прочности песчаника на разрыв, принимаем 2 Мпа Расчет рабочего устьевого давления гидроразрыва Расчет рабочего устьевого давления гидроразрыва ГРП можно проводить как через эксплуатационную колонну, так и через колонну НКТ. Для выяснения возможности проведения ГРП через обсадную колонну следует определить допускаемое давление на устье скважины из условий прочности колонны на разрыв от внутреннего давления и прочности резьбового соединения. Определим допустимое давление на устье скважины (в случае проведения процесса непосредственно через эксплуатационную колонну без установки пакера) по формуле: 2 2 2 2 ( ) н в тек о пл н в D D p p g h L D D k − = + + − + D н – наружный диаметр эксплуатационных труб; D в – внутренний диаметр нижней части эксплуатационных труб тек – предел текучести для стали группы прочности Д, равный 380 Мпа k–запас прочности (k=1,5); h–потери на трение в обсадной колонне, м; –плотность жидкости разрыва (=950 кг/м3 ); L–глубина скважины, м. Допустимое давление на устье скважины можно рассчитать в зависимости от прочности резьбы верхней части колонны труб на страгивающие усилия, определяется по формуле: 85 2 4 стр о Р G k p D − = где P стр – страгивающая нагрузка для обсадных труб из стали группы прочности Д, равна 1,7 МН; k–запас прочности (k=1,5); G–усилие затяжки при обвязке обсадной колонны, равное 0,5 МН. Соответствующее забойное давление составит: ( ) з д у р р g H h = + − Поэтому давление на устье должно быть: ( ) у з д p р g H h = − − Определение необходимого количества рабочей жидкости Количество жидкости разрыва не поддаѐтся точному расчету. Оно зависит от вязкости жидкости разрыва и фильтруемости, проницаемости пород призабойной зоны скважины, темпа закачки жидкости и давления разрыва. По опытным данным объем жидкости разрыва изменяется от 5 до 10 м3. Примем для нашей скважины Vр=8 м3 нефти. Необходимое количество песка Количество песка Gп, потребное для гидроразрыва, также нельзя рассчитать. По данным отечественной практики количество песка обычно принимают равным 8–10 т на один гидроразрыв. Принимаем для рассматриваемой скважины Gп=10 т. Количество жидкости-песконосителя Количество жидкости-песконосителя зависит от свойств этой жидкости (вязкость, фильтруемость и пескоудерживающая способность), количества закачиваемого в пласт песка и его концентрации. Концентрация песка С зависит от вязкости жидкости- песконосителя и темпа закачки. Рекомендуется принимать следующую концентрацию песка: для нефти вязкостью до 0,25 Пас 300-500 г/л. Принимаем С=300 г/л=0,3 т/м3 . Объем жидкости-песконосителя п ж п G V С = Объем продавочной жидкости Чтобы на забое скважины не осталось части песка, объем продавочной жидкости следует принимать на 20–30% больше объема колонны, по которой закачивается песок. Избыточный объем продавочной жидкости должен закачиваться в скважину при сниженном давлении во избежание оттеснения песка и смыкания трещин вблизи стенок скважины. Объем продавочной жидкости равен объему НКТ. К расчетному объему НКТ прибавляется объем затрубного пространства между башмаком НКТ и верхними дырами фильтра. Необходимый объем продавочной жидкости: 4 в п ж K d H V = где K-коэффициент, учитывающий превышение объема жидкости над объемом труб, K=1,3; 86 dв-внутренний диаметр НКТ (для 73-мм труб dв=62 мм, согласно ГОСТ 633-80); Н-глубина спуска труб (трубы допущены на 10 м выше верхних отверстий фильтра), м. Общая продолжительность процесса гидроразрыва пж жп Р V V V t Q + + = где Q-суточный расход рабочей жидкости (рисунок 6), м3 /сут V пж – объём продавочной жидкости V Р – объём жидкости разрыва V жп –объём жидкости песконосителя Задача Рассчитать давление при проведении ГРП. Найти вертикальное горное давление, рабочее устьевое давления гидроразрыва, необходимое количество рабочей жидкости, необходимое количество песка, количество жидкости-песконосителя, объем продавочной жидкости. Исходные данные к задачи: 87 3 3 6 1, 7 8 10 1, 3 0, 062 1400 180 1 6 15 0 5 0 стр р л п п в P МН V м G т K d м Q сут L м h м Р Па = = = = = = = = = Код для Python 3 6 1790 9, 81 2300 15 2 0,1441 0,1683 380 10 1, 5 п пл р в н тек H м Н g м кг м р МПа МПа D м D м k = = = = = = = = = # a=(float(input(": "))) print("Вводите все величины в системе СИ!") print("") print("Вычислим давление гидроразрыва пласта") g=9.81 pp=(float(input("Введите среднюю плотность осадочных вышележащих пород: "))) #средняя плотность осадочных вышележащих пород H=(float(input("Введите глубину залегания пласта: "))) # глубина залегания пласта di=(float(input("Введите наружный диаметр эксплуатационных труб: "))) # наружный диаметр эксплуатационных труб l=(float(input("Введите глубину скважини: "))) # глубина скважины 88 print("----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------") pvg=H*pp*g # вертикальное горное давление print("Вертикальное горное давление: ",pvg) o=2000000 pzr=pvg-ppl+o # давление разрыва пласта print("Давление разрыва пласта: ",pzr) print("") print("Рассчитаем рабочее устьевое давление гидроразрыва") dv=0.1441 # внутренний диаметр нижней части эксплуатационных труб otek=380000000 # предел текучести для стали группы прочности Д k=1.5 # запас прочности p=950 # плотность жидкости разрыва po=((di*di-dv*dv)/(di*di+dv*dv))*(otek/k)+ppl+p*g*(h-l) # допустимое давление на устье скважины 89 Работа кода в Python pzp=po # находим ру print("") py=pzp-p*g*(H-h) # давление на устье print("Давление на устье должно быть: ",py) pzp=py+p*g*(H-h) # забойное давление print("Забойное давление: ", pzp) vp=8 # необходимоe количествo рабочей жидкости (нефть) gp=10 # Необходимое количество песка c=0.3 # Концентрация песка vjp=gp/c # Объем жидкости-песконосителя print("Объём жидкости песконосителя: ", vjp) print("Рассчитаем объем продавочной жидкости") K=1.3 # коэффициент, учитывающий превышение объема жидкости над объемом труб dvuntr=0.062 # внутренний диаметр НКТ Vprod=(K*pi*dvuntr*dvuntr*H)/4 print("Необходимый объем продавочной жидкости: ", Vprod) print("") t=(vp+vjp+Vprod)/Q print("Общая продолжительность процесса гидроразрыва в сутках: ",t) th=t*24 print("Общая продолжительность процесса гидроразрыва в часах: ",th) tmin=th*60 print("Общая продолжительность процесса гидроразрыва в минутах: ",tmin) 90 91 Вывод Применение данного метода позволяет предприятиям не забуривать много вторых стволов или бурить новые скважины, чтобы восполнить запасы нефти. ГРП — мощный инструмент, который в правильных руках даёт хороший эффект, однако непрофессиональное применение не даст эффекта и может даже навредить, а именно, химические вещества, используются при ГРП, попадают в питьевую воду, что это приводит к появлению ряда заболеваний у живущих рядом людей. Для многих нефтяных компаний — это не просто метод интенсификации и увеличения притока нефти и нефтеотдачи, но и средство разработки месторождений. Программа PYTHON позволяет нам быстро и точно рассчитать все необходимые значения, это может облегчить работу при больших значениях величин. |