Теория вероятности. Решение. Искомую вероятность найдем по формуле Бернулли Ответ 0,0081
![]()
|
Вариант 1. 1. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу пяти деталей две стандартные, если вероятность того, что каждая деталь окажется стандартной, равна 0,9. Решение. ![]() ![]() Искомую вероятность найдем по формуле Бернулли: ![]() ![]() ![]() Ответ: 0,0081. 2. Команда состоит из двух стрелков. Числа очков, выбиваемых каждым из них при одном выстреле, являются случайными величинами ![]() ![]()
Результаты стрельбы одного стрелка не влияют на результаты стрельбы второго. Составить закон распределения числа очков, выбиваемых данной командой, если стрелки сделают по одному выстрелу. Найдём закон распределения случайной величины ![]() Заполним расчетную таблицу:
В случае совпадения некоторых сумм соответствующие вероятности складываются: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, закон распределения случайной величины ![]()
Убеждаемся в том, что сумма вероятностей всех возможных исходов равна единице. Действительно, ![]() Ответ:
Вариант 2. 1. В магазин поступает продукция трех фабрик. Причем продукция первой фабрики составляет 20%, второй – 45% и третьей – 35% изделий. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй – 2%, и для третьей – 4%. Чему равна вероятность того, что оказавшееся нестандартным изделие произведено на ПЕРВОЙ фабрике? Решение. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Условные вероятности этого события равны: ![]() По формуле полной вероятности имеем: ![]() ![]() Вероятность того, что оказавшееся нестандартным изделие произведено на первой фабрике, найдем по формуле Байеса: ![]() ![]() Ответ: 0,2069. 2. Найти дисперсию случайной величины ![]()
Решение. Математическое ожидание: ![]() ![]() Дисперсия: ![]() ![]() Ответ: ![]() Вариант 3. 1. Завод изготовил две партии автомобилей. Первая партия в три раза больше второй. Надежность автомобилей первой партии 0,9, второй 0,8. Определить вероятность того, что наугад купленный автомобиль будет надежным. Решение. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Условные вероятности этого события равны: ![]() По формуле полной вероятности имеем: ![]() ![]() Ответ: 0,875. 2. График функции распределения случайной величины имеет вид: ![]() Найти ![]() Решение. Найдем функцию распределения ![]() При ![]() При ![]() ![]() ![]() Уравнение прямой, проходящее через 2 точки ![]() ![]() Подставляя в него координаты точек ![]() ![]() ![]() Таким образом, при ![]() При ![]() Функция распределения примет вид: ![]() Плотность распределения ![]() ![]() Математическое ожидание: ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() Вариант 4. 1. В урне 9 белых и 6 черных шаров. Из урны вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми? Решение. Применим классическое определение вероятности: ![]() ![]() ![]() Всего имеется 15 шаров (9 белых и 6 черных), из них вынимают два ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: 0,3429. 2. В студенческой группе организована лотерея. Разыгрываются две вещи стоимостью по 1000 руб. и одна стоимостью 3000 руб. Составить закон распределения суммы чистого выигрыша для студента, который приобрел один билет за 100 руб.; всего продано 50 билетов. Решение. Случайная величина ![]() ![]() ![]() ![]() Закон распределения примет вид:
Ответ:
Вариант 5. 1. Завод изготовил две партии телевизоров. Первая партия телевизоров в два раза больше второй. Надежность телевизоров первой партии – 0,9, второй партии – 0,8. Определить вероятность того, что наугад купленный телевизор будет надежным. Решение. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Условные вероятности этого события равны: ![]() По формуле полной вероятности имеем: ![]() ![]() Ответ: 0,8667. 2. В парке отдыха организована беспроигрышная лотерея. Имеется 1000 выигрышей, из них 400 – по 100 руб.; 300 – по 200 руб.; 200 – по 1000 руб. и 100 – по 2000 руб. Какой средний размер выигрыша для посетителя парка, купившего один билет? Решение. Случайная величина ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Закон распределения примет вид:
Математическое ожидание: ![]() ![]() Ответ: средний размер выигрыша для посетителя парка, купившего один билет, составит 500 рублей. 1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 4-е, стер. М.: Высш. шк., 1997. – 400 с.: ил. 2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. Изд. 6-е, стер. – М.: Высш. шк., 1997. – 479 с.: ил. 3. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: Учебник – Изд. 6-е, перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ. –мат. лит., 1988. – 448 с. |