Лабораторная работа 4. Лабораторная работа дифракция фраунгофера
 Скачать 205.43 Kb.
|
Лабораторная работа 4. ДИФРАКЦИЯ ФРАУНГОФЕРА. Цель работы - наблюдение и анализ дифракционных картин, возникающих при прохождении световой волны через отверстия различной формы; проверка принципа Бабине. Теоретическая часть Общие сведения о дифракции. Дифракцией света называются явления, связанные с его отклонением от прямолинейного распространения, возникающие в результате ограничения или искажения волнового фронта. Так как при работе оптоэлектронных приборов световая волна всегда ограничивается поперечными размерами оптических элементов, их оправами, диафрагмами, то дифракция всегда имеет место при формировании изображения. Именно она определяет предельные характеристики приборов. Дифракция выражена тем сильнее, чем меньше размеры ограничивающих диафрагм и чем больше длина волны излучения. Строгое решение дифракционной задачи для отверстия в бесконечном непрозрачном экране при освещении монохроматической волной (рис. й) дает формулу Релея-Зоммерфельда для расчета комплексной амплитуды световой волны в любой точке ) , ( 0 η ξ P пространства за отверстием: dS r n r ikr y x U i U ) , cos( ) exp( ) , ( 1 ) , ( r r ∫∫ S = λ η ξ (4.1) где λ - длина волны; S - площадь отверстия; ) , ( y x U - комплексная амплитуда волны в точке ) , ( y x P внутри отверстия; λ π / 2 = k - волновое число; r r - радиус-вектор, соединяющий точки P и 0 P ; ( n r , r r ) - угол между нормалью к плоскости экрана n r и радиус-вектором r r . В зависимости от соотношения расстояния 0 z между экраном и плоскостью наблюдения, размеров отверстия, размеров области наблюдения различают области дифракции Френеля и Фраунгофера. Для наблюдения дифракционной картины Френеля необходимо выполнение условия: 8 / ] ) ( ) [( 2 max 2 2 3 0 y x k z − + − >> η ξ (4.2) Дифракционную картину Фраунгофера можно видеть на значительном расстоянии от отверстия при условии 2 / ) ( max 2 2 0 y x k z + >> (4.3) W x n r z Р y ξ η Р 0 0 y x y y О' О z Монохроматическая волна Экран с Плоскость наблюдения отверстием Рис. 1 Дифракция монохроматической волны (общий случай) При анализе работы оптоэлектронных приборов чаще всего представляет интерес дифракция Фраунгофера, так как ее дифракционная картина образуется в фокальной плоскости объектива. Поскольку при дифракции Фраунгофера размеры отверстия малы по сравнению с расстоянием до точки наблюдения, отверстие можно считать точечным, а положение точки 0 P задавать углами между прямой 0 OP и плоскостями yOz и xOz (см. рис. 1): , / 0 z x ξ y ≈ 0 / z y η y ≈ (4.4) Формула (4.1.) с учетом условия (4.3) и обозначений (4.4) принимает вид { } dxdy y x ik y x U U y x y x ∫∫ S + − y y y y ( exp ) , ( ) , ( (4.5) Правая часть полученного выражения представляет собой преобразование Фурье от распределения комплексной амплитуды по отверстию. Распределение интенсивности в плоскости дифракционной картины связано с распределением комплексной амплитуды выражением ) , ( ) , ( ) , ( * y x y x y x U U I y y y y y y = (4.6) где " * " -знак комплексного сопряжения. Дифракция на прямоугольном отверстии. При нормальном падении плоской волны E y x U = ) , ( на прямоугольное отверстие со сторонами a и b (рис. 2а), используя формулы (4.5) и (4.6), получим: x y a b z x y a z d x z Р y ξ η 0 0 y О' О z 2 R θ ϕ ρ ' ρ a б в Рис. 2 Виды отверстий в экране { } ; 2 inc 2 inc ) ( exp ) , ( 2 / 2 / 2 / 2 / = + − ∫ ∫ − − b k s a k Eabs dxdy y x ik E U y x b b y x a a y x y y y y y y (4.7) 2 nc 2 nc ) , ( 2 2 0 = b k si a k si I I y x y x ϕ ϕ y y (4.8) Дифракции на щели. При увеличении одного из линейных размеров прямоугольное отверстие вырождается в цель. Увеличение размера b приводит к возрастанию частоты ; , 619 1 , 116 1 , 610 0 R R R λ λ λ ϕ = (4.14) При дифракции на круглом отверстии примерно 84% всей энергии концентрируется в пределах центрального максимума дифракционной картины, которую называют кружком Эйри. Его угловой размер R λ y 22 , 1 2 = . (4.15) Дифракция на двух одинаковых отверстиях. Два одинаковых по форме и размерам отверстия в экране создают две одинаковые дифракционные картины, которые накладываются одна на другую в дальней зоне или в фокальной плоскости объектива. При некогерентном освещении интенсивность в каждой точке суммарной дифракционной картины удваивается по сравнению с дифракцией на одном отверстии. При когерентном освещении интерференция волн от двух отверстий приводит к перераспределению интенсивности в суммарной дифракционной картине. Рассмотрим случай дифракции волны E y x U = ) , ( на двух щелях шириной a , смещенных на расстояние d вдоль оси Ox (рис. 2б). Распределение комплексной амплитуды и интенсивности, а суммарной дифракционной картине будет определяться выражениями { } { } ∫ ∫ − + − = − + − 2 / 2 / 2 / 2 / exp exp ) ( a a a d a d x x x dx x ik E dx x ik E U ρy y y { } { } = − − + = ∫ − dx x ik d ik E a a x x 2 / 2 / exp exp 1 [ ρy y (4.16) ; 2 exp 2 cos 2 nc 2 − = d ik d k a k Easi x x x y y y ; 2 cos ) ( 4 2 cos 2 nc 4 ) ( 2 1 2 2 = = d k I d k a k si I I x x x x o x y y y y y (4.17), где 0 I - интенсивность в центре дифракционной картины от одной цели; ) ( 1 x I y - угловое распределение интенсивности в этой дифракционной картине (см. формулу (4.10)). Выражение (4.17) можно обобщить на случай дифракции на двух одинаковых отверстиях произвольной формы. 2 cos ) , ( 4 ) , ( 2 1 = d k I I x y x y x y y y y y (4.18) При умножении функций распределения интенсивности ) , ( 1 y x I y y , обусловленный дифракцией на одном отверстии, на модулирующий множитель ) 2 / ( cos 2 d k x y получаем дополнительные минимумы 0 ) , ( = y x I y y при d m x 2 , ) 1 2 ( λ y + = (4.19) где = m 0, ± 1, ± 2 … Дифракция на периодически расположенных отверстий. По аналогии с дифракцией на двух отверстиях можно рассмотреть в случае дифракции на нескольких одинаковых, периодически расположенных отверстиях. Распределение комплексной амплитуды и интенсивности в дифракционной картине от N щелевых отверстий, смещенных одно относительно другого по оси Ox на расстояние d , можно найти следующим образом: { } { } ∫ ∫ − + − + + − + − 2 / 2 / 2 / 2 / exp exp ) ( a a a d a d x x x dx x ik E dx x ik E U y y y { } ∫ + − − − = − + 2 / ) 1 ( 2 / ) 1 ( exp a d N a d N x dx x ik E y (4.20) ; 2 ) 1 ( exp ) 2 / sin( ) 2 / sin( 2 nc − − = d N ik d k dN k a k Easi x x x x y y y y ) 2 / ( sin ) 2 / ( sin ) ( ) 2 / ( sin ) 2 / ( sin 2 nc ) ( 2 2 1 2 2 2 d k dN k I d k dN k a k si I I x x x x x x o x y y y y y y y = = (4.21) При дифракции на N одинаковых отверстиях произвольной формы, смещенных по оси Ox на расстояние d , распределение интенсивности можно записать так: ) 2 / ( sin ) 2 / ( sin ) , ( ) , ( 2 2 1 d k dN k I I x x y x y x y y y y y y = (4.22) Модулирующая функция ) 2 / ( sin ) 2 / ( sin ) ( 2 2 d k dN k f x x x y y y = имеет две группы максимумов. Главные максимумы определяются условием: ) ( 2 N f x = y если , / d m x λ y = (4.23) где m =0, ± 1, ± 2 … Между соседними главными максимумами расположены N-2 вторичных максимумов, которые разделены нулями: , 0 ) ( = x f y если ), /(Nd M x λ y = (4.24) где M =0, ± 1, ± 2 …, m N M ≠ / . При большом числе отверстий N значений функции ) ( x f y во вторичных максимумах много меньше, чем в главных. Дифракция на хаотически расположенных отверстиях. Как следует из выражений (4.16) и (4.20), смещение отверстия вдоль оси Ox на величину n x учитывается умножение Фурье – образа от функции распределения интенсивности в плоскости отверстия на { } n x x ik y − exp Тогда распределение комплексной амплитуды в картине дифракции на N одинаковых отверстиях хаотично расположено вдоль оси Ox , можно записать: { } , exp ) , ( ) , ( 1 1 ∑ = − = N n n x y x y x x ik U U y y y y y (4.25) где ) , ( 1 y x U y y - распределение комплексной амплитуды при дифракции на одном отверстии. Умножая выражение (4.25) на комплексно сопряженную величину, получаем , )] ( cos[ ) , ( ) , ( 1 1 1 − + = ∑∑ = ≠ = N n N n m m m n x y x y x x x k N I I y y y y y (4.26) При хаотическом расположении отверстий разности m n x x − изменяется случайным образом косинус в правой части выражения (4.26) принимает любое значение от -1 до 1. При большом числе N отверстий сумма косинусов стремится к нулю, поэтому ). , ( ) , ( 1 y x y x NI I y y y y = (4.27) Дифракция на большом числе одинаковых хаотически расположенных отверстиях дает то же распределение интенсивности дифракционной картине, что и дифракция на одном отверстии. Принцип Бабине. Если отверстия одного экрана точно совпадают с непрозрачными участками другого, экраны называются дополнительными. Согласно принципу Бабине, если в точке наблюдения при отсутствии экранов амплитуда равна U , при наличии одного из экранов 1 U − , а при наличии дополнительного к нему 2 U − то U U U = + 2 1 (4.28) Принцип Бабине имеет два практически важных следствия. 1. Если 0 = U , то 2 1 U U − = и 2 1 I I = . В тех точках, где при отсутствии экранов интенсивность равна нулю, интенсивности при наличии любого из дополнительных экранов равны. 2. Если 0 1 = U , то U U = 2 и I I = 2 . В тех точках, где при наличии экрана интенсивность равна нулю, при наличии дополнительного к нему экрана она равна интенсивности при отсутствии экранов. Описание экспериментальной установки Оптическая схема экспериментальной установки приведена на рис. 3. Источник света 1 освещает диафрагму 2 в фокальной плоскости объектива 3. Элементы 1 — 3 образуют осветительный коллиматор, формирующий плоскую световую волну. Волна, вышедшая из коллиматора, дифрагирует на отверстиях в непрозрачном экране 4. Дифракционная картина Фраунгофера в фокальной плоскости объектива 5 наблюдается через окуляр 6. -f 3 f 5 ' -f 6 5 6 3 2 1 H H' H H' H H' 4 Рис. 3 Оптическая схема экспериментальной установки Экспериментальная установка создана на базе гониометра ГС-5 (рис. 4), основными узлами которого являются коллиматор 4 с диафрагмой 3, неподвижно установленный на массивном основании 1, и установленная на алидаде 2 зрительная труба 7 с окуляром 9, которая вращается вокруг вертикальной оси гониометра. Грубые повороты осуществляются вручную при отпущенном винте 12, точные повороты — микрометренным винтов I3 при зажатом винте I2. 9 10 7 8 6 4 5 3 2 1 13 12 11 Поле зрение отсчетного микроскопа 5 6 185 186 5 50 6 00 Рис. 4 Гониометр ГС-5 Коллиматор 4 и зрительная труба 7 оснащены аналогичными устройствами фокусировки. На рис. 4 видны шкала 5 фокусировки коллиматора 4 и винт 8 фокусировки зрительной трубы 7. Экраны с отверстиями устанавливают на предметный столик. Измерительное устройство гониометра показывает взаимное угловое положение алидады 2 и предметного столика 6. В поле зрения отсчетного микроскопа 10 (см. рис. 4) видны две измерительные шкалы: горизонтальная (прямое и перевернутое изображения) с ценой, деления 0 2 ′ , оцифрованная от 0 до 360°, и вертикальная с ценой деления 1′′ оцифрованная от 0 0 0 ′′ ′ до 0 5 9 ′′ ′ В данной лабораторной работе измеряются угловые размеры менее 0 1 ′ , поэтому достаточно отсчитывать данные только с помощью вертикальной шкалы. На рис. 4 отсчитываемое значение составляет 7 5 5 1 5 ′′ ′ o Методика измерения угловых размеров следующая. I. Навести перекрестие сетки окуляра 9 (рис. 4) на центр дифракционной картины, вручную вращая алидаду 2 при отпущенном винте 12. 2. Зажать винт 12. 3. Совместить вертикальную линию сетки окуляра 9 с нужным максимумом или минимумом дифракционной картины, вращая микрометренный винт 13. 4. Совместить штрихи прямого и перевернутого изображения горизонтальной шкалы в поле зрения отсчетного микроскопа 10, вращая маховик 11. 5. Снять отсчет 1 a с вертикальной шкалы. 6. Совместить вертикальную линию сетки окуляра 9 с другим максимумом или минимумом дифракционной картины, вращая микрометренный винт 13. 7. Совместить штрихи прямого и перевернутого изображений горизонтальной шкалы в поле зрения отсчетного микроскопа 10, вращая маховик 11. 8. Снять отсчет 2 a с вертикальной шкалы. 9. Вычислить угловое расстояние между выбранными фрагментами дифракционной картины 1 2 a a a − = Экспериментальная часть 1. Предварительный анализ дифракционных картин. 1.1 . Получить у преподавателя экраны с отверстиями (круглыми, прямоугольными или щелевыми) и дополнительные экраны. 1.2. Изобразить полученные экраны в табл. 1. 1.3. Записать аналитические выражения и изобразить графики углового распределения интенсивности, соответствующие экранам с отверстиями, в табл. 1. Таблица 1 Аналитическая зависимость углового распределения интенсивности a d d a a d a d График углового распределения интенсивности Результат измерений и вычислений Экран ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФРАКЦИОННЫХ КАРТИН ФРАУНГОФЕРА ПРОВЕРКА ПРИНЦИПА БАБИНЕ 2. Подготовка к выполнению работы. 2.1 . Ознакомиться совместно с преподавателем с работой основных узлов гониометра ГС-5 и источника света. 2.2. Проверить правильность выбора формы диафрагмы 3: при круглых и прямоугольных отверстиях в экране использовать круглую диафрагму, при щелях - щелевую диафрагму. 2.3. Включить гениометр и источник света в сеть. 2.4. Сфокусировать зрительную трубу 7 на бесконечность по шкале фокусировки, вращая винт 8. 2.5. Найти изображение диафрагмы 3 через зрительную трубу 7, вручную вращая алидаду 2 при отпущенном винте 12, после чего зажать винт 12. 2.6. Добиться резкого изображения диафрагмы 3 через зрительную трубу, вращая винт фокусировки коллиматора 4. 2.7. Добиться равномерного освещения диафрагмы 3, перемещая источник света. 3. Исследование дифракционных картин. 3.1 . Установить на предметный столик 6 экран с одним отверстием. 3.2. Подобрать оптимальный размер диафрагмы 3, при котором наблюдается наиболее резкая дифракционная картина. 3.3. Измерить угловой размер центрального максимума дифракционной картины, записать его в табл. 1 и показать на графике распределения интенсивности в дифракционной картине. 3.4. Вычислить размер отверстия a и записать его в табл. 1. 3.5. Установить на предметный столик 6 экран с двумя отверстиями. 3.6. Измерить угловой размер максимума в центре дифракционной картины, записать его в табл. 1 и показать на графике распределения интенсивности в дифракционной картине. 3.7. Вычислить расстояние между отверстиями и записать его в табл. 1. 3.8. Установить на предметный столик 6 экран с периодически расположенными отверстиями. 3.9. Измерить угловой размер максимума в центре дифракционной картины, записать его в табл. 1 и показать на графике распределения интенсивности в дифракционной картине. 3.10 . Вычислить расстояние между отверстиями d и записать его в табл. 1. 3.11 . Установить на предметный столик 6 экран с хаотически расположенными отверстиями. 3.1 2. Измерить угловой размер центрального максимума дифракционной картины, записать его в табл. 1 и показать на графике распределения интенсивности в дифракционной картине. 3.13. Вычислить размер отверстий a и записать его в табл. 1. 4. Проверка принципа Бабине. 4. 1 . Установить на тубус коллиматора 4 целевую диафрагму 3. 4.2. Добиться резкого изображения диафрагмы 3 через зрительную трубу, вращая винт фокусировки коллиматора 4. 4.3. Добиться равномерного освещения диафрагмы 3, перемещая источник света. 4.4. Установить на предметный столик 6 один из дополнительных экранов. 4.5. Подобрать оптимальный размер диафрагмы, при котором наблюдается наиболее резкая дифракционная картина. 4.6. Измерить угловое расстояние между двумя максимумами, удаленными от центра дифракционной картины, записать его в табл. 1 и показать на графике распределения интенсивности в дифракционной картине. 4.7. Установить на предметный столик 6 второй экран. 4.8. Измерить угловое расстояние между теми ее максимумами дифракционной картины, что и в п. 4.6, записать его в табл. 1 и показать на графике распределения интенсивности в дифракционной картине. 4.9. Сравнить результаты измерений и объяснить их с помощью принципа Бабине. Требования к отчету о лабораторной работе Отчет должен содержать: краткий конспект теоретической части лабораторной работы с рис. 1; оптическую схему экспериментальной установки; табл. 1 с необходимыми рисунками, формулами, графиками, результатами измерений и вычислений; решение задач, заданных при защите работы. Контрольные вопросы 1 . В чем заключается дифракционная задача? 2. Что такое дифракция Френеля и дифракция Фраунгофера? 3. Сформулируйте общее правило расчета дифракционных картин Фраунгофера. 4. Как рассчитать распределение интенсивности в дифракционной картине Фраунгофера при освещении экрана излучением бесконечно удаленного немонохроматического протяженного источника? 5. Чем отличается дифракционная картина Фраунгофера на двух и более периодически расположенных отверстиях одинаковой формы от дифракционной картины на одном отверстии? 6. Чем отличается дифракционная картина Фраунгофера на большом числе хаотически расположенных отверстий одинаковой формы от дифракционной картины не одном отверстии? 7. Объясните окраску максимумов дифракционных картин, которые вы наблюдали? Задачи 1. Вычислить диаметр кружка Эйри в фокальной плоскости объектива с относительным отверстием 4 : 1 : = ′ f D при прохождении через него плоской монохроматической волны с длиной волны 0,5 мкм. 2. Вычислить интенсивность максимумов нулевого, первого и второго порядков в дифракционной картине Фраунгофера на щели шириной a при освещении плоской волной с амплитудой E и длиной волны λ . 3. Определить линейные размеры центрального максимума дифракционной картины Фраунгофера на прямоугольном отверстии с размером 20 10 × мм при освещении плоской волной с длиной волны 0,5мкм. |
2
nc
b
k
si
y
y в выражениях (4.7) и (4.8), и изменения интенсивности вдоль оси
η
становятся неразличимы. Интенсивность в плоскости дифракционной картины изменяется только вдоль оси ξ
=
2
nc
)
(
2 0
a
k
si
I
I
x
x
y y
(4.10)
Максимумы интенсивности разделены нулями:
0
)
(
=
x
I
y если
a
m
x
λ
y
±
=
(4.11) где =
m
1, 2, 3…
Основная часть энергии при дифракции на щели сосредоточена в области центрального максимума дифракционной картины в пределах угла
a
x
/
λ
y
±
=
Интенсивности главного и последующих максимумов соотносятся между собой как
1:0,045:0,016:…
Дифракция на круглом отверстии. При освещении круглого отверстия плоской волны
E
y
x
U
=
)
,
(
распределение комплексной амплитуды в плоскости xOy обладает осевой симметрией, поэтому выражение 4.5 удобно перейти к полярным координатам.
Обозначим полярные координаты плоскости экрана
)
,
(
θ
ρ
, а в плоскости наблюдения
)
,
(
ϕ
ρ
′
и учтем что
0
z
⋅
=
′
ϕ
ρ
, где ϕ - угол между
0
OP и осью симметрии (рис.2в)
Дифракционную картину Фраунгофера можно видеть на значительном расстоянии от отверстия при условии
2
/
)
(
max
2 2
0
y
x
k
z
+
>>
(4.3)
Тогда угловое распределение комплексной амплитуды и интенсивности плоскости наблюдения дифракционной картины можно найти следующим образом:
{
}
);
)
(
2
(
)
cos(
exp
)
(
1 2
0 2
0
R
k
R
k
J
r
E
d
d
ik
U
R
y y
π
θ
ρ
ρ
ϕ
θ
ρ
ρ
y
π
=
−
′
−
∫ ∫
(4.12)
;
)
)
(
2
(
)
(
2 1
0
R
k
R
k
J
I
I
y y
y
=
(4.13) где
r
- радиус отверстия в экране;
1
J –
Функция Бесселя первого порядка.
Минимумы интенсивности расположены апериодично и соответствуют
0
)
(
=
ϕ
I
, которые достигаются при: