Лабораторная_2_регресс.парн.анализ. Лабораторная работа. Использование электронных таблиц ms excel при решении задач парного регрессионного анализа
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
Лабораторная работа. Использование электронных таблиц MS Excel при решении задач парного регрессионного анализа Цель работы – научиться выявлять: 1) факт изменчивости изучаемого явления при определенных, но не всегда четко фиксированных условиях; 2) тенденцию как периодическое изменение признака; 3) закономерность, выраженную в виде корреляционного уравнения (регрессии). Методы регрессионного анализа рассчитаны, главным образом, на случай устойчивого нормального распределения, в котором изменения от опыта к опыту проявляются лишь в виде независимых испытаний. 1. Линейная модель парной регрессии Регрессия – функция, позволяющая по величине одного корреллируемого признака определить среднюю величину другого признака. Выделим основные этапы регрессионного анализа. Первый этап. Предположение. На этом этапе происходит выбор формы связи между переменными (модель). Второй этап. Параметризация – происходит оценка значений параметра в выбранной формуле статистической связи. Форма связи (функция) линейная, нелинейная. Третий этап. Проверка надёжности полученных оценок. На этом этапе осуществляются следующие тесты: F-тест (проверка статистической значимости выбранной формы связи), t-тест (проверка статистической значимости найденных числовых значений параметра). В результате анализа статистических данных, выбора и построения модели последовательно выполняются все три этапа. Рассмотрим простейшую модель регрессии – линейную регрессию. Линейная регрессия для x и y сводится к нахождению уравнения вида x y a b x , или y a b x Параметры a и b могут быть найдены по готовым формулам: a y b x , 2 2 ) (x x x y yx b , где 1 x x n , 1 y y n , ______ 1 y x y x n , ____ 2 2 1 x x n Параметр b называется коэффициентом регрессии, его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции xy r = ) ( ) ( ) ( ) ( у х x y yx y x b После того, как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров. Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли аналитическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным, и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной. Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе F- критерия Фишера. Эмпирическое значение критерия Фишера находят по формуле: Критическое значение критерия Фишера находят по статистической функции F.ОБР.ПХ: F крит (α; k 1 ; k 2 ), где число степеней свободы: k 1 = 1 и k 2 = n ‒ 2 при уровне значимости α (чаще 0,05). Эмпирическое и критическое значения критерия между собой сравниваются с учетом того, что критерий Фишера правосторонний: если F эмп < F крит , то на уровне значимости α признаётся статистическая незначимость уравнения регрессии в целом. В парной линейной регрессии оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров. t -распределение Стьюдента применяется для проверки существенности коэффициента регрессии. Эмпирическое значение t -критерия Стьюдента: эмп r b F t t сравнивается с его критическим значением СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х t крит (α; k 2 ), α ‒ уровень значимости, число степеней свободы k 2 = n ‒ 2. При этом мы учитываем, что критерий Стьюдента правосторонний: если t эмп < t крит , то на уровне значимости α признаётся статистическая незначимость коэффициента b регрессии. Пример. Изучалась зависимость между массой матерей i x , измеряемой в начале беременности (кг), и массой новорождённых детёнышей шимпанзе i y (кг). Найти уравнение линейной регрессии, проверить модель и ее параметры на статистическую значимость и сделать в прогноз для 15 кг. Решение. Здесь под независимой переменной х будем понимать массу матерей, а под зависимой переменной у – массу новорожденных детёнышей. Для расчёта необходимых сумм и произведений составим вспомогательную таблицу. Масса матерей i x Масса детёнышей i y i x ∙ i y 2 i x 2 i y 10 0,7 7 100 0,49 10 0,7 7 100 0,49 2 2 ( 2) 1 xy эмп xy r F n r 10,1 0,65 6,565 102,01 0,4225 10,2 0,61 6,222 104,04 0,3721 10,8 0,73 7,884 116,64 0,5329 11 0,65 7,15 121 0,4225 11,1 0,65 7,215 123,21 0,4225 11,3 0,75 8,475 127,69 0,5625 11,3 0,7 7,91 127,69 0,49 11,4 0,7 7,98 129,96 0,49 11,8 0,69 8,142 139,24 0,4761 12 0,72 8,64 144 0,5184 12 0,6 7,2 144 0,36 12,1 0,75 9,075 146,41 0,5625 12,3 0,63 7,749 151,29 0,3969 13 0,8 10,4 169 0,64 13,4 0,78 10,452 179,56 0,6084 13,5 0,7 9,45 182,25 0,49 14,5 0,7 10,15 210,25 0,49 15,6 0,85 13,26 243,36 0,7225 Сумма 237,4 14,06 167,919 2861,6 9,9598 Среднее 11,87 0,703 8,39595 143,08 0,49799 Определим параметры линейной регрессии, используя формулу и ранее найденное значение коэффициента корреляции. 0235 , 0 87 , 11 08 , 143 87 , 11 703 , 0 39595 , 8 ) ( 2 2 2 x x x y yx b 424 , 0 87 , 11 0235 , 0 703 , 0 х b у a Следовательно, фактическое уравнение регрессии массы детёнышей шимпанзе по значениям массы их матерей имеет вид 424 , 0 024 , 0 ˆ x у х , то есть при увеличении массы матери на 1 кг у детёныша ожидается увеличение массы на 0,024 кг. Найдем коэффициент корреляции, используя статистическую функцию КОРРЕЛ. В свою очередь найдём квадрат коэффициента корреляции (коэффициент детерминации): 319 , 0 565 , 0 2 2 2 ху r R Коэффициент детерминации показывает, что вариация массы новорождённых детёнышей на 31,9% обусловлена изменчивостью массы матерей. Оценим качество уравнения регрессии в целом с помощью F -критерия Фишера, найдём эмпирическое значение критерия F эмп по формуле: 43 , 8 18 319 , 0 1 319 , 0 2 1 2 2 n R R F эмп Найдем критическое значение критерия Фишера, используя статистическую функцию F.ОБР.ПХ, оно равно F крит (0,05; 1; 18) = 4,41. Таким образом, F эмп > F крит , так как 8,43 > 4,41, и на уровне значимости 0,05 признаётся статистическая значимость уравнения в целом. Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитаем t -критерий Стьюдента : 90 , 2 43 , 8 эмп b F t . Для уровня значимости α = 0,05 найдём критическое значение критерия Стьюдента, используя статистическую функцию СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х, оно равно t крит (0,05; 18) = 2,10. Таким образом, t b t крит , так как 21,34 > 2,1, и на уровне значимости 0,05 делаем вывод о статистической значимости показателя, стоящего перед х. Для выполнения прогноза воспользуемся функцией ПРЕДСКАЗ (категория статистические). В силу того, что значение коэффициента корреляции, уравнение регрессии и параметр при х статистически значимы, по найденному уравнению регрессии можем делать статистические прогнозы, так, если масса самки шимпанзе равна 15 кг, то ожидаемая масса новорождённого детёныша будет равна 0,78 кг (можно легко проверить, подставив в найденную модель прогнозное значение, 784 , 0 424 , 0 15 024 , 0 ˆ х у кг). 2. Построение линии регрессии на корреляционном поле Корреляционное поле – это совокупность (набор) точек с координатами (x i ; y i ). Для его построения можно использовать Мастер диаграмм,тип диаграммы Точечная. Для построения линии регрессии направьте курсор мыши на любую точку диаграммы, нажмите правую кнопку мыши, выберите в меню Добавить линию тренда. Далее выберите тип линии (линейная, экспоненциальная, логарифмическая, полиномиальная или степенная) и поставьте метку Показать уравнение на диаграмме. 3. Использование Пакета анализа в регрессионном анализе Для нахождения уравнения линейной регрессии MS Excel используется процедура инструмента анализа данных Регрессия. С помощью Регрессия можно получить: результаты регрессионной статистики, результаты дисперсионного анализа, доверительные интервалы, остатки и графики подбора линии регрессии, остатки и нормальную вероятность. Замечание. Если статистические данные по каждой переменной представлены в виде строк, то таблицу данных необходимо транспонировать (строки сделать столбцами). Для этого необходимо выделить таблицу данных, нажать правую кнопку мыши, выбрать Копировать, далее курсор мыши переместить на любую пустую ячейку рабочего листа MS Excel и вновь нажать правую кнопку мыши, выбрать Специальная вставка / Специальная вставка / Транспонировать. Для реализации процедуры инструмента анализа данных необходимо выполнить: Данные / Анализ данных / Инструменты анализа / Регрессия. В появившемся диалоговом окне указать: Входной интервал Y – адреса ячеек, содержащих выборочные значения переменной Y; Входной интервал Х ‒ адреса ячеек, содержащих выборочные значения переменной Х; Метки – включается, если учитываются заголовки столбцов данных; Уровень надежности – по умолчанию равен 95%; Выходной интервал– указывается, куда выводятся результаты вычислений. Далее нажать кнопку ОК. Здесь была рассмотрена наиболее простая форма связи между двумя признаками (переменными Х и Y) – линейная. Между тем зависимости между признаками могут принимать самые разнообразные формы. Задачи для самостоятельного решения Задача 1. Имеются результаты измерений: образцы некоторого сплава были изготовлены при различных температурах X, после чего была измерена прочность каждого образца Y. Х 6,7 6,9 7,2 7,3 8,4 8,8 9,1 9,8 10,6 10,7 11,1 11,8 12,1 12,4 Y 2,8 2,2 3 3,5 3,2 3,7 4 4,8 6 5,4 5,2 5,4 6 9 По выборке необходимо построить парную линейную регрессию. Задача 2. На основе данных по группе хозяйств о среднегодовой численности работников (Х, чел.) и о стоимости валовой продукции (Y, тыс. руб.) Х 96 58 135 153 108 105 76 119 118 149 99 Y 4603 4053 9665 5146 4850 7132 6257 7435 7560 4110 2988 Необходимо построить уравнение линейной регрессии. Вычислить прогноз валового производства при значении среднегодового количества работников, составляющем 115% от среднего уровня. |