лабораторная работа. Физика. Часть 2_79-88. Лабораторная работа Кол2 определение логарифмического декремента за тухания с помощью маятника максвелла
 Скачать 0.51 Mb.
|
|
94 Лабораторная работа №Кол2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ДЕКРЕМЕНТА ЗА- ТУХАНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА Цель работы: − ознакомиться с основными характеристиками затухающих, вынужденных колебаний и автоколебаний; − определить логарифмический декремент затухания. Приборы и принадлежности: − маятник Максвелла. Теоретическая часть В природе все происходящие колебания реальные, т.е. при их рас- смотрении нельзя пренебрегать силой трения: 0 TP F . Силы трения, действующие в реальных системах, существенно изменяют характер движения: энергия колебательной системы постоянно убывает, и коле- бания либо затухают, либо вообще не возникают. Затухающие колебания материальной точки происходят под дей- ствием двух сил: возвращающей силы и силы трения. Сила трения направлена в сторону, противоположную движению тела, и при не очень больших скоростях пропорциональна скорости: тр dx F r r dt = − = − , r – коэффициент трения. Уравнение движения колеблющегося тела в векторной форме при действии двух сил будет иметь вид: возв тр F F F = + , уравнение движе- ния в скалярной форме в проекциях на ось Оx: ma kx r = − − Распишем ускорение 2 2 d x a dt = , скорость dx dt = . Получим 2 2 d x dx m r kx dt dt = − − . Перенесем все слагаемые в левую часть, получим 95 2 2 0 d x dx m r kx dt dt + + = Поделим все слагаемые на массу m: 2 2 0 d x r dx k x dt m dt m + + = и вводя обозначения 2 r m = ( – коэффициент затухания) и 2 0 k m = – собственная частота (без затухания), получим дифференциальное уравнение второго порядка для затухающих колебаний. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний: 2 2 0 2 2 0 d x dx x dt dt + + = Решение дифференциального уравнения существенно зависит от условия, при котором возможно слабое затухание и сильное затухание. При выполнении условия дифференциальное уравнение для затухающих колебаний имеет решение: ( ) 0 0 0 sin t x A e t − = + или ( ) 0 0 0 cos t x A e t − = + , где 0 A – начальная амплитуда колебаний, 2 2 0 = − – круговая ча- стота колебаний, при 0 0, → → В отличие от свободных незатухающих колебаний амплитуда за- тухающих колебаний зависит от времени 0 ( ) t A t A e − = . График зату- хающих колебаний ( ) 0 0 0 sin t x A e t − = + представлен на рис. 26, где сплошная линия – это ( ) 0 0 sin x t = + , а пунктирная линия – это 0 ( ) t A t A e − = Период затухающих колебаний зависит от коэффициента трения и равен: 2 2 0 2 2 T = = − 96 Быстрота убывания амплитуды колебаний определяется коэффи- циентом затухания 2 r m = : чем сильнее тормозящее действие среды, тем больше β и тем быстрее уменьшается амплитуда. Рис. 26 График зависимости смещения от времени при затухающих колебаниях. На практике степень затухания характеризуют логарифмическим декрементом затухания, который равен натуральному логарифму от- ношения двух последующих амплитуд ( ) A t и ( ) A t T + , разделенных интервалом времени, равным периоду колебаний: 0 ( ) 0 ( ) ln ln ln( ) ( ) t T t T A e A t e T A t T A e − − + = = = = + Следовательно, коэффициент затухания связан с логарифмиче- ским коэффициентом затухания T = При выполнении условия (сильное затухание) система воз- вращается в положение равновесия, не совершая колебаний. Такое движение называется апериодическим. Вынужденными колебаниями называются незатухающие колеба- ния, возникающие в колеблющейся системе под действием внешней силы, изменяющейся по периодическому закону max sin вын F F t = Вынужденные колебания происходят под действие трех сил: воз- вращающей силы, силы трения и внешней силы. Уравнение движения в векторной форме: 97 возв тр вын F F F F = + + или в проекциях на ось Оx max sin ma kx rv F t = − − + После деления на m и введения применяемых ранее обозначений, добавляем еще одно обозначение max 0 F F m = , получим дифференциаль- ное уравнение второго порядка для вынужденных колебаний. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний: 2 2 0 0 2 2 sin d x dx x F t dt dt + + = Решением данного уравнения является сумма двух слагаемых, од- нако, только одно из них играет роль при установлении колебаний, а другое будет описывать смещение материальной точки в установив- шихся вынужденных колебаниях. Этим вторым слагаемым является функция: 0 sin( ) x A t = + Амплитуда установившихся вынужденных колебаний: ( ) 0 2 2 2 2 2 0 4 F A = − + Анализируя решение, замечаем, что колебания точки происходят с частотой вынуждающей силы, и амплитуда вынужденных колебаний зависит от амплитуды и круговой частоты внешней силы 0 ( , ) A f F = При выполнении условия 0 = амплитуда ВЫН А резко возрастает ( ) 0 = . Это явление называется резонансом. Резонансом называется явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний, при приближении частоты внешней силы к собственной частоте колеблю- щегося тела. Происходящие при этом колебания называют резонансными ко- лебаниями, а их частота – резонансной частотой: 2 2 0 2 рез = − , 98 если 0 = , то 0 рез = . График зависимости амплитуды вынужден- ных колебаний от частоты внешней силы называется резонансной кри- вой. Амплитуда при резонансе: 0 2 2 0 2 F A = − График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от ча- стоты вынуждающей силы при различных коэффициентах затухания 1 2 3 показан на рис. 27. Рис. 27 График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты. В некоторых случаях сильное возрастание амплитуды колебаний при резонансе является опасным для прочности системы. Известны случаи, когда резонанс приводил к разрушению конструкций. Существуют такие системы, которые сами регулируют периодиче- ское восполнение потерянной энергии и поэтому могут колебаться длительное время. Автоколебания – незатухающие колебания, поддерживаемые внешним источником энергии, поступление которой регулируется са- мой колебательной системой, которую называют автоколебатель- ной. Амплитуда и частота колебаний определяются свойствами самой колебательной системы и не зависят от характеристик источника энер- гии. В простейших автоколебательных системах можно выделить: ис- точник энергии, колебательную систему с затуханием, регулятор энер- гии и систему обратной связи. 99 В данном случае сама колебательная система каналом обратной связи воздействует на регулятор энергии, информируя его о состоянии системы. Обратной связью называется воздействие результатов ка- кого-либо процесса на его протекание. Если такое воздействие приво- дит к возрастанию интенсивности процесса, то обратная связь называ- ется положительной. Если такое воздействие приводит к уменьшению интенсивности процесса, то обратная связь называется отрицательной. В автоколебательной системе может присутствовать как положитель- ная, так и отрицательная обратная связь. Затухающие колебания в сельском хозяйстве. В реальных меха- нических системах все колебания являются затухающими. Управлять затуханием для техники очень важно. Например, подвеска автомобиля является примером колебательной системы. В случае если в такой си- стеме выходит из строя амортизирующий элемент, призванный сокра- тить время колебаний до минимума, чтобы колесо автомобиля находи- лось в непрерывном контакте с поверхностью, то колесо будет прыгать как мячик. Система гашения колебаний используется повсеместно, система звуко- и виброизоляции кабины автомобилей, тракторов и комбайнов призвана уменьшить колебания элементов корпуса транспортного средства и увеличить уровень комфортности рабочего места. Вывод рабочей формулы Уменьшение амплитуды колебаний происходит по закону 0 t A A e − = , где A 0 – амплитуда в начальный момент времени t 0 , A – амплитуда в момент времени t, – коэффициент затухания, который может быть выражен через массовый коэффициент m и коэффициент сопротивле- ния среды r по формуле: 2 r m = Отношение амплитуд двух последовательных колебаний, отлича- ющихся друг от друга по времени на период T, запишется в виде: 100 0 1 ( ) 2 0 1 t T t T T A e A e A A e e − − + − = = = Это отношение равное T e − называется логарифмическим декре- ментом затухания, а его натуральный логарифм ln T e T = = (1) Для маятника Максвелла выражение (1) с учетом A=h записыва- ется в виде: 1 2 ln h h = , (2) где h 1 и h 2 – высоты подъемов диска, отделенные по времени периодом колебаний T. Описание установки Маятник Максвелла (рис. 28) представляет собой массивный диск 1, насаженный на горизонтальную ось 2 и подвешенный на нитях 3 к жесткой раме 4. Для отсчета высоты подъема маятника к раме при- креплена масштабная линейка 5. Рис. 28 Схематичное изображение экспериментальной уста- новки для проведения опыта. 101 Закручивая нити на осях маятника, можно поднять его центр масс на некоторую высоту 1 h , сообщив при этом маятнику соответствую- щий запас потенциальной энергии, которая затем, при падении маят- ника, будет переходить в кинетическую энергию поступательного и вращательного движения. При этом своего максимального значения кинетическая энергия достигнет в нижней точке падения, соответству- ющей первой четверти периода ( 4 T t = ). Затем маятник начнет подни- маться вверх, вращаясь в том же направлении. За вторую четверть пе- риода происходит переход кинетической энергии в потенциальную, которая, достигает своего максимального значения в верхней точке подъема. При отсутствии сил трения и сопротивления среды полная механическая энергия маятника сохраняется. За следующую половину периода, также состоящую из стадий падения и подъема, маятник, вра- щаясь в противоположную сторону, возвращается в исходное положе- ние. Таким образом, маятник Максвелла совершает гармоническое ко- лебательное движение с амплитудой A h = и периодом T. Внешний вид установки, представленной в лаборатории физиче- ского практикума, можно увидеть на рис. 29. Порядок выполнения работы 1. Закручивая нити на оси маятника вращением диска, установите ось маятника на высоте 1 h , величину которой занесите в таблицу 9. Таблица 9. № опыта 1 h 2 h i ср i ср 1 2 3 4 5 102 Рис. 29 Экспериментальная установка для проведения опыта. 2. Отпустите диск и отметьте высоту подъема диска 2 h (т.к. этому подъему соответствует время t T = ). 3. Повторите опыт (п.1 и 2) 5 раз, меняя начальную высоту 1 h , и полученные результаты занесите в таблицу. 4. По формуле (2) найдите для каждого опыта логарифмический декремент затухания i 5. Найдите среднее значение ср по формуле i ср n = 6. Найдите абсолютные и относительные погрешности по форму- лам i ср i = − , i ср n = , 100% ср ср = 7. Окончательный результат запишите в виде: ср cр = 103 8. Сформулируйте выводы по результатам проделанной работы. Контрольные вопросы 1. Какие колебаниями называются гармоническими? 2. Что называется периодом колебания? 3. Запишите формулу, связывающую период и частоту колебаний. 4. Какие колебаниями называются затухающими? 5. Являются ли затухающие колебания гармоническими? 6. Запишите формулу для амплитуды затухающих колебаний. 7. Что называется логарифмическим декрементом затухания? От чего он зависит? 8. Как записать закон механической энергии для маятника Максвелла? 9. Какие колебаниями называются вынужденными? 10. Какие колебаниями называются автоколебаниями? 11. Напишите дифференциальный уравнения для затухающих и вы- нужденных колебаний. |