Мен және менің мектебім65. Лабораторные работы 2,3,4 Изучение параметров оптических световодов

• Название: Лабораторные работы 2,3,4 Изучение параметров оптических световодов
• Анкор: Мен және менің мектебім65
• Дата: 22.09.2022
• Размер: 0.84 Mb.
• Имя файла: Laboratornye_raboty_2_3_4_09_6_chasov.doc
• Тип: Документы; #690855
• страница: 6 из 7

Расчет числовой апертуры

Числовая апертура рассчитывается из выражения

N A = sin ( _кр ) = ,

где n1– показатель преломления в центре сердцевины, а n2 – в оболочке. Пусть n2 = n1(1 – Δ). Тогда NA = . Построим график зависимости NA = f (Δ), изменяя  в диапазоне от 0 до 0.2. Определим по графику значения числовой апертуры NA₁ и NA₂ при ₁ =0.01 и ₂=0.02. Зная числовую апертуру, рассчитаем апертурные углы _m1, _m2 и _m1,_m2 (см. рис 1.1)

Расчет модовой дисперсии

Для того, чтобы рассчитать зависимость времени распространения светового луча в световоде от угла к его оси, нужно определить траекторию луча, а затем рассчитать время распространения светового луча по этой траектории. Поскольку показатель преломления в сердцевине функция расстояния от оси, скорость распространения непостоянна и время прохождения световым лучом световода находится суммированием бесконечно малых временных промежутков, в течение которых можно считать скорость света постоянной.

Предельный угол на входе световода под которым свет может распространяется при условии полного внутреннего отражения (_м1 для b=0,01 и _m2 для b=0,02) найден в предыдущем пункте. Эта величина позволяет выяснить значения углов, для различных мод в световоде. Углы различны для различных значений коэффициента неоднородности b, и для различных законов изменения показателя преломления в сердцевине. Проведем расчет количества осевых мод и входного угла для каждой моды в ступенчатом световоде. Полученные результаты распространим на градиентные световоды приближенно считая, что модовый состав в световоде не зависит от закона изменения показателя преломления в сердцевине световода.

Расчет количества осевых мод и входного угла для каждой моды

в ступенчатом световоде

Известно, что полное внутреннее отражение – необходимое, но не достаточное условие для распространения светового сигнала. Для того, чтобы при выбранном угле на входе по световоду распространялась волна, необходимо, чтобы отраженные волны, складывались с падающей. Это возможно, если после двух отражений (рис.1.4) фаза сигнала изменится на 2m, где m – целое число. Выясним, при каких углах это происходит в ступенчатом световоде. Для этого будем изменять угол  (см рисунок 1.4) от нуля до такого его значения, при котором нарушаются условия для полного внутреннего отражения (до критического). При  = 0 свет идет по прямой АС. Если  не равно нулю, то свет идет по ломанной линии, длина которой равна АВ. Разность хода этих лучей  = АВ – АС. Если считать, что при отражении фаза волны не изменяется, то эта фаза для волны, распространяющейся по ломанной линии увеличится на / радиан. Будем изменять  от 0 до _m. При этом величина / будет расти. Первое значение угла, при котором свет сможет распространяться в волноводе будет соответствовать углу =0. Второе при /=2. Третье при /=4 и т.д..

Таким образом, поставленную задачу можно решить, если построить зависимость / от угла  и на этой кривой найти такие значения угла  при которых / кратно 2. При этом следует ограничиться значениями угла <_m. Рассчитаем величину /. Из треугольника АВС

; ; ;

Теперь можно строить график зависимости / () и определять углы для разрешенных мод.

Определив углы _i для каждой разрешенной моды и для значений b1 = 0.01 b2=0.02, можно рассчитать соответствующие этим углам входные углы _i. Для этого воспользуемся законом Снеллиуса



В соответствии с заданием расчет времени задержки будем проводить при полученных значениях угла _i . Для всех значений, кроме значения =0 нужно знать траекторию светового луча, а при =0 она известна - луч перемещается по оси световода. В этом последнем случае время распространения луча можно найти довольно просто. Для этого нужно разделить длину световода на скорость света на его оси (с – скорость света в вакууме) :



Теперь возьмемся за расчет времени задержки при других значениях угла. Для этого сначала рассчитаем траекторию луча. Решим с помощью программы Mathcad дифференциальное уравнение параксиальных лучей (1.4):

(м4)

Будем считать, что свет поступает в световод точно по центру (r₀ = 0) под углом _i к оси z (dr/dz = sin  при z=0). Это определит начальные условия для решения дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение нужно решать для различных законов изменения коэффициента преломления в сердцевине и для различных коэффициентов неоднородности b.

Чтобы решить уравнение сначала нужно задать исходные данные. Их можно взять из первой части работы. Оттуда же берем три закона изменения показателя преломления в световодах (все, кроме ступенчатого). Для решения дифференциального уравнения второго порядка (см. приемы работы с программой Mathcad) нужны матрица r начальных условий и матрица D, задающая значение второй производной. Поскольку угол, который образует луч с осью световода, изменяется, то изменяются и начальные условия. Поэтому начальные условия зададим в виде массива матриц. Вид матрицы для второй производной не изменяется. Поэтому она одинакова во всех вариантах.

г
де n(r) – закон изменения показателя преломления в поперечном сечении световода, r₀ и r₁ – начальное значение функции и ее производной. В этих выражениях нужно так и писать r₀ и r₁.

Для световодов следует взять выражение для показателя преломления в сердцевине: n(r) = n_ci (см. (м2)). Этим упрощенным выражением для показателя преломления световода можно пользоваться, поскольку световой луч не будет попадать в оболочку.

Определив таким образом все выражения, необходимые для решения дифференциального уравнения, рассчитаем модовую дисперсию в световоде. Расчет будем проводить по такой схеме.

1. 
   Учитывая, то, что световой луч перемещается по периодической кривой, определим длину полупериода по продольной оси, зафиксировав точку, в которой он впервые пересечет ось z.
   
2. 
   Рассчитаем время, нужное свету для того, чтобы пройти эту половину периода.
   
3. 
   Рассчитаем число таких полупериодов в одном километре.
   
4. 
   Рассчитаем время, необходимое свету для прохождения одного километра.
   

1. Для расчета длины полупериода по координате z составим программу. Переменные в этой программе:

i – количество углов входа в световод, для которых проводится расчет.

n – число значащих цифр в полученном результате. Эта величина определяет точность расчета и должна изменяться от 10 до 15.

s – текущее значение конца интервала .

k – переменный шаг по оси z.

sn = 0 – начальное значение по оси z

Программа работает так. Выбирается первое значение входного угла и организуется цикл while, чтобы повторить расчет для всех углов. Затем выбираем минимальную точность (n=0) и с шага 10^-4 начинается расчет. С помощью функции rkfixed рассчитывается 50 значений r на кривой по которой идет световой луч. Значения r будут положительны до тех пор, пока луч, изогнувшись, не пересечет оптическую ось. Изменяя текущее значение конца интервала, обнаружим это событие и предыдущее значение координаты z (оно положительно) считаем значением sk с принятой точностью. Затем увеличиваем n и повторяет расчет до тех пор, пока нужная точность не будет получена.

З
акончив расчет, нужно определить, насколько отличается значение r в конце интервала от нуля. Для этого выполним команду:

Будет рассчитана матрица конечных значений r (индекс <1> означает, что считается функция, а пометка ₅₀ то, что величине rk присваивается значение, последнее из рассчитанных). Выведем полученную матрицу на экран (rk_i =) и удостоверимся, что все величины в ней не больше 10^-15_. Если это не так, то повысим точность и повторим вычисление. Элементы в матрице rk_i должны быть значащими цифрами, а не нулями. Если это не так, увеличьте точность отображаемых в MathCad результатов.

Теперь вычислим координаты кривой, которую описывает свет и построим семейство кривых. Для ускорения расчетов рассчитывается только 20 точек на одной кривой. Эти же 20 точек будут использоваться для расчета времени, необходимого свету для того, чтобы пройти половину периода.

r
(i) и z(i) – координаты точек на кривой, которую описывает свет.

На рисунке приведен вид кривых, полученный для световода с гиперболическим законом изменения показателя преломления в сердцевине.


Рис.1.3.


Расчет траектории закончен.

2. Теперь рассчитаем время, нужное свету для того, чтобы пройти эту половину периода. Для этого поступим следующим образом. Введем несколько функций, которые помогут нам провести расчеты. В матрицах z и r выбираем два соседних значения z_i и r_i, и z_i+1 и r_i+1 и найдем расстояние между этими точками по правилу Пифагора

s(i) = .

Ввиду малости этого расстояния считаем, что показатель преломления на этом интервале не меняется и равен значению в точке (z_i, r_i). Если значение показателя преломления n(i), а скорость света в вакууме с то время, за которое свет проходит это расстояние будет равно



(Эту строку вводить не нужно. Это просто пояснение). Для каждого закона n(i) свое. Так, например, для степенного закона

,

где nn – показатель степени.

Для показателя преломления, изменяющегося по закону гиперболического синуса



Изменяя i так, чтобы перебрать все отрезки в течение полупериода и складывая результаты, получим время, в течение которого свет проходит полупериод. В Mathcad’e сумму можно получить с помощью функции



Числовое значение можно получить, если ввести строку: t =.

3. Подсчитаем, сколько полупериодов содержится в одном километре.



где sk – длина полупериода, полученная при решении дифференциального уравнения

4. Рассчитаем время, необходимое свету для прохождения одного километра. Для этого умножим m_i на длительность промежутка, в течении которого свет прошел полупериод и получим полное время tp


Эту методику используйте для того, чтобы рассчитать все значения временных задержек. В результаты включите и случай, когда свет распространяется по оси световода.



Окончив расчеты, постройте общий график зависимости временной задержки от угла, под которым свет распространяется на входе световода для вех заданных вариантов изменения показателя преломления в сердцевине. Определите величину модовой дисперсии для каждого вида закона изменения показателя преломления в поперечном сечении световода.

Для численной оценки модовой дисперсии нужно использовать величину ∆t [пс/км]- максимальная разность времен прохождения различными модами отрезка в 1 километр. Для этого воспользуйтесь выражением (1.6). В этом выражении не задан разброс длин волн источника излучения . Считаем, что источник сигнала – лазер с одной продольной модой (ОПМ). В соответствии с рекомендацией G957 Международного союза электросвязи (ITU-T) в стандартных линиях передачи  не должна превышать 1 нм. Это значение и используйте для расчета дисперсии. Обсудите полученные результаты и сделайте выводы.