Мен және менің мектебім65. Лабораторные работы 2,3,4 Изучение параметров оптических световодов

• Название: Лабораторные работы 2,3,4 Изучение параметров оптических световодов
• Анкор: Мен және менің мектебім65
• Дата: 22.09.2022
• Размер: 0.84 Mb.
• Имя файла: Laboratornye_raboty_2_3_4_09_6_chasov.doc
• Тип: Документы; #690855
• страница: 2 из 7

Анализ плоских волн методами геометрической оптики

Рассмотрим основы метода приближенного решения уравнения Гельмгольца, который применяют в том случае, когда длина волны пренебрежимо мала по сравнению с любыми характерными размерами неоднородностей материальной среды. Для этого приближения используют термин геометрическая оптика поскольку описанная ситуация типична прежде всего для оптического диапазона волн. Однако этим методом удается эффективно решать многие задачи, связанные, например, с распространением радиоволн в ионосфере и тропосфере Земли, а также исследовать такие неэлектромагнитные волновые процессы, как распространение зву­ковых волн в океане, движение сейсмических волн в земной коре и распространение света в волоконно-оптических световодах.

В основе метода геометрической оптики лежит предположение, что в пределах малой окрестности любой точки наблюдения волновой процесс представляет собой локально-плоскую волну, параметры которой могут быть описаны обобщенным выражением:

(r) = А exp{-i₀L(r)}. (3)

Здесь - обобщенное обозначение волнового параметра – одна из проекций электрического или магнитного поля. L(r) - уравнение поверхности, на которой фаза электромагнитной волны постоянна. Это неизвестная пока функция пространственных координат, которую называют эйконалом . В случае плоской волны, распространяющейся в однородной среде вдоль оси z, в качестве эйконала выступает плоскость перпендикулярная оси z.

Существует нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка, которое называют уравнением эйконала.

| grad L(r) | = ± n(r)

Это уравнение позволяет получить эйконал, если известно, как изменяется показатель преломления. Уравнение, допускает разнообразные обобщения, и является основным соотношением геометрической оптики пространственно неоднородной среды. Отметим следующие важные факты:

• В уравнение эйконала не входит длина волны. Поэтому метод геометрической оптики не учитывает каких-либо дифракционных эффектов и явлений интерференции волн.

• Метод геометрической оптики справедлив лишь в том случае, когда n(r)>0 во всех точках пространства. Дело в том, что уравнение Гельмгольца с отрицательным вторым слагаемым левой части имеет совершенно другое решение.

Чтобы разобраться, что такое эйконал, рассмотрим несколько простых примеров.

Для плоской волны распространяющейся в однородной среде вдоль оси z уравнение эйконала имеет следующий вид

| grad L | = = n = const,

а его решение: L(z) = nz. Запишем выражение для обобщенного волнового параметра

.

Для однородной среды эйконал – это плоскость, перпендикулярная направлению распространения.

Теперь пусть волна по-прежнему распространяется вдоль оси z, и показатель преломления изменяется с ростом z. n =n(z).Уравнение эйконала будет выглядеть так

dL/dz =  n(z)

решение этого уравнения:

(4)

Знак ± стоящий перед интегралом говорит о том, что при положительном n возможны прямая и обратная волны, а суммарное поле будет их суперпозицией. И в этом случае эйконал – плоскость перпендикулярная z, но в первом случае эйконал зависит от z линейно, а во втором - нелинейно.

Уравнение лучей

Ч тобы описать волновой процесс в приближении геометрической оптики, достаточно располагать семейством поверхностей постоянных фаз L(x,y,z)=const, которое образовано решениями уравнения эйконала. При этом можно задаться какой-либо начальной поверхностью, а затем, интегрируя уравнение эйконала, построить другие поверхности постоянной фазы – волновые фйронты.

На практике предпочитают вместо совокупности поверхностей равных фаз строить лучевую картину поля, более традиционную и наглядную. Лучи образуют семейство линий, ортогональных к волновым фронтам. Вектор, касательный к лучу в некоторой точке пространства, указывает направление перемещения волнового фронта локально-плоской волны. Отсюда следует, что касательная к лучу ориентирована вдоль вектора gradL, указывающего направление наибыстрейшего изменения эйконала в пространстве и направление, вдоль которого распространяется электромагнитная волна. Воспользовавшись уравнением эйконала, можно получить уравнение для луча.Векторное уравнение луча, выраженное через показатель преломления

, (5)

эквивалентно системе трех дифференциальных уравнений в проекциях:

d/ds (n dx/ds) = dn/dx; d/ds (n dy/ds) = dn/dy; d/ds (n dz/ds) = dn/dz.

Здесь s —длина кривой, отсчитываемая вдоль луча

Эти уравнения дают возможность решить основную задачу геометрической оптики – построить лучевые траектории. Для этого необходимо прежде всего задаться точкой входа луча (х₀, у₀, z₀) и начальным направлением лучевого вектора, т. е. тремя производными (dx/ds, dy/ds, dz/ds), которые представляют собой направляющие косинусы лучевого вектора в исходной точке. Строя шаг за шагом интегральную кривую, приходим в точку выхода луча.

Т аким образом, создав в одной точке пространства плоскую волну с заданным направлением лучевого вектора, мы получаем в другой точке пространства также плоскую волну, у которой направление распространения будет, вообще говоря, уже дру­гим. Построив лишь один луч, мы не получаем никаких сведений об амплитудах волн на входе и выходе, а построив семейство лучей получим сгущение лучей в тех сечениях, в которых амплитуда поля растет и разряжение, где падает.

Простейший случай — распространение плоских волн в однородной среде, для которой n = const и поэтому grad n = 0. Из (5) следует, что здесь d² /ds² = 0, откуда г = sa + b , где а и b —некоторые постоянные векторы. Луч представляет собой прямую линию.

Лучи в градиентном световоде. Математическая модель распространения достаточно коротких электромагнитных волн в градиентном световоде, в рамках метода геометрической оптики, сводится к решению уравнения луча при условии, что показатель преломления среды зависит только от радиуса.

Дифференциальное уравнению луча

, (1.3)

для волоконно-оптической линии передачи записывается в цилиндрической системе координат с учетом симметрии по оси . Учтем, что в оптическом волокне показатель преломления не зависит от z, а лучи идут почти параллельно продольной оси. Тогда в левой части приближенно можно считать d/ds = d/dz, а n можно вынести из под знака производной.. Спроектируем векторное уравнение на ось r.

n d²r/dz² = dn/dr,

(1.4)

Это дифференциальное уравнение (1.4) будем решить с помощью программы Mathcad.