Лекции по теории информации. Фурсов teoria_informacii. Лекции по теории информации под редакцией Н. А. Кузнецова
 Скачать 1.32 Mb.
|
|
1.4 Частотное представление периодических сигналов Рассмотрим представление детерминированных сигналов с применением в качестве базисных функций pt t е , при p j . Такое представление на- зывается преобразованием Фурье. В силу формулы Эйлера cos 2 j t j t t е е преобразование Фурье дает возможность представить сложный сигнал в виде суммы гармоник [13]. Предположим, что функция u t , описывающая детерминированную реа- лизацию сигнала на интервале 1 2 , t t , удовлетворяет условиям Дирихле (непре- рывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, а также конечное число экстремумов) и повторяется с периодом 2 1 T t t при ( , ) t . Ис- 13 пользуя указанную выше базисную функцию j t t е , функцию u t можно представить в виде 1 1 1 2 jk t k u t A jk е , (1.8) где 2 1 1 1 2 t jk t t A jk u t е dt T , (1.9) а период 2 1 1 2 T t t Коэффициенты 1 A jk в данном спектральном представлении называют комплексным спектром периодического сигнала u t , а значение 1 A jk для конкретного k – комплексной амплитудой. Комплексный спектр дискретный, но путем замены 1 k для него можно построить огибающую: 2 1 2 t j t t A j u t е dt T (1.10) Как всякое комплексное число, комплексный спектр можно представить: а) в показательной форме: 1 1 1 j k A jk A k е , (1.11) где 1 A k – спектр амплитуд, а 1 k – спектр фаз (также дискретный); б) в алгебраической форме: 1 k k A jk A jB , (1.12) где 2 1 1 2 cos t k t A u t k t dt T , 2 1 1 2 sin t k t B u t k t dt T Представление (1.12) получается из (1.9) путем замены по формуле Эйлера: 1 1 1 cos sin jk t е k t j k t Ясно, что 2 2 1 k k A k A B , а 1 k k k arctg B A . Из равенства, определяющего в (1.12) вещественную часть k A при 0 k , получаем равенство для постоянной составляющей сигнала: 14 2 1 0 1 2 t t A u t dt T (1.13) Объединяя в (1.8) комплексно-сопряженные составляющие можно полу- чить ряд Фурье в тригонометрической форме: 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 cos 2 jk t jk t k j k t k j k t k k k A u t A jk е A jk е A A k е A k е A A k k t k (1.14) Спектры амплитуд – 1 A k и фаз – 1 k могут быть представлены спектральными диаграммами в виде совокупности линий, каждая из которых соответствует определенной частоте (одному из слагаемых). Поэтому эти спек- тры называют линейчатыми. Сигналы, линейчатые спектры которых включают гармоники некратных частот, называются почти периодическими. 1.5 Распределение энергии в спектре периодического сигнала В соответствии с (1.14) энергию, выделяемую периодическим сигналом за время, равное периоду T , можно представить в виде 1 1 1 1 1 2 2 0 1 1 1 0 0 2 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 2 2 4 2 1 2 T T jk t jk t k T T T jk t jk t k k T j k l t k l A u t dt A jk е A jk е dt A A dt A jk е dt A jk е dt A jk A jl е dt Можно показать, что 1 1 0 0 0 T T jk t jk t е dt е dt , а 1 0 0 при , при T j k l t k l е dt T k l С учетом этого окончательно получаем 15 2 2 2 0 1 1 0 2 2 T k T A u t dt A jk (1.15) Из (1.15) следует, что средняя за период энергия сложного периодического сиг- нала равна сумме средних энергий, выделяемых каждой гармоникой. 1.6 Частотное представление непериодических сигналов Предположим, что соответствующая реальному непериодическому сигна- лу функция u t удовлетворяет условиям Дирихле и абсолютно интегрируема: u t dt . Тогда спектральное представление непериодического сигнала u t можно строить путем увеличения периода периодического сигнала до бес- конечности. Для этого поступим следующим образом. Подставим выражение (1.9) для комплексной амплитуды 1 A jk перио- дического сигнала в (1.8). С учетом того, что 1 2 / T имеем 2 1 1 1 1 1 2 t jk t jk t k t u t u t е dt е Далее осуществим предельный переход при T . При этом сумма переходит в интеграл, 1 d , 1 k . В результате получаем: 1 2 j t j t u t u t е dt е d Введя в последнем равенстве для интеграла в квадратных скобках обозначение S j , запишем пару преобразований Фурье: 1 2 j t u t S j е d , (1.16) j t S j u t е dt (1.17) Комплексную функцию S j называют комплексной спектральной плотностью или спектральной характеристикой. Также как в случае периодиче- 16 ского сигнала, для непериодического сигнала имеют место следующие пред- ставления спектральной характеристики: а) показательная форма: j S j S е , (1.18) где S S j – спектральная плотность амплитуд, а – спектр фаз; б) алгебраическая форма (получается из (1.17) путем замены cos sin j t е t j t ): S j A jB , (1.19) где cos A u t t dt , sin B u t t dt (1.20) При этом 2 2 S S j A B , arctg B A . (1.21) Подставляя S j из (1.18) в (1.16) имеем 1 2 1 cos sin 2 j t u t S е d S t d j S t d Второй интеграл от нечетной функции равен нулю, а первый (в силу чет- ности подынтегральной функции) можно записать только для положительных частот. Таким образом, получаем тригонометрическую форму ряда Фурье: 0 1 cos u t S t d , (1.22) которая дает возможность ясного физического толкования. В заключение рассмотрим еще одно интересное свойство. Для функции u t , заданной на интервале 1 2 , t t в соответствии с (1.17) можно записать 2 1 t j t t S j u t е dt (1.23) 17 Сравнивая правые части (1.10) и (1.23) нетрудно заметить, что имеет место ра- венство 2 A j S j T , т.е. по S j одиночного импульса можно постро- ить линейчатый спектр их периодической последовательности. 1.7 Распределение энергии в спектре непериодического сигнала Выражение для величины, характеризующей энергию, выделяемую сигна- лом, с учетом (1.16) можно записать в виде: 2 1 2 j t u t dt u t S j е d dt Перепишем последнее равенство, изменив порядок интегрирования: 2 1 2 j t u t dt S j u t е dt d (1.24) Сравнивая правые части (1.17) и (1.24) нетрудно заметить, что выражение в квадратных скобках в (1.24) не что иное как S j , следовательно 2 1 2 u t dt S j S j d Теперь с учетом свойства 2 S j S j S j можно окончательно запи- сать так называемое равенство Парсеваля: 2 2 2 0 1 1 2 u t dt S j d S j d (1.25) В соответствии с этим равенством энергию, выделяемую непериодическим сиг- налом за время его существования, можно определить, интегрируя квадрат мо- дуля спектральной характеристики в интервале частот. 18 1.8 Соотношение между длительностью сигналов и шириной их спектров Предположим, что сигнал u t определенной продолжительности имеет спектральную характеристику S j . Найдем соответствующую характери- стику S j для сигнала u t , длительность которого изменена в раз: 1 1 j j t S j u t e dt u e d S j , (1.26) где t Из (1.26) видно, что спектр укороченного (удлиненного) в раз сигнала в раз шире (уже), при этом коэффициент 1/ изменяет только амплитуды гар- моник и на ширину спектра не влияет. Указанное свойство связано с тем, что переменные t и входят в показатель степени экспоненциальной функции прямого и обратного преобразования Фурье в виде произведения. Из этого сле- дует, что длительность сигнала и ширина его спектра не могут быть одновре- менно ограничены конечными интервалами. В частности, имеет место соотно- шение: t f Const , где t – длительность импульса, f – ширина спектра. 19 Лекция 2 Модели случайных сигналов 2.1 Случайный процесс как модель сигнала Более адекватной моделью сигнала при изучении вопросов передачи и преобразования информации является случайный процесс, для которого рас- сматривавшиеся выше детерминированные функции рассматриваются как от- дельные реализации. Случайным процессом называют случайную функцию времени U t , зна- чения которой в каждый момент времени являются случайной величиной. Слу- чайные процессы, могут быть непрерывными и дискретными как по времени, так и по множеству состояний, т.е. по аналогии с классификацией детермини- рованных сигналов возможен один из четырех типов случайного процесса: 1) непрерывный случайный процесс (множество состояний – континуум, а из- менения состояний возможны в любой момент времени); 2) непрерывная случайная последовательность (изменения состояний допуска- ются лишь в конечном или счетном числе моментов времени); 3) дискретный случайный процесс (изменения состояний могут происходить в произвольные моменты времени, но множество состояний конечно); 4) дискретная случайная последовательность (состояния из конечного множе- ства могут изменяться в конечном или счетном числе моментов времени). Для описания свойств случайного процесса может использоваться N - мерная плотность вероятности 1 2 1 2 , ,..., ; , ,..., N N N p U U U t t t системы N случай- ных величин 1 1 2 2 , ,..., N N U U t U U t U U t , взятых в моменты времени 1 2 , ,..., N t t t . В частности, одномерная плотность вероятности 1 ; p U t характери- зует распределение случайной величины в произвольный момент времени t , а двумерная плотность 2 1 2 1 2 , ; , p U U t t дает вероятность совместной реализации значений случайных величин в произвольные моменты времени 1 2 , t t . Имеет место соотношение 20 1 1 1 2 1 2 1 2 2 ; , ; , p U t p U U t t dU (2.1) Оперирование с плотностью вероятности, в особенности, высокого порядка чрезвычайно трудоемко. Поэтому для характеристики случайного процесса обычно используют моментные функции первого и второго порядка: математи- ческое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию. Математическим ожиданием случайного процесса U t называют неслу- чайную функцию времени u m t , значение которой в каждый момент времени равно математическому ожиданию случайной величины в соответствующем сечении случайного процесса: 1 ; u m t M U t U p U t dU , (2.2) где 1 ; p U t – одномерная плотность вероятности. Дисперсией случайного процесса U t называют неслучайную функцию времени u D t , значение которой в каждый момент времени равно дисперсии случайной величины в соответствующем сечении случайного процесса: 2 2 1 ( ) ; u u D t M U t U t m t p U t dU , (2.3) где u U t U t m t – центрированная случайная величина в сечении t . Корреляционной (автокорреляционной) функцией случайного процесса U t называют неслучайную функцию 1 2 , u R t t двух аргументов, которая для каждой пары произвольно выбранных значений 1 2 , t t равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайного процесса: 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 , , ; , u R t t M U t U t U t U t p U U t t dU dU , (2.4) где 1 1 1 2 2 2 ( ) , ( ) u u U t U t m t U t U t m t 21 Часто во многих отношениях удобнее использовать нормированную авто- корреляционную функцию: 1 2 1 2 1 2 , , u u u u t t R t t t t , (2.5) где u u D . При произвольном 1 2 t t t автокорреляционная функция (2.4) вырождается в дисперсию (2.3): 1 2 , u u R t t D t , а соответствующая нор- мированная автокорреляционная функция (2.5) равна единице. Для характеристики связи между двумя случайными процессами, напри- мер, U t и V t рассматривают также функцию взаимной корреляции: 1 2 1 2 , uv R t t M U t V t (2.6) С точки зрения изменчивости указанных характеристик во времени разли- чают стационарные и нестационарные случайные процессы. Процесс U t на- зывают стационарным в узком смысле, если описывающие его плотности веро- ятности не зависят от начала отсчета времени. Случайный процесс называют стационарным в широком смысле, если u u m t m Const , (2.7) u u D t D Const , (2.8) , u u R t t R , (2.9) т.е. математическое ожидание (2.2) и дисперсия (2.3) постоянны, а корреляци- онная функция не зависит от начала отсчета времени и является функцией од- ного аргумента 2 1 t t . Легко заметить, что условие постоянства дисперсии (2.8) как частный случай вытекает из требования к корреляционной функции (2.9) при 0 : , 0 u u u D t R t t R Const Обычно предполагается, что стационарный процесс является эргодичным, т.е. среднее по ансамблю реализаций равно среднему по времени на одной длинной реализации: 0 0 1 lim T u T m u t dt u T , (2.10) |