Лекции по теории информации. Фурсов teoria_informacii. Лекции по теории информации под редакцией Н. А. Кузнецова
 Скачать 1.32 Mb.
|
|
2.2 Спектральное представление случайных сигналов Подобно детерминированным сигналам случайный процесс может быть представлен в виде суммы спектральных составляющих. Для этого использует- ся так называемое каноническое разложение случайных процессов U t в виде u k k k U t m t С t , (2.13) где u m t – математическое ожидание случайного процесса (2.2), k t – не- случайные базисные (координатные) функции, а k С – некоррелированные слу- чайные величины с математическими ожиданиями равными нулю и дисперсией k D , т.е. при , 0 при k k l D k l M С С k l (2.14) Слагаемые k k С t называют элементарными случайными процессами. Случайность такого процесса проявляется через случайную величину k С , кото- рую называют коэффициентом канонического разложения. Найдем корреляционную функцию случайного процесса U t , представ- ленного каноническим разложением (2.13): 1 2 1 2 1 2 , u k k l l k l R t t M U t U t M С t С t 1 2 , k l k l k l M С С t t Поскольку по предположению , k l С С – некоррелированны, с учетом условий (2.14) выражение для корреляционной функции принимает вид 23 1 2 1 2 , u k k k k R t t t t D (2.15) Представление корреляционной функции в виде суммы (2.15) называют кано- ническим разложением корреляционной функции случайного процесса U t Доказано [8], что всякому каноническому разложению случайного процес- са (2.13) соответствует каноническое разложение корреляционной функции (2.15). Справедливо и обратное утверждение: всякому разложению корреляци- онной функции вида (2.15) соответствует каноническое разложение центриро- ванного случайного процесса. Полагая в выражении (2.15) 1 2 t t t получим формулу для дисперсии случайного процесса: 2 , u u k k k D t R t t D t (2.16) Таким образом, при выбранном наборе координатных функций центрирован- ный случайный процесс характеризуется совокупностью дисперсий коэффици- ентов разложения, которую можно рассматривать как обобщенный спектр слу- чайного процесса. Для построения представлений (2.13), (2.15) и/или (2.16) необходимо найти координатные функции k t некоррелированных случайных величин k С , что во многих случаях представляет значительные трудности. Если k t – ортогональные координатные функции, а / 2 2 / 2 T u T m t dt , неслучайную функцию u m t на интервале T также можно разложить по анало- гии с (1.1): u uk k k m t m t , (2.17) где / 2 / 2 T uk u k T m m t t dt 24 Подставляя u m t из (2.17) в (2.13) для случайного процесса U t с отличным от нуля средним значением каноническое разложение получаем в виде uk k k k U t m С t (2.18) Соотношение (2.18) может рассматриваться как обобщенное спектральное представление типа (1.1) для случайного сигнала. 2.3 Частотное представление стационарных случайных сигналов, дискретные спектры Предположим, что случайный процесс задан на конечном интервале вре- мени , T T . Тогда соответствующая корреляционная функция u R должна рассматриваться на интервале 4T , т.к. при 1 2 , T t t T должны выполняться неравенства 2 2 T T Считая u R условно продолжающейся с периодом 4T можно записать 1 1 2 jk u k k R D e , (2.19) 1 2 2 1 0, 1, 2,... 2 T jk k u T D R e d k T , (2.20) где 1 2 4 2 T T С учетом того, что u R – четная функция, (2.20) можно представить в виде 1 2 0 1 T jk k u D R e d T Положив в (2.19) 1 2 t t можно записать 1 1 1 2 1 2 1 2 jk t jk t u k k R t t D e e (2.21) Сравнивая последнее выражение с (2.15) нетрудно заметить, что (2.21) – суть каноническое разложение корреляционной функции. Как указывалось ранее, 25 ему соответствует каноническое разложение центрированного случайного про- цесса: 1 1 2 jk t k k U t C e , (2.22) где k С : 2 k k M С D В общем случае в правую часть (2.22) необходимо добавить математическое ожидание стационарного случайного процесса – u m . При объединении экспоненциальных составляющих с одинаковыми по аб- солютной величине индексами разных знаков стационарный случайный про- цесс на ограниченном интервале времени представляется суммой гармоник: 1 1 1 cos sin u k k k U t m a k t b k t , (2.23) где 1 2T , u m M U t , 0 k k M a M b , 2 2 k k k M a M b D Из представления спектрального разложения в тригонометрической форме (2.23) видно, что получающиеся спектры являются линейчатыми, т.е. каждой гармонике на спектральной диаграмме будет соответствовать вертикальный от- резок, длина которого пропорциональна дисперсии амплитуды k D . 2.4 Частотное представление стационарных случайных сигналов, непрерывные спектры Для описания стационарного случайного процесса при любом t построим интегральное каноническое разложение. Для этого несколько изме- ним формулу (2.19): 1 1 2 jk k u k D R e , (2.24) где 1 2 k k T – интервал частот между соседними гармониками. 26 Обозначим 1 2 k u k D T S k D (2.25) Функцию 1 u S k называют средней плотностью дисперсии стационарного процесса. Это дисперсия, приходящаяся на единицу длины частотного интерва- ла между соседними гармониками. С учетом обозначения (2.25) формула (2.24) примет вид 1 1 1 2 jk u u k R S k e (2.26) Подставляя в (2.25) выражение для k D из (2.20) можно также записать 1 2 1 2 1 T jk u u T S k R e d (2.27) Далее осуществим в (2.26), (2.27) предельный переход при T . При этом сумма переходит в интеграл, 1 u u S k S , 1 k , d . В резуль- тате получаем: 1 2 j u u R S e d , (2.28) 1 j u u S R e d (2.29) Величина u S d , фигурирующая в (2.28), по смыслу введенного обо- значения (2.25) представляет собой дисперсию, приходящуюся на спектральные составляющие в интервале частот , d . Функцию u S , характери- зующую распределение дисперсии случайного процесса по частотам, называют спектральной плотностью стационарного случайного процесса. По аналогии с (2.21) выражение для интегрального канонического разло- жения корреляционной функции u R можно записать, положив в (2.28) 1 2 t t : 1 2 1 2 j t j t u u R S e e d (2.30) 27 Подобно разложению корреляционной функции по той же схеме можно построить разложение случайного процесса. Для этого формулу (2.22) предста- вим в виде 1 1 2 jk t k k C U t e Далее введем обозначение u k k G С и подобно тому как мы это сделали в (2.26), (2.27) осуществим предельный переход при T . В результате полу- чим каноническое разложение стационарной случайной функции: 1 2 j t u U t G e d (2.31) В силу отмечавшегося выше соответствия между разложением (2.21) кор- реляционной функции и разложением (2.22) случайного процесса очевидно, что u G d в (2.31) является случайной функцией с дисперсией u S d , при- ходящейся на спектральные составляющие в интервале частот , d 2.5 Спектральная плотность мощности Перейдем к одностороннему спектру для положительных частот. С ис- пользованием формулы Эйлера представим (2.29) в виде двух слагаемых: 1 cos sin u u u j S R d R d Поскольку u R четная функция, второе слагаемое равно нулю, а первый ин- теграл можно записать для положительных частот: 0 2 cos u u S R d (2.32) Отсюда, в частности, следует, что u S также действительная и четная функ- ция. Следовательно, в (2.28) также можно ограничиться положительными час- тотами: 0 cos u u R S d 28 Положив в последнем равенстве 0 , получаем 0 0 u u u R D S d (2.33) Поскольку дисперсия характеризует мощность сигнала: 2 u u D M U P , спектральную плотность u S часто называют спектральной плотностью мощности. 29 Лекция 3 Преобразование непрерывных сигналов в дискретные 3.1 Формулировка задачи дискретизации Дискретизация сигнала – это преобразование функции непрерывного ар- гумента в функцию дискретного времени. Она заключается в замене непрерыв- ного сигнала u t совокупностью координат: 1 2 , ,..., N с с с A u t , (3.1) где A – некоторый оператор. С точки зрения простоты реализации целесообразно использовать линей- ные операторы. В частности, для определения координат сигнала удобно ис- пользовать соотношение , 1, i i T с Au t t u t dt i N , (3.2) где , 1, i t i N – заданные базисные (в частности, могут использоваться ор- тогональные) функции. При последующем использовании дискретного сигнала для целей управле- ния обычно осуществляют его восстановление с использованием некоторого заданного оператора: * 1 2 , ,..., N u t B с с с , (3.3) Если дискретизация осуществлялась оператором вида (3.2), для восстановления непрерывного сигнала в соответствии с (1.1) может использоваться оператор * 1 N i i i u t c t (3.4) Дискретизация по соотношению (3.2), вследствие применения операции интегрирования, обладает высокой помехоустойчивостью. Однако при этом имеет место задержка сигнала на время интегрирования T . Поэтому чаще дис- кретизация сводится к замене сигнала совокупностью его мгновенных значений (выборок) , 1,2,... i u t i , которая описывается соотношением (1.6). Это дос- 30 тигается использованием в (3.2) дельта-функции: i i t t t . В результате получается решетчатая функция (1.7), а координаты i с сигнала определяются как i i с u t (3.5) Если шаг дискретизации 1 i i i t t t Const – дискретизация называется рав- номерной. При восстановлении непрерывного сигнала по выборкам для обеспечения простоты реализации устройств широко применяются неортогональные базис- ные функции, в частности, используются степенные алгебраические полиномы вида * 0 N i i i u t a t или * 0 0 N i i i u t a t t , где i a – действительные коэффициенты. Представление непрерывного сигнала совокупностью равноотстоящих от- счетов – наиболее распространенный вид дискретизации. Обычно она осущест- вляется с целью дальнейшего преобразования сигнала в цифровую форму. В ре- зультате цифрового кодирования дискретного сигнала происходит его кванто- вание – замена в соответствующие моменты времени мгновенных значений сигнала ближайшими разрешенными. При этом сигнал оказывается дискретным как по времени, так и по множеству значений. Важное достоинство цифровой формы представления сигнала состоит в том, что много уровней квантования можно представить небольшим количест- вом разрядов. Кроме того, при представлении в цифровой форме могут быть реализованы сложные алгоритмы обработки на ЭВМ, включая построение ко- дов обнаруживающих и исправляющих ошибки. |