Лекция
№
|
Содержание курса
«Математические методы моделирования физических процессов»
|
|
Учет погрешностей приближенных вычислений (погрешность округления: введение, основные определения, формулы для оценки).
|
|
Учет погрешностей приближенных вычислений (погрешность арифметических действий, прямая и обратная задача теории погрешности).
|
|
Учет погрешностей приближенных вычислений (вероятностный подход к оценке погрешности, погрешность компьютерной арифметики).
|
|
Неустойчивые задачи и методы. Понятие числа обусловленности системы уравнений. Корректные и некорректные задачи (основные понятия).
|
|
Методы решения СЛАУ (общая постановка задачи и классификация методов, прямые методы решения СЛАУ, метод Гаусса и его приложения).
|
|
Методы решения СЛАУ (прямые методы решения СЛАУ, метод прогонки, понятие корректности и устойчивости вычислительного процесса).
|
|
Методы решения СЛАУ (численные методы решения СЛАУ, метод простых итераций, метод Зейделя, метод релаксации).
|
|
Численные методы решения нелинейных уравнений (общая постановка задачи и её поэтапное описание, метод отделения корней, метод половинного деления, метод хорд (секущих). Понятие об определении вогнутости плоской кривой по анализу знака её второй производной).
|
|
Численные методы решения нелинейных уравнений (метод Ньютона и его модификации и свойства, комбинированный метод).
|
|
Численные методы решения нелинейных уравнений (метод итерации или метод последовательных приближений и его свойства).
|
|
Численные методы оптимизации функций (постановка задачи, классификация методов, методы одномерной оптимизации нулевого порядка).
|
|
Численные методы оптимизации функций (методы одномерной оптимизации первого и второго порядка).
|
|
Аппроксимация функций (постановка задачи и основные определения, интерполяционный полином Лагранжа, понятие погрешности интерполяции, интерполяционная схема Эйткена).
|
|
Аппроксимация функций. Конечные разности (определение и основные свойства). Определение оптимальной степени интерполяционного полинома. Первый и второй интерполяционные полиномы Ньютона, вычислительная и методическая погрешности Ньютоновской аппроксимации.
|
|
Аппроксимация функций. Интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя. Разделенные разности. Интерполяционный полином Ньютона для системы неравноотстоящих узлов, их свойства. Обратное интерполирование.
|
|
Аппроксимация функций. Обработка эмпирических данных (сглаживание экспериментальных зависимостей). Метод наименьших квадратов (постановка задачи, обоснование и свойства, метод линеаризации данных). Кусочно-полиномиальная интерполяция.
|
|
Аппроксимация функций. Интерполяционные сплайны (постановка задачи сплайн-интерполяции. Интерполяционный кубический сплайн дефекта 1. Базисные сплайны с конечными носителями.
|
|
Численное интегрирование. Постановка задачи, простые и составные квадратурные формулы (прямоугольников, трапеций, Симпсона и их погрешности). Общий подход к проблеме численного интегрирования.
|
|
Численное интегрирование. Связь погрешности квадратурных формул с шагом интегрирования. Принцип Рунге практического оценивания погрешностей интегрирования на основе двойного счёта. Порядок точности квадратурных формул, основанных на равномерном разбиении промежутка интегрирования. Квадратурная формула Чебышева.
|
|
Численное интегрирование. Квадратурная формула Гаусса.
Обсуждение корректности задачи численного интегрирования.
|
|
Численное дифференцирование. Постановка задачи. Конечноразностные формулы численного дифференцирования на основе интерполяционных полиномов. Аппроксимации производных в виде разностных отношений различного порядка точности на основе формулы Тейлора. Погрешность формул численного дифференцирования и оптимизация шага численного дифференцирования.
|
|
Приближённые методы решения начальной задачи (НЗ) для ОДУ. Постановка задачи, классификация методов. Эквивалентность НЗ для ОДУ интегральному уравнению. Метод Пикара. Метод Эйлера и его модификации. НЗ для ОДУ n-го порядка и для нормальных систем n-го порядка. Метод Эйлера для нормальных систем ОДУ.
|
|
Приближённые методы решения начальной задачи (НЗ) для ОДУ. Методы решения задачи Коши с помощью формулы Тейлора. Семейство методов Рунге-Кутта второго и четвертого порядка для ОДУ и нормальных систем.
Разностные аппроксимации задачи Коши. Оценка глобальных ошибок вычислительных процессов решения начальной задачи для ОДУ.
|
|
Приближённые методы решения начальной задачи (НЗ) для ОДУ. Многошаговые, экстраполяционные и интерполяционные методы Адамса, оценка погрешности вычислительного процесса. Понятие о предиктор корректорных методах Адамса с пошаговой оценкой погрешности вычислений. Метод Милна – первая и вторая формулы, оценка пошаговой погрешности формул.
|
|
Приближённые методы решения краевых задач для обыкновенных дифференци-альных уравнений второго порядка (постановка задачи и основные определения). Классификация методов решения краевых задач.
Методы сведения краевых задач к начальным (к задачам Коши):
метод пристрелки для краевой задачи Дирихле, метод редукции, метод дифференциальной прогонки.
Численные методы решения краевых задач (метод конечных разностей).
|
|
Приближённо-аналитические методы решения краевых задач:
метод «коллокации» (или интерполяционный метод);
метод Галёркина.
|
|
Приближённые методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Примеры уравнений математической физики. Классификация уравнений с частными производными по дискриминанту (уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типов).
Классификация методов решения уравнений с частными производными.
Корректность постановки задач для уравнений математической физики (постановка краевых и начально-краевых задач для трех типов уравнений).
|
|
Метод сеток или метод конечных разностей для численного решения уравнений математической физики.
Применение метода сеток при решении краевых задач для уравнений эллиптического типа.
|
|
Применение метода сеток при решении краевых задач для уравнений параболического и гиперболического типа.
|
|
Дополнительная лекция. В лекции в качестве справочного материала приведены некоторые сведения из курса линейной алгебры, востребованные при изложении материала данного курса.
|
Скачать 60.5 Kb.