Лекция 1 Дифференциальные уравнения 1го порядка. Разделение переменных

• Название: Лекция 1 Дифференциальные уравнения 1го порядка. Разделение переменных
• Дата: 20.09.2022
• Размер: 1.29 Mb.
• Имя файла: Lekciya_1_DU_1_poryadka-2022.pptx
• Тип: Лекция; #687006

Управление

социальными системами

Математика

Лекция 1



Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Разделение переменных










Дифференциальным уравнением (ДУ) n-го порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y=y(x) и ее производные или дифференциалы до порядка n включительно:

(1)

или

Дифференциальные уравнения

Обыкновенные, если искомая функция зависит только от одной переменной - y=y(x). Пример:

ДУ в частных производных, если искомая функция зависит от нескольких переменных - :

Пример:

Рассматриваем только обыкновенные ДУ.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Если в ДУ можно старшую производную выразить явно через остальные переменные:

(2)

то такое уравнение называется ДУ n-го порядка, разрешенным относительно старшей производной.

Примеры:

1) – уравнение 1-го порядка, неразрешенное относительно производной;

2) – уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной;

3) – уравнение 2-го порядка, неразрешенное относительно производной;

4) – уравнение 1-го порядка в дифференциалах.

Задачи, описываемые дифференциальными уравнениями

Пример 1. Прямолинейное движение тела массы m вдоль прямой x

описывается вторым законом Ньютона: .

Так как и , то

Например, спуск парашютиста описывается уравнением:

Пример 2. Малые колебания физического маятника описываются линейным уравнением

Пример 3. Динамика роста населения (популяции) описывается уравнением:

Решением дифференциального уравнения n-го порядка называется любая n раз дифференцируемая функция, которая, будучи подставленной в уравнение

обращает это уравнение в тождество.

Примеры. 1) для ДУ 1-го порядка

решение ─ семейство функций

(С – произвольная константа). Проверяется подстановкой:

2) Для ДУ 2-го порядка решение ─ семейство функций

(С1, C2 – произвольные константы) является решением.

Примеры. 3) для ДУ 5-го порядка

решение ─ семейство функций

(С1,…, C5 – произвольные константы) является решением. Проверяется подстановкой.

Во всех примерах количество произвольных констант равно порядку ДУ!

4) Для ДУ 1-го порядка в дифференциалах решение можно представить в виде семейства уравнений

,

которое невозможно однозначно разрешить относительно В этом случае полученное уравнение называем общим интегралом ДУ.

Нахождение из полученного уравнения – алгебраическая задача, а задача решения ДУ считается решенной.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид:

(3)

Если уравнение (3) можно явно разрешить относительно производной, то получим уравнение, разрешенное относительно производной:

(4)

Теорема Коши (о существовании и единственности решения начальной задачи).

Если функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области D, то для любой точки существует единственное решение ДУ (4), удовлетворяющее условию

(5),

которое называется начальным условием.

Общее решение дифференциальные уравнения 1-го порядка

Общим решением ДУ 1-го порядка называется функция

(6)

которая удовлетворяет следующим условиям:

• она удовлетворяет ДУ при любом значении постоянной C и при любых начальных значениях , принадлежащих области D существования и единственности решения;

• найдется такое число , что функция

удовлетворит начальному условию .

Частное решение дифференциальные уравнения 1-го порядка

Частным решением ДУ 1-го порядка называется функция

(7)

которая получается из общего решения

при

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общему решению соответствует

семейство интегральных кривых.

Пример. Для ДУ

общее решение – семейство интегральных

кривых

Начальные условия выделяют

одну интегральную кривую.

 

Общий и частный интеграл дифференциальные уравнения 1-го порядка

В процессе нахождения общего решения нередко приходим к соотношению вида

, (7)

которое называется общим интегралом ДУ и которое может быть неразрешимо относительно y (пример 4).

Частным интегралом называется соотношение

При получении в качестве решения общего или частного интеграла задача считается решенной.

Начальная задача (задача Коши) имеет вид:

Согласно теореме Коши задача имеет единственное решение. Для решения начальной задачи надо:

1) найти общее решение

2) подставить общее решение в начальные условия

:

3) решая полученное алгебраическое уравнение, найти

4) подставляя в общее решение и получаем решение начальной задачи

Решение.

• общее решение имеет вид: .
• подставив это выражение в начальное условие, получим уравнение:

3) решая которое, получим

4) подставляя в общее решение находим решение заданной начальной задачи.

Особые решения ДУ 1-го порядка

Согласно теореме Коши если в окрестности точки ) выполнены условия теоремы существования и единственности, то через точку ) проходит только одна интегральная кривая.

Если условия теоремы Коши не выполнены, например, уравнение не разрешено относительно производной, то могут существовать точки, через которые либо не проходит ни одной интегральной кривой, либо проходят несколько интегральных кривых. Такие точки называются особыми точками дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения могут иметь решения, графики которых состоят только из особых точек. Такие решения называются особыми решениями.

Уравнения вида

Или, так как , то

(9)

называются уравнениями с разделенными переменными.

Пусть функции и имеют первообразные

и соответственно.

Считая y функцией x, уравнение (9) можно рассматривать как равенство двух дифференциалов одного и того же аргумента x. Поскольку дифференциалы равны, то сами функции отличаются друг от друга только на произвольную постоянную, т.е.

или

Пример. Решить уравнение

Решение. Рассматриваемое уравнение имеет вид (9), поэтому

Проинтегрировав, получим общий интеграл исходного уравнения в виде

Этот общий интеграл является ответом.

Уравнения вида

(10)

или

(11)

называются уравнениями с разделяющимися переменными.

Процедура разделения переменных:

• Заменить ;
• уравнение (10), в предположении, что , разделить на и умножить на ;

уравнение (11), в предположении, что ,

разделить на и умножить на

В результате этого уравнения примут соответственно вид:

или

• проинтегрировать обе части полученного равенства, прибавив константу интегрирования в любую часть равенства;
• решить решение для уравнения (10) и уравнения , для уравнения (11)

и для всех решений этих уравнений проверить, являются ли они решениями исходного дифференциального уравнения.

Пример. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение имеет вид (10). Проведем процедуру разделения переменных:

1)

2) В предположении, что , получим:

Вычислим интеграл левой части:

Решение (продолжение).

Вычислив интеграл правой части, получим решение:

Преобразуем полученное решение.

Положим , предполагая что

Тогда полученный общий интеграл запишется в виде:

Потенцируем это равенство:

и, используя свойства логарифмов, имеем:

Решение (продолжение).

В силу произвольности константы С1 , получим семейство

Непосредственной проверкой (подстановкой в исходное уравнение) проверяем, что решения уравнения

удовлетворяют исходному ДУ , но не вошли в полученное семейство

Решение или может быть добавлены к семейству, если положить

Решение (продолжение).

В итоге, получаем общее решение в виде общего интеграла

Замечание. В дальнейшем все произвольные константы даже после преобразований будем обозначать просто , без индекса.

Уравнение в дифференциалах

(12)

решается по описанной схеме.

Пример. Решить уравнение в дифференциалах

Решение. Запишем уравнение в виде:

При стоит «чужая» функция , а при ─ «чужая» функция . Разделим уравнение на , предполагая, что :

и проинтегрируем:

Вычислим отдельно интеграл правой части равенства

Тогда

Потенцируем уравнение и используем свойства логарифмов:

Отменим предположение, что

Из уравнения находим:

или

Подстановкой убедимся, что обе эти функции удовлетворяют исходному уравнению:

Решение можно включить в полученное семейство

при исключенном ранее значении .

Решение нельзя включить в семейство ни при каком С.

Ответ:

Пример. Решить начальную задачу:

Решение. 1) Найдем общее решение уравнения

Перепишем уравнение в виде

Умножим уравнения на дифференциал :

Предполагая, что и , разделим уравнение на :

Решение (продолжение).

Проинтегрировав последнее уравнение, получим:

которое можно записать в виде

Потенцируем уравнение:

откуда, используя свойства логарифмов, получим

Решение (продолжение).

Проверим, были ли при разделении переменных потеряны какие-либо решения исходного уравнения.

Деление на не привело к потере решения, так как при

исходное уравнение не обращается в тождество.

Функция является решением исходного уравнения. Включим это решение в общее решение при .

Итак, общее решение имеет вид:

2) Подставим общее решение

в начальное условие и получим уравнение:

,

3) решая которое, найдём

4) Подставим найденное значение константы в общее решение и получим решение начальной задачи:

Ответ:

Однородные функции

Функция называется однородной функцией степени (порядка) n, если

Примеры однородных функций:

- 3 степени - 2 степени

- 1 степени - 0 степени

Всякая однородная функция степени n представима в виде

Дифференциальное уравнение

называется однородным, если ─ однородная функция степени 0.

Тогда однородное дифференциальное уравнение может быть представлено в виде

Если исходное уравнение задано как уравнение в дифференциалах

то оно является однородным, если функции P(x,y) и Q(x,y) – однородные функции одного порядка, т.е.

 

Метод решения

Однородные уравнения приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными заменой

тогда

или

Пример. Решить уравнение

Решение. Уравнение является однородным, так как и является однородными 1 степени.

Полагаем

.

Подставляем в исходное уравнение:

.

Сделаем преобразования, объединяя выражения при дифференциалах:

,

Пример (продолжение).

Так как разделим переменные:

Вычислим второй интеграл:

Тогда

Вернемся к исходным переменным и после преобразований получим:

Ответ: