Линейный уравнения. Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 2 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1
 Скачать 0.58 Mb.
|
|
1 Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 2 Понятие дифференциального уравнения и его решения • Обыкновенным дифференциальным уравнением 1- го порядка называется выражение вида где заданная функция, независимая переменная, неизвестная функция, - её производная, наличие которой обязательно. • Решением дифференциального уравнения называется функция определённая на некотором интервале вместе со своей производной и обращающее на этом интервале уравнение в тождество ( , , ) 0, F x y y F ( ) y y x x ( ), y y x ( , ) a b ( , ( ), ( )) 0, ( , ). F x y x y x x a b y 3 Интегральная кривая • График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. • Пример 1. Рассмотрим уравнение вида • Решение уравнения: • Интегральные кривые – семейство парабол (рис.1) 2 0. y x 2 2 2 y x y xdx x C x y Рис.1 4 Задача Коши • Задачей Коши для дифференциального уравнения 1- го порядка называется задача нахождения решения этого уравнения , удовлетворяющего начальным условиям где заданные значения. • Обычно задача Коши записывается в виде • Геометрически задача Коши является задачей о нахождении интегральной кривой, проходящей через заданную точку ( ) y y x 0 0 ( ), y y x 0 0 ( , ) x y 0 0 ( , , ) 0, ( ). F x y y y y x 0 0 0 ( , ). M x y 5 Единственность решения задачи Коши • Будем говорить, что задача Коши с начальными условиями имеет единственное решение , определённое на интервале если не существует решения заданной задачи Коши, определённого на этом же интервале, не совпадающего с решением . 0 0 ( ) y y x ( ) y y x ( , ), a b ( ) y y x 6 Контрпример. • Пример 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение вида • Легко видеть, что функции вида являются решениями уравнения и через каждую точку плоскости проходит бесконечно много соответствующих интегральных кривых. 2 / 3 3 y y 3 3 ( ) , , 0, , ( ) , x x y x x x 0 0 0 ( , ) M x y 7 Теорема существования и единственности • Пусть функция непрерывна в открытой области и существует непрерывная частная производная в этой области. Тогда для любой точки , принадлежащей области задача Коши имеет единственное решение, определённое на некотором максимальном интервале . ( , ) f x y D f y 0 0 0 ( , ) M x y , D 0 0 ( , ), ( ). y f x y y y x ( , ) a b 8 Геометрическая иллюстрация Пусть , и в области выполняются условия теоремы существования и единственности, тогда через точку проходит единственная интегральная кривая. y x 0 M D 0 M D D 0 M 9 Частные и общие решения Пусть - область существования и единственности дифференциального уравнения. • Всякое решение задачи Коши с начальным условием называется частным решением. • Семейство решений зависящее от произвольной постоянной , называется общим решением, если любое частное решение содержится в общем решении D 0 0 0 0 ( ), ( , ) y y x x y D ( ) y y x ( , ), y x C C 10 Особые решения • Решение дифференциального уравнения, в каждой точке которого нарушается единственность задачи Коши, называется особым решением. • Для примера 2 функция является особым решением. 0 y 11 Общий интеграл. • Неявная функция называется общим интегралом, если она определяет общее решение дифференциального уравнения. • Дифференциальные уравнения вида называются уравнение в дифференциалах . ( , , ) 0 x y C ( , ), y x C ( , ) ( , ) 0 M x y dx N x y dy 12 Геометрическое истолкование дифференциального уравнения • Пусть функция является решением дифференциального уравнения . Проведём касательную к интегральной кривой и обозначим через угол наклона касательной к оси . Тогда , поэтому ( ) y y x ( , ). y f x y ( ) y y x Ox ( ) y x tg ( , ( )). tg f x y x x y O D M ( , ) y f x y 13 Поле направлений • Таким образом, угол наклона к оси касательной к интегральной кривой определяется правой частью диф.уравнения. • Если в каждой точке области определения функции построить отрезки, составляющие с осью угол такой, что то получим поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением Ox ( , ) f x y ( , ) M x y D Ox ( , ), tg f x y ( , ). y f x y 14 Изоклины • Кривая в которой наклон к оси поля направлений один и тот же, называется изоклиной. • Пример. Для уравнения изоклинами являются окружности ( , ) , , f x y C C const Ox 2 2 y x y 2 2 , 0. x y k k 15 Дифференциальные уравнения, разрешимые в квадратурах 16 Если решение дифференциального уравнения явно или неявно выражается через элементарные функции или интегралы от них, то такие уравнения называются разрешимыми в квадратурах 17 Уравнения с разделяющимися переменными • Дифференциальные уравнения вида • называются уравнениями с разделяющимися переменными. • Уравнения с разделяющимися переменными в дифференциалах имеют вид • Пример 1. ( ) ( ) y f x g y y y x ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 1 2 M x M y dx N x N y dy 18 Математическая модель химической реакции Пусть масса вещества, вступившего в химическую реакцию в момент времени . Известно, что скорость химической реакции пропорциональна массе : Начальное условие ( ) m m t dm m dt , 0. dm km k dt (0) 0 m m t 19 Однородные уравнения Функция называется однородной функцией степени , если для любого выполняется равенство Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если функции являются однородными функциями одинаковой степени. ( , ) f x y m 0 t ( , ) ( , ). m f t x t y t f x y ( , ) ( , ) 0 M x y dx N x y dy ( , ), ( , ) M x y N x y 20 Ещё об однородных уравнениях Уравнение , разрешённое относительно производной, называется однородным , если функция является однородной функцией нулевой степени. • Для решения однородного уравнения вводится новая неизвестная функция ( замена) • Пример 1. ( , ) y f x y ( , ) f x y y z x 1 y y y x x 21 Пример 2. • Найти общее решение 2 2 (2 ) 0 x y dx xydy 22 Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется дифференциальное уравнение 1-го порядка вида где функции p(x) и q(x) непрерывны на некотором интервале (a,b). • Областью существования и единственности уравнения является полоса ( ) ( ), y p x y q x a x b 23 Линейные однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка Линейное дифференциальное уравнением 1- го порядка вида называется однородным. Если правая часть уравнения отлична от нуля, то - неоднородным ( ) 0 y p x y 24 Метод вариации решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. • Найдём вначале решение однородного уравнения. • Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения 1-го порядка имеет вид ( ) 0 y p x y ( ) dy p x y dx 25 • Pазделив переменные, получаем ( ) ln ( ) ln , 0, ( ) ( ). ln ( ), ( ), dy p x dx y y x C C где x первообразная p x y x C x y C R общее решение Ce однородного уравнения P P P P 26 Решение неоднородного уравнения • Будем разыскивать решение неоднородного уравнения, заменив константу С на функцию C(x), т.е ( ) ( ) ( ), 0 ( ) 0 x y C x y x где y x e P 27 • Имеем ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( )) ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0, ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) , ( ) 0 ( ) ( ( ) 0 0 ) ( ) , c x y x c x y x p x c x y x q x c x y x c x y x p x y x q x y x p x y x т к y x решение однородного уравнения q x q x c x y x q x c x c x dx y x y x G C е x т c x ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) 0 ( ) 0 Отсюда где q x первообразная функции y G x y x G x C x y x 28 Решение линейного уравнения методом Бернулли Линейное уравнение первого порядка можно решить, сделав подстановку Бернулли где неизвестные функции. , y u v , u v 29 Пример • Решить уравнение 4 2 2 xy y x 30 Уравнение Бернулли Уравнением Бернулли называется уравнение вида • Ненулевое решение уравнения Бернулли можно получить заменой ( ) ( ) , , 0, 1. n y p x y q x n R n y n 1 , (1 ) n n z y z n y y 31 • При которой уравнение Бернулли сводится к линейному Второй способ решения состоит в замене y=u v- "подстановка Бернулли". 1 ( ) ( ), (1 ) ( ) ( ) y n p x y q x n y n z p x z q x 32 Пример • Решить уравнение 2 2 x y y y e 33 Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Если левая часть уравнения в дифференциалах является дифференциалом некоторой функции т.е. то дифференциальное уравнение называется уравнение в полных дифференциалах. ( , ) ( , ) 0 M x y dx N x y dy ( , ) x y A ( , ) ( , ) ( , ) , d x y M x y dx N x y dy A 34 Односвязная область • Область называется односвязной, если множество точек, ограниченных непрерывной замкнутой кривой , лежащей в , также принадлежит . Т.е. в односвязной области нет "дырок". D L D D D L 35 Критерий уравнения в полных дифференциалах • Теорема. Пусть функции непрерывны вместе со своими частными производными • в односвязной области . Тогда, уравнение в дифференциалах • является уравнением в полных дифференциалах, если в области выполняется равенство ( , ), ( , ) M x y N x y , M N y x D ( , ) ( , ) 0 M x y dx N x y dy D M N y x 36 Пример • Найти общий интеграл уравнения 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 x xy dx x y y dy 37 Замечание • В уравнение в дифференциалах • переменные входят равноправно. Таким образом, в качестве решения можно рассматривать функции наряду с функциями . • Пример 1 ( , ) ( , ) 0 M x y dx N x y dy , x y ( ) x x y ( ) y y x 0 ydx xdy 38 «Перевёрнутое уравнение» • Поэтому к интегральным кривым уравнения • будем относить и решения перевёрнутого уравнения • Пример 2. ( , ) y f x y 1 1 ( , ) ( , ) f x y x x f x y 2 (2 ) x y y y Blow up – Взрыв решения • Свойством blow-up называют стремление решения дифференциального уравнения к бесконечности на конечном промежутке времени • Теория blow-up является теорией катастроф нелинейных явлений. 39 40 Blow up – Взрыв решения Замечание. Непрерывность правой части уравнения при любых может не обеспечивать существование решения задачи Коши в произвольной окрестности заданной точки • Пример ( , ) y f x y x 0 x 2 (0) 1 y y y Решение • Имеем , разделяя переменные| • Поставляя начальные условия , получаем • Таким образом, решение при хотя правая часть уравнения непрерывна вместе со своей производной во всех точках координатной плоскости. 1 1 . 2 dy dx x C y y x C y 0, 1 x y 1 1, 1 C y x y 1, x 2 ( , ) f x y y ( , ) 2 f x y y В точке происходит взрыв « Blow up » решения. • График частного решения. 42 1 x y x 1 |