математика. математика практические. Решить уравнения, допускающие понижение порядка

Название	Решить уравнения, допускающие понижение порядка
Анкор	математика
Дата	14.01.2022
Размер	40.09 Kb.
Формат файла
Имя файла	математика практические.docx
Тип	Документы #331297

Автономная некоммерческая организация высшего образования

«МОСКОВСКИЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра экономики и управления
Форма обучения: заочная

ВЫПОЛНЕНИЕ

ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МАТЕМАТИКА

Группа
Студент

МОСКВА 2019

Тема 14
Решить уравнения, допускающие понижение порядка:

x2y”=y’2

В это уравнение второго порядка явно не входит неизвестная функция, следовательно полагая y’=z(x), y”=z’, получим дифференциальное уравнение первого порядка:
x2z’=z”
dz/z”= dz/x2
1/z= 1/x+ c
y’=z=x/1+cx
dy=1cx/ c1+cz dx = 1/c*(1+cx/1+cx)*dx- (1/1+cx)dx)
y=x/c- ln(1+cx) / c2 + c^
2)F(y, y’, y”, …, y^n)=0
p(y)=y’

y”=pp’, т.к. y”= dy’/ dx = dp/dy * dy/dx= p’p

y’²+ 2yy”=0

Сделаем заменy y’=p
Тогда y”=pp” Исходное уравнение примет вид
p² + 2ypp’ = 0
p(p+2yp’)=0
1)p=0 =˃ y’=0 =˃ y=C
2) p+2yp’=0
2y*dp/dy= -p

dp/p= -dy/2y
ln |p|= - ½ ln|y| +C1
p= C1/ √y
y’= C1/√y
√ydy=C1dx
2/3

= C1x+C2

=1.5C1x+1.5C2= C3x+C4
Возведем обе части в квадрат

=(С1ч+С2)²

=(С1ч+С2)², y=C, C, C1, C2ϵ R

yy”=y’²-y’³

y’=p(y)

y”=p* dp/dy
yp* dp/dy= p²-p³
Полученное уравнение распадается на два:
p=0 и y* dp/dy= p-p²
Из первого следует, что y=C

И из второго p=y’= y/C1+y
Интегрируя последнее уравнение, имеем
x=C1 ln|y|+y+C2

y”²+y’=xy”

y’=z

y”=z’
z’²+z= xz’

z’=p dz=p dx

p²+z=px
x= (p²+z)/p
dz=p[ (2p²-p²x)/p²dp+ 1/p dz ]
dz= (2p²-z)/p dp+dz

p²-z=0

z=p², x=2p²/p= 2p

z=x²/4
y’=1/4x”

dy=1/4x”dx
y=x³/12 +C

2y’(y”+2)= xy”²

y’=z

2z(z’+2)=xz’²

z’=p

2z(p2)=xp²

z= xp² / 2(p+2)

dz=pdx= p²dx / 2(p+2)+ x(p²+4p)dp / 2(p+2) ²
dx/x= dp/ (p+2); p≠0, p≠-2, p≠-4
x=C1(p+2)

z=C1p²/2

z(x)= (x-C1)² / C1
3C1y=(x-C1)³+C2 y=C, y=c-2x²

yy”+y=y’²

y’=p(y), y”=p’p =˃ upp’+y=p²
p=

=˃ m=1/2, p=√z =˃ z’+2=2 z/y, y≠0
z=ty, z’=t’y+t =˃ t’y=t-2
t’/ (t-2) = 1/y

t=C1y+2

p=y’=√y(C1y+2)

x+C1= ∫ dy/ √C1y²+2y

y’”y’²=y”³

y’=t, y”=t’, y’”=t”

t’=p, t”=pp’
pp’t²=p³

p=0 =˃ t’=0 =˃ t=C=˃ y’=c=˃y=Cx+C1
p’t²=p²

dp/p²= dt/t²
-1/p—1/t-C

1/p=1/t +C= Ct+1 / t

p=t/ Ct+1

t’= t / Ct+z
dt/dx=t/ Ct+1
dt(C+ 1/t)=dx

x=Ct+ln|t+C1

Найдем полный дифференциал от обеих частей
dx= Cdt+1/t dt

Учитывая dy/dx=t =˃dx= dy/t
dy/t=Cdt+1/t dt

dy=Ctdt+dt=dt(Ct+1)
y=∫ (Ct+1)dt=Ct²/c +t + C2
x=Ct+ln|t|+C1

y=Ct²/2 + t + C2
Решить линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

y”+y’-2y=0

λ²+λ-2=0

λ1=1

λ2=-2
y=C1

+C2

2y”-5y’+2y=0

2λ²-5λ+2=0

D=25-16=9
λ1,2= (5±√9) / 4= (5±3)/4= 1/2';2
y=C1

y”-4y’+5y=0

λ²-4λ+5=0

λ1,2=2±√4-5= 2±i

y=C1

+C2

=C1

+C2

=

C1

(cosx+I sinx)+ C2

(cosx-isinx)=

(C1cosx+C2sinx)

y”’-8y=0

λ³-8=0

λ1=2, λ2=-1+i√3, λ2=-1-i√3

y=C1

+(C2

+C3

)

Воспользовавшись формулами Эйлера

cosφ=1/2(

), sinφ=1/2i(

)

= cos√3x±i sin√3x

y=C1

+((C2+C3)cos√3x+i(C2-C3)sin√3x)

C2=

C3=

-i

, где

- действительные произвольные потоянные

y=C1

(

2 cos√3x+

sin√3x)

-y=0

-1=0

=1

λ1,2=±1

λ3,4=±i

y=C1

+C2

+C3sinx+C4cosx

y=C1cos2x+C2sin2x

-10y”’+9y’=0

-10

+9λ=0

λ(

-10

+9)-0

λ(

-1)(

-9)=0

λ1=0

λ2,3=±1

λ3,4=±3
y(x)=C1+C2

+C3

+C4

+C5

y”’-3y”+3y’-y=0

(λ-1)³=0

λ1,2,3=1

y=

(C1+C2x+C3

)

+8y”+16y’=0

+16λ=0

(

+16)=0

(

+4)²=0

=0; λ2= λ3=2i; λ4= λ5=-2i

=C1+(C2+C3x)cos2x+(C4+C5x)sin2x
Решить линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

y”-2y’-3y=

Возьмем уравнение y”-2y’-3y=0 =˃

-2λ=0 =˃ λ1=-1, λ2=3 =˃

y=C1

+C2

f(x)=

=Q0(x)

=a0

5a0

a0=1/3,

=1/3

y=C1

+C2

+1/5

C1+C2+1/5=1, -C1+3C2+4/5=0
y=4/5

+1/5

y”-y=2 -x²

y=C1

+C2

y”-y=2

, y”-y=-x²

1=a0x

2=b0x²+b1x+b2

2a0

≡2

, 2b0-b0x²-b1x-b2≡-x²

a0=2, b0=1, -b1=0, 2b0-b2=0 или b2=2

y=

2=x

+x²+2
y=C1

+C2

+x²+2

y”-3y’+2y=sinx

y=C1

+C2

sinx=1/2i*

-1/2i*

=a0

=b0

=˃

= a0

+ b0

a0=3/20 – i/20, b0=

0=3/20 + i/20

= a0

=(a0+

0)cosx+i(a0+

0)sinx= 3/10cosx+1/10sinx
y=C1

+C2

+3/10cosx+1/10sinx

y”+2y’-3y=x²

λ²+2λ-3=0

λ1=-3, λ2=1

y=C1

+C2

y=x(ax²+bx+c)

=(ax³+bx²+cx)

y’=(3ax²+2bx+c)

+ (ax³+bx²+cx)

=(ax³+(3a+b)x²+(2b+c)x+c)

y”=(3ax²+(6a+2b)x+2b+c+ax³+(3a+b)x²+(2b+c)x+c)

=

(ax³+(6a+b)x²+(6a+4b+c)x+2b+2c)

ax³+(6a+b)x²+(6a+4b+c)x+2b+2c+2ax³+(6a+2b)x²+(4b+2c)x+2c-3ax³-3bx²-3cx=x²

12ax²+(6a+8b)x+2b+4c=x²

12a=1

6a+8b=0

2b+4c=0

a=1/12, b=-3/4a=-1/16, c=-1/2b=1/32

y=(x³/12-x²/16+x/32)

y=C1

+C2

+=(x³/12-x²/16+x/32)

y”+y=xsinx

y=C1sinx+C2sinx

y2=x((Ax+B)sinx+(Cx+D)cosx)=

Ax²sinx+Bxsinx+Cx²cosx+Dxcosx

y’=2Axsins+Ax²cosx+Bsinx+Bxcosx+2Cxcosx-Cx²sinx+Dcosx-Dxsinx

y”=2Asinx+2Axcosx+2Axcosx-Ax²sinx+Bcosx+Bcosx-Bxsinx+2Ccosx-2Cxsinx-

-2Cxsinx-Cx²cosx-Dsinx-Dsinx+Dxcosx=xsinx

A-D=0, B+C=0, 4A=0, -4C=1, D=0, B=1/4, A=0, C=-1/4 =˃

y=C1cosx+C2sinx+x/4sinx-x²/4cosx

Решить уравнения методом вариации произвольных постоянных