Лекция по физике_1.1.. Лекция 1 Механика. Движение материальной точки. Скорость и ускорение произвольно движущейся точки
 Скачать 404.9 Kb.
|
|
Лекция 1 Механика. Движение материальной точки. Скорость и ускорение произвольно движущейся точки Механика – это наука о механическом движении тел и происходящих при этом взаимодействиях между ними. Кинематика – раздел механики, который рассматривает лишь само перемещение тел в зависимости от времени. Наиболее просто описать поведение тела, если можно приять это тело за материальную точку. Материальной точкой называют тело, размерами которого можно пренебречь в рассматриваемой задаче. Для определения положения тела в пространстве используют понятие системы отсчета: включающая тело отсчета, связанную с ним систему координат и прибор (часы) для измерения времени (рис. 1.1). Положение тела в пространстве задается либо с помощью радиус-вектора r , проведенного из начала координат в рассматриваемую точку (для точек 1 и 2 на рис. 1.1 это векторы r 0 и r ), либо с помощью координат x, у, z – проекций вектора r на координатные оси: k z j y i x r , (1.1) где k j i , , - векторы, указывающие направление осей Ox, Oy, Oz и равные по модулю. Вектор S ,соединяющий начальное и конечное положение тела (точки 1 и 2 на рис. 1.1), называют перемещением. Модуль перемещения меньше или равен пути l – расстоянию, пройденному телом по траектории; они равны в случае прямолинейного движения в одну сторону. Для определения быстроты движения тела вводят понятие мгновенной скорости тела в данной точке траектории, равной первой производной от радиус-вектора r по времени t (см. приложение 2): dt r d (1.2) Рис. 1.1 Вектор в каждой точке траектории пространства направлен по касательной к ней (рис. 1.2). Часто используют понятие средняя путевая скорость v ср – скалярная физическая величина, равная отношению пути l, пройденного телом за время t, к этому времени t. Быстроту изменения скорости определяют, введя понятие мгновенного ускорения а – ускорения в данной точке траектории, равного первой производной от скорости v по времени t: 2 2 dt r d dt r d dt d dt v d a (1.3) Проекцию вектора ускорения a на направление касательной к траектории называют касательным (тангенциальным) ускорением a , а на направление, перпендикулярное к касательной, – нормальным (центростремительным) ускорением n a (см. рис. 1.2): , , , , 2 2 2 n n n a a a a a a R v a dt dv a (1.4) где v – числовое значение скорости; R – радиус кривизны траектории в данной ее точке, он равен радиусу окружности R , вписанный в малый участок траектории вблизи этой точки. Касательное ускорение характеризует изменение скорости тела по ее числовой величине (по модулю скорости), а нормальное ускорение – по направлению. Приведем вывод формул для ускорений a τ и a n . Для этого возьмем на траектории движения две близко расположенные точки 1 и 2, разделенные интервалом времени ∆t (рис. 1.3). Перенесем вектор 2 v параллельно самому себе и отложим на нем отрезок, равный по модулю вектору 1 v . Тогда вектор v можно Рис 1.2 Рис. 1.3 представить в виде суммы двух векторов n v v v При ∆t→ 0 углы α и β стремятся соответственно к 0 0 и 90 0 , поэтому вектор v d , направленный по касательной к траектории, будет характеризовать изменение числового значения скорости, а вектор n v d будет перпендикулярен к 1 v Следовательно, , , dt v d a dt v d a a a dt v d dt v d dt v d a n n n n (1.5) Длина дуги и расстояние по прямой между точками 1 и 2 (рис. 1.3а) при малых ∆t→dt будут равны dl 1,2 = dS 1,2 = vdt. Из подобия треугольников ∆102 (рис. 1.3а) и ∆1v 1 3 (рис. 1.3б) следует R v dt dv a R vdt v dv n n n 2 , 1.2. Кинематика вращательного движения Пусть м. т. движется со скоростью v по окружности радиуса r вокруг неподвижной оси вращения (рис.1.4а). Положение точки на окружности определяет радиус-вектор r , а вектор его элементарного приращения r d направлен по касательной к окружности. Введем понятие вектора элементарного углового перемещения d : он равен по модулю углу элементарного поворота dφ, направлен по оси вращения и связан с направлением вращения правилом правого буравчика, а именно: направление вращения буравчика должно совпадать с направлением вращения материальной точки, тогда поступательное движение буравчика определяет направление вектора d (рис. 1.4а). Быстроту вращения м. т. характеризует угловая скорость , равная первой производной от вектора углового перемещения по времени t: dt d (1.6) Направление вектора угловой скорости и вектора элементарного углового перемещения d совпадают. Рис. 1.4 Быстроту изменения угловой скорости характеризует вектор углового ускорения , равный первой производной от угловой скорости по времени t: 2 2 dt d dt d (1.7) Кроме перечисленных выше величин, для описания вращательного движения тела используют частоту вращения n, определяемую как число оборотов, совершенных телом за единицу времени, и период обращения Т,как время одного полного оборота. Справедлива следующая взаимосвязь ω, n и Т: ω = 2πn = 2π/Т. (1.8) Установим взаимосвязь линейных ( v , n a a , ) и угловых ( , ) характеристик при вращательном движении. Пользуясь определением векторного произведения двух векторов и рис. 1.4а, можно записать r d r d (1.9) Выражение (1.9) позволяет получить следующие формулы взаимосвязи линейных и угловых характеристик: 1) для скоростей v и ; r r dt d dt r d dt r d v r v ; v = ωr . (1.10) 2) для ускорений a , n a , n a a v r dt r d r dt d r dt d dt v d a ; r a ; a τ = εr , (1.11) v a n , a n = ων =ν 2 /r = ω 2 r. (1.12) |