– давление на левое и правое основания выделенного цилиндра, площадь основания цилиндра Движению выделенного цилиндра жидкости радиусом
– боковая поверхность цилиндра Сумма внешних сил должна быть равна нулю с учетом того, что сила внутреннего трения направлена против потока жидкости
(4.14) Разделим переменные и проинтегрируем. Пределы интегрирования при значении радиуса
r скорость при значении радиуса
r = R скорость v
r
= 0.
(4.15) Выражение для распределения скорости по трубе имеет вид
(4.16) Значение скорости на оси трубы максимально, те. при r = 0 получаем
l
PR
v
v
4 2
max
(4.17)
2 2
1
R
r
v
v
r
max
(4.18) Уравнение (4.18) выражает собой параболический закон распределения скорости в сечении трубопровода при установившемся ламинарном движении (Закон Стокса) Определим расход жидкости в прямой трубе круглого сечения Запишем элементарный расход жидкости через кольцевой канал площадью
dr
r
r
d
dS
2 2
:
R
r
v
R
r
r
dr
r
l
P
dr
r
l
r
P
d
r
2 2
0 2
2 2
2 2
2 1
4 Т
8
dr
r
v
dS
v
V
d
r
r
2
(4.19) Проинтегрируем уравнение, используя выражение (4.16)
rdr
r
R
l
P
V
d
R
V
2 4
0 2
2 0
)
(
(4.20)
l
R
P
V
8 4
(4.21) или
l
d
P
V
128 Уравнение (4.21) называют уравнением Пуазейля. Согласно уравнению расход вязкой несжимаемой жидкости при ламинарном течении в прямой круглой трубе длиной
l определяется перепадом давления на концах трубы и зависит от вязкости жидкости и радиуса (диаметра) трубы в четвертой степени. Средняя скорость в трубе с поперечным сечением
S =
R
2
может быть вычислена с учетом (4.21) последующему уравнению
l
R
P
R
l
R
P
S
V
v
ср
8 8
2 Так как по уравнению (4.17)
l
R
P
v
4 2
max
, то
2
max
v
v
ср
(4.24) При ламинарном течении в прямой круглой трубе средняя скорость вязкой несжимаемой жидкости равна половине максимальной, те. скорости на оси трубы. В случае турбулентного течения соотношение между средней и максимальной скоростями зависит от режима течения (Re) и от относительной шероховатости стенок канала. (
ε = e/d, где e - средняя высота выступов на стенках трубы, d - диаметр трубы. Те.
)
(Re,
max
f
v
v
ср
, где
1
)
(Re,
f
9 Эпюры скоростей при ламинарном и турбулентном течении жидкости в трубе Эпюра скоростей при ламинарном движении жидкости в трубопроводе круглого сечения представляет собой параболоид вращения, ось которого совпадает с геометрической осью трубы. Эпюра скоростей турбулентного течения построена для значений скоростей осредненных во времени. Этому типу движения характерно выравнивание скоростей в ядре потока и резкое уменьшение скоростей вблизи стенки трубы в пограничном слое. Рис. 4.5. Распределение скоростей в потоке жидкости при ламинарном (слева) и турбулентном (справа) режимах движения
1 ЛЕКЦИЯ 5 ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ В ТРУБОПРОВОДАХ ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ НА ТРЕНИЕ И МЕСТНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ При расчетах потерь в трубопроводах, в которых течет реальная жидкость, обладающая вязкостью, необходимо учитывать гидравлические потери, те. необратимо теряемую часть энергии. Расчет гидравлических потерь в трубопроводах является одной из основных задач гидродинамики и называется внутренней задачей гидродинамики, связанной с анализом движения внутри труби каналов. Гидравлические потери при движении реальной жидкости обусловлены, во-первых, проявлением сил вязкости в жидкости, те. потерями на трение, во-вторых, присутствием на трубопроводе различной регулирующей и измерительной арматуры - так называемыми местными сопротивлениями - участками гидравлической сети, на которых происходит изменение скорости потока по величине и/или по направлению. В инженерных расчетах течения вязкой жидкости в каналах используют уравнение, структурно подобное уравнению Бернулли, нос учетом вышеупомянутых гидравлических потерь. Рис. К определению гидравлического сопротивления Приведем уравнение Бернулли (3.7) для различных сечений одного итого же потока
i
i
z
g
P
g
v
z
g
P
g
v
z
g
P
g
v
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
2 Для описания течения вязкой жидкости в это уравнение вводится величина пот, представляющая собой потерю энергии при движении отсечения до сечения 2:
2 пот 2
2 2
2 2
2 1
1 1
[ м. ст. жидкости
(5.1)
Или пот 2
2 2
2 2
2 1
1 1
Па
(5.2) Гидравлические потери рассчитываются как потерянный напор
h пот или потери давления
P
пот
и складываются из потерь на трение и местные сопротивления
мс
тр
пот
h
h
h
(5.3)
мс
тр
пот
P
P
P
(5.4)
пот
пот
gh
P
(5.5)
Уравнения (5.1) –(5.5) используются в инженерных расчетах для определения
1. Необходимого напора жидкости
2. Скорости и расхода жидкости. Расчет потерь на трение при ламинарном режиме Расход вязкой несжимаемой жидкости при ламинарном течении в прямой круглой трубе определяется уравнением Пуазейля:
l
d
P
V
128 4
(4.22) Перепад давления
P из этого уравнения
V
d
l
P
4 128
(5.6) С другой стороны для горизонтального участка трубопровода (Рис, расположенного между сечениями 1 и 2 без местных сопротивлений уравнение (5.2) имеет следующий вид
тр
P
v
P
g
z
v
P
g
z
2 2
2 2
2 2
2 1
1 1
(5.7) Для горизонтальной трубы постоянного сечения это уравнение преобразуется к виду
тр
P
P
P
P
2 1
(5.8) Подставим в это уравнение
P из уравнения (5.6), выражение
4 2
d
v
V
и преобразуем
3 2
64 4
128 2
2 4
v
d
l
d
v
d
v
d
l
P
тр
С учетом того, что
d
v
Re
, обозначим величину
Re
64
, тогда для ламинарного течения в каналах любой формы
2 2
v
d
l
P
э
тр
Па
(5.9)
g
v
d
l
h
э
тр
2 2
м
(5.10) Последнее уравнение для расчета потери напора носит название уравнение Дарси-
Вейсбаха, где
- коэффициент трения (коэффициент Дарси).
Величина
Re
64
хорошо согласуется с экспериментальными данными для установившегося ламинарного (Re<2320) движения в прямой круглой трубе и не зависит от шероховатости стенок трубопровода. В общем случае, для прямых каналов некруглого сечения
Re
B
, если канал квадратный B=57, если кольцевой – B = 98. Рис. Зависимость коэффициента трения
от lg Re для ламинарного режима Потери напора на трение при турбулентном движении Коэффициент трения
λ не может быть получен аналитически из-за сложной структуры турбулентного движения. В общем случае, при турбулентном течении коэффициент трения зависит не только от режима течения, те. величины Re, но и от относительной шероховатости стенок канала трубопровода ε.
4 э)
Δ абсолютная шероховатость стенок трубопроводам Абсолютная шероховатость равна средней высоте неровностей стенки трубопровода и является справочной величиной. Расчет коэффициента трения λ при турбулентном движении зависит от значений критерия Re. Выделяют три области (Рис
1) первая область - область малых Re, где коэффициент λ не зависит от шероховатости, а определяется лишь числом Re. Это область гладкого трения. Если число Рейнольдса лежит в диапазоне 4000 < Re < э Δ ), коэффициент λ определяется по полуэмпирической формуле Блазиуса для гидравлически гладких труб
25 0
3164 0
,
Re
,
(5.12)
2) вторая область - область смешанного трения.
Re,
, причем, λ уменьшается с ростом Re и увеличивает с ростом
ε.
ε
0
< ε
i
< ε
max
, ε
0
- относительная шероховатость гладких труб (стекло, медь, латунь,
ε
max
- трубы с максимальной шероховатостью (бетонные трубы, ε
i
– шероховатость остальных материалов. Для шероховатых труб коэффициент трения λ можно определить по формуле Френкеля.
9 0
81 6
7 3
2 1
,
Re
,
,
lg
(5.13) Рис Зависимость коэффициента трения от критерия и относительной шероховатости канала
ε.
5 3) третья область - область больших чисел Re: коэффициент трения приближается к постоянной величине тем быстрее, чем больше шероховатость ε. Эта область движения жидкостей, в которой коэффициент трения λ не зависит от критерия Re и определяется лишь шероховатостью стенок канала, называется автомодельной областью. Влияние шероховатости на коэффициент трения жидкости может быть объяснено на основании следующего механизма трения в шероховатых трубах. При турбулентном движении различают 3 области течения, характеризуемых различным соотношением толщины ламинарного подслоя δ и абсолютной шероховатостью Δ (Рис.
1) δ > Δ, область вязкого гладкого трения. Коэффициент трения λ не зависит от шероховатости, а определяется только режимом течения. λ=f(Re);
2) С увеличением скорости толщина подслоя δ уменьшается и становится соизмеримой с высотой выступов на стенке δ Δ. Эту область называют областью смешанного трения. На величину коэффициента трения влияют силы вязкости и инерции, а также относительная шероховатость стенок канала. λ =f(Re, ε).
3) δ
< Δ. Автомодельная область, наблюдается при высоких числах Re и для труб с высокой шероховатостью Δ. λ =f(ε). Рис. Ламинарный подслой толщиной δ и абсолютная шероховатость Δ. Потери на трение в змеевиках Потери на трение в змеевиках выше, чем в прямой трубе. Коэффициент трения в змеевике λ
зм
рассчитывается через коэффициент трения прямой трубы λ по формуле
6
)
54
,
3 1
(
D
d
зм
,
(5.14) где λ
зм
- коэффициент трения змеевика, λ - коэффициент трения в прямой трубе Рис 5.5. К определению гидравлического сопротивления змеевика
h- шаг витка, D - диаметр витка, d - внутренний диаметр трубы. Определение потерь напора на местных сопротивлениях Потери напора на местные сопротивления возникают вследствие изменения скорости потока. При этом возникают дополнительные (помимо трения) потери энергии из-за ударов, местных завихрений и т.д. К местным сопротивлениям на технологических трубопроводах относят краны, вентили, задвижки, резкие сужения и расширения, отводы, тройники и т. д. Потери напора на местные сопротивления, как и потери на трение, выражаются в долях от скоростного напора. Отношение потери напора в данном местном сопротивлении
h
мс
к скоростному напору
v
2
/2g, называют коэффициентом местного сопротивления ζ
мс
g
v
h
мс
мс
2
2
, для всех местных сопротивлений
g
v
h
i
i
мс
мс
2
2
(5.15) Коэффициенты местных сопротивлений приводятся в справочниках в виде таблиц или расчетных зависимостей. Суммарные потери на трение и местные сопротивления определяются по формуле
g
v
d
l
h
i
i
мс
э
пот
2 2
)
(
м
(5.16)
2 2
v
d
l
P
i
i
мс
э
пот
)
(
Па
(5.17)
7 Оптимальные скорости движения жидкостей и газов в трубопроводах. Оптимальные диаметры трубопроводов Стоимость трубопроводов составляет значительную часть стоимости основного оборудования. Эксплуатация трубопроводов требует значительных средств. Поэтому диаметры трубопроводов определяют на основе технико-экономического анализа. Из уравнения расхода при заданной производительности можно получить выражение для расчета диаметра трубопровода
v
V
d
4
, где d - внутренний диаметр трубопроводам -средняя скорость жидкости в трубопроводе (мс
V
- объемный расход (мс. Диаметр трубопровода определяется скоростью перекачиваемой жидкости. Чем выше скорость, тем меньше диаметр, и, следовательно, стоимость трубопровода, а также стоимость его монтажа и ремонта. Но одновременно, с увеличением скорости возрастают гидравлические потери в трубопроводе, а, следовательно, возрастают затраты энергии на перемещение. Суммарные затраты на эксплуатацию трубопровода М (руб/год) (Рис) складываются из капитальных затрат (стоимость трубопровода- Аи эксплуатационных затрат (стоимость энергии на перемещение жидкости или газа) Е. Минимум функции М соответствует оптимальному диаметру трубопровода, соответствующему минимальным общим затратам. На основе технико-экономических расчетов определены оптимальные скорости движения жидкостей, газов и паров в промышленных трубопроводах. Значения этих скоростей приводятся в справочниках. Например, скорость движения маловязких жидкостей в напорных трубопроводах 1-3 мс, при движении самотеком 0,2-0,8 мс, скорость газов мс, скорость водяных паров 30-50 мс.
8 Рис. 5.6. Зависимость затрат от диаметра трубопровода
1 ЛЕКЦИЯ 6 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ В ГИДРОДИНАМИКЕ Исследование процессов и аппаратов в условиях промышленного производства является очень сложным, длительными дорогостоящим. В связи с этим большое значение имеет моделирование химико-технологических процессов. Изучение на модельных системах закономерностей отдельного процесса позволяет распространить их на все процессы подобные изученному. Теория подобия указывает, как нужно ставить опыты и как обрабатывать опытные данные, чтобы, ограничившись минимальным числом опытов, иметь право обобщать результаты и получать закономерности изменения параметров для целой группы подобных явлений. Теория подобия позволяет с достаточной для практики
точностью изучить сложные процессы на моделях, значительно меньших по размерами часто более простых, чем аппараты натуральной величины. Кроме того, опыты можно проводить нес рабочими веществами (токсичными, взрывоопасными, дорогостоящими т.п.), ас модельными. Все это позволяет упрощать и удешевлять эксперимент. Одним из основных принципов теории подобия является выделение из класса явлений, описываемых общим законом, группы подобных явлений. Подобными называют явления, для которых отношения сходственных и характеризующих их величин постоянны. Основное требование, выдвигаемое при моделировании с помощью теории подобия это подобие дифференциальных уравнений, описывающих процесс, при выполнении условий однозначности. Дифференциальные уравнения описывают целый класс однородных явлений. Для выделения из класса конкретного явления, например, движения по трубам, необходимо ограничить дифференциальные уравнения дополнительными условиями - условиями однозначности, те. условиями, которые характеризуют данное явление. Условия однозначности включают
1) Геометрическую форму и размеры системы, в которой протекает процесс
2) Физические (физико-химические) параметры веществ, находящихся в системе
3) Начальные условия протекания процесса (начальные скорость, температура и т.д.);
4) Состояние системы на ее границах, например, равенство нулю скорости жидкости на неподвижных стенках.
2 Многие процессы настолько сложны, что удается только дать математическую формулировку задачи и поставить условия однозначности. Полученные же дифференциальные уравнения часто не решаются известными в математике методами. Иногда даже не удается составить систему дифференциальных уравнений, полностью описывающих процесс. Решением исходных дифференциальных уравнений в таких случаях являются обобщенные уравнения , полученные с применением теории подобия и основанные на экспериментальном материале. Эти уравнения затем используются в инженерной практике. Моделирование с помощью теории подобия основывается на изучении процесса, проходящего в промышленном аппарате (натуре) и на модели. Под моделью подразумевается материальная модель, в отличие от математической или мысленной. Это
- физическое моделирование, при котором изменяются масштаб установки, физические свойства вещества и т.д., но физическая сущность изучаемого в модели процесса остаются той же, что ив оригинальном аппарате. Различают следующие виды подобия
1) Геометрическое подобие предполагает, что сходные размеры натуры и модели параллельны, а их отношение выражается постоянной и равной величиной. Представим, что изучается сложное явление - движение газов во вращающемся цилиндре (барабанной сушилке.
Чтобы исследовать процесс, строится модель, при соблюдении геометрического подобия.
Рис.6.1.Соотношение натуры и модели Геометрическое подобие требует, чтобы были равны отношения всех сходственных линейных размеров натуры и модели
d1/d2 =
L1/L2. Если рассматриваемая система - натура - находится в движении, то все ее точки при наличии геометрического подобия должны перемещаться только по подобным
3 траекториям сходственных точек подобной ей системы - модели, и должны проходить геометрически подобные пути. Равенство всех сходственных линейных размеров определяется как геометрическое подобие
d
1
/d
2
=
L
1
/L
2
=
l
1
/l
2
=
a
l
= const , где
a
l
- безразмерное число, константа подобия или масштабный множитель, равный отношению однородных сходственных величин в подобных системах.
a
l
позволяет перейти от размеров одной системы к размерам другой.
2) Временное подобие предполагает, что сходственные точки или части геометрически подобных систем (модели и натуры, двигаясь по геометрически подобным траекториям, проходят геометрически подобные пути в промежутки времени, отношение которых является постоянной величиной
T
1
/T
2
=
t
1
/t
2
=
a
t
= const.
a
t константа временного подобия,
T
1
, T
2,
t
1
, t
2
- промежутки времени в модели и натуре. При соблюдении геометрического и временного подобия будет соблюдаться также и подобие скоростей
v
1
/v
2
=
a
v
3) Подобие физических величин предполагает, что в рассматриваемых подобных системах (натуре и модели) отношение значений физических величин двух любых сходственных точек или частиц, подобно размещенных в пространстве и времени, есть величина постоянная. Чтобы физическое явление было подобным, необходимо
µ
1
/µ
2
=
a
µ
,
ρ
1
/ρ
2
=
a
ρ
или
u
1
/u
2
=
a
u
, где
u
1 и
u
2 совокупность физических величин. Следует отметить, что физическое подобие включает не только подобие значений физических параметров, пои подобие совокупности значений физических величин или полей физических величин.
4) Подобие начальных и граничных условий предполагает, что начальное состояние и состояние на границах систем подобны, те. отношения основных параметров натуры и модели вначале процесса и на границах систем постоянны. Это условие может соблюдаться лишь в случаях, когда для начальных условий и условий на границах выдерживаются геометрическое и физическое подобие. Свойства констант подобия
1) Константы подобия являются постоянными для двух сходственных точек натуры и модели (но они неравны между собой
a
l
≠ a
t
≠ a
µ
≠ a
ρ
2) В зависимости от соотношения (масштаба) натуры и модели константы подобия могут изменяться.
4 3) Входящие в константы подобия одноименные величины могут взаимно заменяться
L1/L2 =
l1/l2 = (
L1- l1)/(
L2- l2) =
d1 l1/d2 l2 и т.д. Инварианты подобия и критерии подобия Подобные явления можно выражать с помощью инвариантов подобия. Инвариант подобия - отношение какой-либо величины данной системы к
определенной одноименной величине в той же системе, при этом все подобные величины выражаются в относительных единицах. Так
L1/d1/= L2/d2 = il = const = idem = inv - инвариантно, где
il - инвариант подобия геометрических величин. Аналогично можно записать
T1/t1 =
T2/t2 = Свойства инвариантов подобия
1) В сходственных точках подобных систем инварианты подобия для одних и тех же величин равны
il1 =
il22) Инварианты подобия для различных величин между собой неравны) При изменении масштаба модели и натуры инварианты подобия не изменяют свою величину. Инварианты подобия, выраженные отношением простых однородных величин, называют
симплексами. Инварианты подобия, выраженные через соотношения разнородных величин и представляющие собой безразмерные комплексы, называют критериями подобия. Критерии подобия обозначают именами выдающихся ученых, например, критерий
Рейнольдса. Критерии подобия получают подобным преобразованием дифференциальных уравнений, описывающих какой-либо процесс.
5 Теоремы подобия Теория подобия ее практическое применение к исследованию технологических процессов основаны на трех теоремах подобия. я теорема, Ньютона Подобные между собой явления имеют равные критерия подобия.
Т.к. в подобных системах критерии подобия равны, то отношение критериев подобия натуры и модели всегда будет равно единице.
2 1
Re
Re
1 2
2 2
2 1
1 1
1
)
/(
)
(
l
v
l
v
1 2
1 2
1 2
1 2
1
)
/(
)
(
l
l
v
v
или Теорема отвечает на вопрос, какие величины необходимо измерять вовремя эксперимента величины, входящие в критерии подобия. я теорема. Бэкингема, Афанасьевой-Эренфест Любое дифференциальное уравнение, связывающее между собой переменные, характеризующие какой-либо процесс, может быть представлено в виде зависимости между критериями подобия.
f(K
1
, K
2
, K
3
,...,K
n
) = 0 - обобщенное критериальное уравнение, К -критерий подобия. Если в критерии подобия есть величина, не входящая в условия однозначности, такой критерий называют определяемым. В него входит величина, которую требуется определить, решая уравнение. Тогда
K
1
= f(K
2
, K
3
,...,K
n
) или
s
n
q
p
K
K
K
A
K
3 2
1
, где
A, p, q, s – экспериментальные константы. Данная теорема отвечает на вопрос, как нужно обрабатывать экспериментальные данные в виде зависимости между критериями подобия. я теорема. Кирпичева-Гухмана
Подобны те явления, условия однозначности которых подобны, а определяющие критерии, составленные из условий однозначности, численно равны. С помощью теории подобия исследования проводят в два этапа
1) Проводят подобное преобразование дифференциального уравнения, описывающего процесс, и получают критерии подобия
2) Опытным путем на моделях устанавливают конкретный вид зависимости между критериями подобия, получая при этом обобщенное расчетное уравнение.
6 Это уравнение работает в исследованных пределах изменения определяющих критериев. Недостатки теории подобия
1) Теория не может дать больше того, что содержится в исходных дифференциальных уравнениях. Если исходные уравнения неверно описывают физическую сущность процесса, то и полученные с помощью теории подобия зависимости будут неверными.
2) Физическое моделирование всегда связано с проведением эксперимента на модели, иногда довольно сложного и длительного. Полученные обобщенные уравнения надежно работают только в интервалах переменных, которые были использованы в экспериментах. Гидродинамическое подобие Движение вязкой жидкости описывается уравнением Навье-Стокса. Запишем его для вертикальной оси
z:
z
z
g
z
p
dt
d
2
(6.1) Получим приближенное решение этого уравнения методами теории подобия для различных случаев движения жидкости. Для этого 1) зададим константы подобия, выражающие отношения величин, входящих в уравнение Навье-Стокса:
a
l
, a
t
, a
µ
, a
ρ
, a
g
, a
v
, a
p Каждый из элементов дифференциального уравнениях) умножается на соответствующие константы подобия, причем последние как постоянные величины, выносятся за знак дифференциала.
(6.3) Для сохранения тождественности полученного и исходного уравнений необходимо выполнение следующего условиях Разделим поочередно дроби, начиная со второй, на первую, крайнюю слева. Отношения будут равны единице, т.к. они все являются индикаторами подобия, ау подобных явлений индикаторы равны единице. После деления заменим константы подобия их значениями
a
l
= l
1
/l
2
,
a
t
= t
1
/t
2
,
a
µ
= μ
1
/ μ
2
, a
ρ
= ρ
1
/ ρ
2
, и т.д.
1 2
l
v
t
v
a
a
a
a
a
a
/
(6.5)
2 2
2 1
1 1
l
t
v
l
t
v
(6.6) Обозначим комплекс
l
t
v
Ho
(6.7)
Скачать 7.99 Mb.