Лекция 1 Векторная алгебра. Лекция 1 Векторная алгебра
 Скачать 0.5 Mb.
|
|
Лекция 1 Векторная алгебра 1.1 Понятие вектора Существуют величины, которые характеризуются помимо своей величины ещё и направленностью. Это скорость, ускорение, сила, смещение материальной точки и т.п. Можно абстрагироваться от конкретной физической величины и считать, что вектор - это направленный отрезок. Определение : вектор - это направленный отрезок. Будем обозначать вектор AB . А - начало вектора, В - конец вектора. А В - означает длина вектора (символ модуля). Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Важное свойство векторов - коллинеарность. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Теперь сформулируем понятие равенства двух векторов: два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление. Два нулевых вектора считаются равными. a b равные a b неравные Из определения равенства векторов следует, что мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения. Иными словами, точка приложения вектора a может быть произвольной. В соответствии с этим векторы в геометрии называются свободными. 1.2 Определим линейные операции над векторами Сложение. Суммой a b двух векторов a b и называется вектор, идущий из начала вектора a в конец вектора b при условии, что начало b приложено к концу вектора a Геометрически это можно изобразить правилом треугольника: Правило сложения векторов обладает теми же четырьмя свойствами, что и правило сложения вещественных чисел: 1. a b b a (переместительное свойство). 2. ( ) ( ) a b c a b c (сочетательное свойство). 3. Существует нулевой вектор, такой, что a a 0 4. Для каждого a существует такой a что a a 0 Эти свойства доказываются геометрическими построениями. К примеру свойство 1: Эти свойства позволяют оперировать с векторами так же как и с вещественными числами. Определим разность векторов a b как сумму a b , где b - противоположный вектор вектору b Определим, наконец, операцию умножения вектора на вещественное число. Произведением а называется вектор b , коллинеарный a , имеющий длину a и имеющий направление, совпадающее с a если 0 и противоположное, если 0 Геометрический смысл умножения - вектор а растягивается в раз. Операция умножения обладает тремя свойствами: 5. ( ) a b a b (распределительное свойство относительно суммы векторов). 6. ( ) a a a (распределительное свойство относительно суммы чисел). 7. ( ) ( ) a a (сочетательное свойство). Доказываются эти свойства тоже графически. Рассмотрим теорему 1 . Если вектор b коллинеарен вектору a , то существует такое вещественное число , что b a Совместим b и a . В силу коллинеарности они окажутся на одной прямой. Т. е. O a A b B OB OA отсюда: (*) Докажем, что а b . Т.е. что длины их равны, направления совпадают, коллинеарны. Коллинеарность вытекает из определения произведения a и коллинеарности a и b , равенство длин непосредственно из определения произведения и (*). Наконец, опять из определения произведения следует, что если 0 , направления совпадают, и если 0 , то a и b - противоположно направлены. Определение 1. Линейной комбинацией n векторов мы называем сумму вида 1 1 2 2 a a a n n где i - вещественные числа. Определение 2. Векторы a a a n 1 2 называются линейно зависимыми, если существуют такие 1 2 n , хотя бы одно из которых отлично от нуля, что имеет место равенство: 1 1 2 2 0 a a a n n Если все i 0 , то такие векторы a i называются линейно независимыми. Докажем теорему 2 . Если среди n векторов a a a n 1 2 , ... хотя бы один нулевой, то эти векторы являются линейно зависимы. Доказательство: пусть для определённости а 1 0 . Тогда выполняется равенство: 1 1 1 1 0 а а a n n где 1 2 3 1 0 ; n и по определению линейной зависимости эти векторы линейно зависимы. Теорема номер три : если среди п векторов а n какие либо (п-1) линейно зависимы, то и все п являются линейно зависимы. Действительно: линейная зависимость (п-1) векторов означает: 1 1 2 2 1 1 0 a a a n n Добавим сюда равное 0 слагаемое 0 a n и получим 1 1 2 2 0 a a a n n , где i не все равны нулю, т.е. теорема доказана. 1.3 Линейные комбинации двух векторов Теорема 4 . Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность. Доказательство необходимости: предположим, что а и b линейно зависимы. Т.е. a b 0 положим, что 0 . Тогда b a или b a . По определению произведения а и b коллинеарны. Достаточность: предположим, а и b коллинеарны. Если а или b равно нулю, то они линейно зависимы в силу теоремы 2. Если а 0 и b 0 то в силу теоремы 1 имеем: b a , или ( ) 1 0 b a Т. к. здесь заведомо (-1) не равно 0, то равенство доказывает линейную зависимость векторов а и b Следствие 1. Если векторы а и b неколлинеарны, то они линейно независимы. Следствие 2 . Среди двух неколлинеарных векторов не может быть нулевых. (Иначе они были бы линейно зависимы). 1.4 Линейные комбинации трёх векторов Определение: векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях. Теорема 5. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трёх векторов является их компланарность. Необходимость: пусть три вектора линейно зависимы: a b e 0 0 , Тогда c a b , или c a b Это равенство означает сложение двух векторов, т.е. все три вектора лежат в одной плоскости. Достаточность: пусть a b c компланарны. Исключим случай, когда пара векторов коллинеарна и когда какой-либо вектор равен 0. Эти случаи тривиальны. Рассмотрим случай, когда все неколлинеарны. Перенесём все векторы в одну плоскость. Поскольку они неколлинеарны, то существует их общая точка пересечения: В силу теоремы 1, найдутся такие и , что a OA b OB c OA OB a b или ( ) 1 0 c a b . Теорема доказана. Следствие: Если векторы а и b неколлинеарны, то для любого с , лежащего в одной плоскости с векторами а и b найдутся такие и , что выполнится равенство: c a b Наконец, линейная зависимость трёх векторов. Теорема 6. Любые четыре вектора линейно зависимы. Доказательство. Исключим тривиальные случаи, когда один из векторов ноль или когда какие- либо три компланарны. По предыдущим теоремам будут линейно зависимы все четыре вектора. Т.е. все векторы некомпланарны. Сведём их в одну точку и построим параллелепипед: По теореме 1 найдутся такие числа, что: OC c OA a OB b Но вектор d равен d OC OA OB или d a b c или ( ) 1 0 d a b c Теорема доказана. Попутно мы доказали, что если a b c , , , какие-либо некомпланарные, т.е. линейно независимые векторы, то для любого вектора d можно найти такие числа , , , что d a b c 1.5 Понятие базиса Говорят, что три линейно независимых вектора a b , и c образуют в пространстве базис, если любой вектор d может быть представлен в виде линейной комбинации векторов a b c , , d a b c (**) Принято называть (**) разложением вектора d по базису a b c , , , а числа , , - координатами вектора d относительно базиса a b c , , . Причём можно доказать, что разложение d по базису a b c , , может быть единственным образом осуществлено. Определим так называемые афинные координаты. Афинные координаты в пространстве определяются заданием базиса a b c , , и некоторой точки О, называемой началом координат. Частным случаем афинных координат являются, очевидно, прямоугольные декартовы координаты, Здесь введём три взаимно перпендикулярных (ортогональных) единичных векторов i j k , , . Для каждого вектора d найдётся и при том единственная тройка чисел X Y Z , , , такая, что d xi yj zk Числа X,Y,Z называют декартовы прямоугольные координаты. Введём определение проекции вектора на ось v. Дан вектор a AB . Опустим перпендикуляры из точек А и В на ось v. Основания перпендикуляров обозначим А и В Проекцией вектора а на ось v назовём величину направленного отрезка А В оси v. Углом наклона вектора а к оси v назовём угол между направлением вектора а и направлением оси v. Из рассмотрения треугольника АВС следует, что cos р a a • v Можно доказать, что декартовы координаты X,Y,Z вектора d являются проекции вектора d на оси соответственно ортам: i -ось Ох, j -ось Oy , k - ось Oz. Или можно записать: x d y d z d cos cos cos (***) Три числа cos ,cos ,cos называются направляющими косинусами вектора d Длина диагонали параллелепипеда равна d x y z 2 2 2 Тогда можно записать: cos ; cos ; cos x x y z y x y z z x y z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Возведём в квадрат и складывая, получим равенство: cos cos cos 2 2 2 1 |