Часть 2_4 Формулы Библ. 9. Основные понятия и формулы I. Векторная алгебра
![]()
|
9. Основные понятия и формулыI. Векторная алгебра![]() Вектор - направленный отрезок. Векторы называются коллинеарными, если лежат на одной прямой либо на параллельных прямых. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Два вектора равны, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление. Линейные операции над векторами ![]() Суммой ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Свойства: 1 ![]() ˚. ![]() 2˚. ![]() 3˚. ![]() 4 ![]() ![]() ![]() ![]() Разностью векторов ![]() ![]() ![]() идущий из конца вектора ![]() ![]() Произведение ![]() ![]() в ![]() ![]() 5˚. ![]() 6˚. ![]() 7˚. ![]() 8˚. ![]() Базис и координаты Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке. Базисом на плоскости будем называть два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке. Базисом на прямой будем называть любой ненулевой вектор этой прямой. ![]() Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами вектора в данном базисе и в каждом базисе определяются однозначно: ![]() При сложении двух векторов ![]() ![]() ![]() ![]() Системой координат в пространстве называют совокупность базиса ![]() Вектор ![]() ![]() ![]() Координатами точки ![]() ![]() Таким образом, координаты радиус-вектора ![]() ![]() Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат Пусть в качестве базиса выбраны три взаимно перпендикулярных вектора с длинами, равными единице. Обозначения: ![]() ![]() Т ![]() акой базис называется ортонормированным (ОНБ). Векторы ![]() ![]() Координаты любого вектора в этом базисе называются декартовыми координатами вектора: ![]() Прямые линии, проведенные через начало координат по направлениям базисных векторов, называются координатными осями: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Декартовы прямоугольные координаты ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Здесь ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Вектор ![]() ![]() П ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() ![]() Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: ![]() Если ![]() ![]() ![]() Алгебраические и геометрические свойства скалярного произведения: 1°. ![]() 2°. ![]() 3°. ![]() ![]() 4°. ![]() ![]() ![]() ![]() 5°. ![]() ![]() 6°. ![]() ![]() 7°. ![]() ![]() ![]() ![]() 8°. ![]() ![]() для ненулевых ![]() ![]() 9°. ![]() ![]() 10°. ![]() ![]() ![]() 11°. Направляющие косинусы вектора: ![]() ![]() ![]() cos2 α + cos2 β + cos2 ![]() Упорядоченная тройка некомпланарных векторов ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
При перестановке местами двух соседних векторов ориентация тройки меняется. Если тройки { ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() При круговой (циклической) перестановке векторов ориентация тройки не меняется. Векторное произведение векторов Векторным произведением вектора ![]() ![]() ![]() 1). Длина вектора ![]() ![]() ![]() ![]() 2). Вектор ![]() ![]() ![]() ![]() перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы ![]() ![]() 3). Вектор ![]() ![]() ![]() ![]() Алгебраические и геометрические свойства векторного произведения: 1°. ![]() 2. ![]() 3. ![]() 4 ![]() ![]() ![]() 5. Площадь параллелограмма, построенного на векторах ![]() ![]() ![]() ![]() 6. ![]() ![]() ![]() нулевым вектором. Выражение векторного произведения через декартовы координаты сомножителей Если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Смешанное произведение векторов Смешанное произведение некомпланарных векторов ![]() по абсолютной величине равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, приведенных к одному началу, ![]() ![]() ![]() ![]() Е ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Смешанное произведение зависит от порядка сомножителей, но не зависит от того, какие сомножители связаны первичным знаком векторного произведения. Если ![]() ![]() ![]() ![]() |