Часть 2_4 Формулы Библ. 9. Основные понятия и формулы I. Векторная алгебра
 Скачать 1.58 Mb.
|
9. Основные понятия и формулыI. Векторная алгебра Вектор - направленный отрезок. Векторы называются коллинеарными, если лежат на одной прямой либо на параллельных прямых. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Два вектора равны, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление. Линейные операции над векторами  Суммой  двух векторов  и  называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что начало вектора приложено к концу вектора (правило треугольника).Свойства: 1  ˚.  2˚.  3˚.  4  ˚. Для каждого вектора существует вектор  , такой, что  .Разностью векторов и будет вектор  ,идущий из конца вектора к концу вектора .Произведение  вектора нав  ещественное число  обладает свойствами:5˚.  6˚.  7˚.  8˚.  Базис и координаты Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке. Базисом на плоскости будем называть два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке. Базисом на прямой будем называть любой ненулевой вектор этой прямой.  Каждый вектор может быть разложен по базису в пространстве и это разложение единственно.Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами вектора в данном базисе и в каждом базисе определяются однозначно:  .При сложении двух векторов  и  их координаты (относительно любого базиса) складываются. При умножении вектора на любое число все его координаты умножаются на это число.Системой координат в пространстве называют совокупность базиса  и некоторой точки О, называемой началом координат.Вектор  , идущий из начала координат в точку  , называется радиус-вектором точки . Координатами точки  называются координаты вектора .Таким образом, координаты радиус-вектора и координаты точки совпадают.Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат Пусть в качестве базиса выбраны три взаимно перпендикулярных вектора с длинами, равными единице. Обозначения:  ,  .Т  акой базис называется ортонормированным (ОНБ). Векторы  называются базисными ортами. Зафиксируем точку О – начало координат и отложим от нее векторы . Полученная система координат называется прямоугольной декартовой. Координаты любого вектора в этом базисе называются декартовыми координатами вектора:  .Прямые линии, проведенные через начало координат по направлениям базисных векторов, называются координатными осями:  – порождает  ;  – порождает  ;  – порождает  . Координаты точки М (вектора ) в декартовой системе координат по осям , , называются соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой.Декартовы прямоугольные координаты  вектора равны проекциям этого вектора на оси  ,  ,  соответственно; другими словами, ,  ,  .Здесь  – углы, которые составляет вектор с положительными направлениями координатных осей , , соответственно, при этом  ,  ,  называются направляющими косинусами вектора . Вектор  представляет собой вектор единичной длины данного направления, или орт данного направления. Для направляющих косинусов справедливо соотношение: .П  роекция вектора на ось l  равна  , где  - орт оси l. Если  и  коллинеарны, то  .Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:  .Если  ,  , то  .Алгебраические и геометрические свойства скалярного произведения: 1°.  .2°.  3°.  ,  .4°.  , если  , и  , если  .5°.  ;  .6°.   .7°.  =  ,  .8°.  :  - условие перпендикулярности для ненулевых  и  .9°.  ,  - длина вектора.10°.  ,  ,  – расстояние между двумя точками.11°. Направляющие косинусы вектора:  ,  ,  ; cos2 α + cos2 β + cos2  = 1.Упорядоченная тройка некомпланарных векторов  ,  ,  , приведенных к одному началу, называется правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот первого вектора ко второму виден совершаемым против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.
При перестановке местами двух соседних векторов ориентация тройки меняется. Если тройки { ,, }, {,,}, {,,} - правые, то {,,}, {,,}, {,,} - левые. При круговой (циклической) перестановке векторов ориентация тройки не меняется. Векторное произведение векторов Векторным произведением вектора на вектор называется вектор  , удовлетворяющий следующим трем требованиям:1). Длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла между ними, т.е. .2). Вектор ортогонален к каждому из векторов и , т.е. перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и .3). Вектор направлен так, что тройка является правой.Алгебраические и геометрические свойства векторного произведения: 1°.  .2.  .3.  .4  .  для любого вектора .5. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах,  = .6.  коллинеарен или хотя бы один из них является нулевым вектором. Выражение векторного произведения через декартовы координаты сомножителей Если  ,  , то   .  Смешанное произведение векторов Смешанное произведение некомпланарных векторов  по абсолютной величине равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, приведенных к одному началу,  положительно, если тройка , , правая и отрицательно, если она левая. Е  сли же векторы , , компланарны, то равно нулю:  . ,  .  . Смешанное произведение зависит от порядка сомножителей, но не зависит от того, какие сомножители связаны первичным знаком векторного произведения. Если  ,  ,  , то  . |
