Часть 2_4 Формулы Библ. 9. Основные понятия и формулы I. Векторная алгебра
 Скачать 1.58 Mb.
|
Прямая и плоскость в пространстве
III. Аналитическая геометрия на плоскостиПрямая на плоскости
Кривые второго порядка Э  ллипсЭллипс - геометрическое место точек  , для которых сумма расстояний до двух заданных точек  и  (называемых фокусами эллипса) постоянна и равна  . и   ,  , - каноническое уравнение эллипса.Эллипс – центральная линия второго порядка, замкнутая линия, симметричная относительно осей и центра. Элементами эллипса являются: точка О - центр эллипса; точки A, B, C, D - вершины эллипса; точки F1(с,0), F2(-с,0) - фокусы эллипса; 2c - фокусное расстояние, которое вычисляется по формуле  ; АВ = 2а и CD = 2b - большая и малая оси эллипса; a и b - большая и малая полуоси эллипса;  - эксцентриситет эллипса, который вычисляется по формуле  .Эксцентриситет определяется отношением осей эллипса и характеризует его форму: чем больше e, тем более вытянут эллипс вдоль большой оси.  Прямые  и  , параллельные малой оси эллипса и отстоящие от его центра на расстояниях  , называются директрисами эллипса, соответствующими фокусам F1 и F2. Отношение расстояния любой точки эллипса до фокуса к расстоянию ее до соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету  . - параметрические уравнения эллипса, где t - параметр,  ; (t - угол, образованный подвижным радиусом с положительным направлением оси ox); - уравнение эллипса в полярных координатах, связанных с фокусом; - эксцентриситет эллипса, если координатные оси совпадают с осями эллипса.О  кружностьОкружность - геометрическое место точек, равноудаленных от точки О (центр).  - уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат; - уравнение окружности радиуса R с центром в точке (x0,y0);  - параметрические уравнения окружности радиуса R с центром в точке (x0,y0); - уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат в полярных координатах;   - уравнение окружности радиуса R с центром в точке ( 0,0) в полярных координатах; - уравнение окружности радиуса R в полярных координатах. Центр окружности лежит на полярной оси, окружность касается начала координат.Гипербола  Гипербола - геометрическое место точек , для которых абсолютная величина разности расстояний до двух заданных точек  и  (называемых фокусами гиперболы) постоянна и равна  . и  ,  ,  . - каноническое уравнение гиперболы.Гипербола – центральная линия второго порядка. Она состоит из двух бесконечных ветвей, симметрична относительно осей. Элементами гиперболы являются: точка О - центр гиперболы; точки А и В - вершины гиперболы; точки F1(+  ,0) и F2(-,0) - фокусы гиперболы; 2с - фокусное расстояние, которое вычисляется по формуле  ; AB=2a - действительная ось гиперболы; CD=2b - мнимая ось гиперболы;  - эксцентриситет гиперболы.Эксцентриситет определяется отношением осей гиперболы и характеризует еe форму: чем больше e, тем более вытянут вдоль мнимой оси основной прямоугольник гиперболы. Асимптоты гиперболы - это прямые, к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются при удалении в бесконечность. Уравнения асимптот гиперболы имеют вид:  . Угол  между асимптотами зависит от значения эксцентриситета гиперболы  , он определяется из уравнения  . При  гипербола называется равнобочной, ее асимптоты взаимно перпендикулярны, уравнение гиперболы имеет вид:  . Если принять асимптоты за оси координат, то уравнение гиперболы примет вид:  , то есть равнобочная гипербола является графиком обратной пропорциональности. Прямые  , перпендикулярные действительной оси гиперболы и отстоящие от ее центра на расстояниях , называются директрисами гиперболы, соответствующими фокусам F1 и F2. Отношение расстояния любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию ее до соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету  .  Сопряженные гиперболы – две гиперболы, которые в одной и той же системе прямоугольных координат при одних и тех же значениях  и  определяются уравнениями и  . Сопряженные гиперболы имеют общие асимптоты. Действительная ось каждой из них есть мнимая ось другой и наоборот.  - параметрические уравнения правой ветви гиперболы; - уравнение правой ветви гиперболы в полярных координатах, связанных с фокусом,  - эксцентриситет гиперболы.Парабола Парабола - геометрическое место точек , равноудалённых от заданной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы).  .  , - каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат,точка О - вершина; ox - ось параболы; точка F(р/2,0) - фокус;  - уравнение директрисы;  - эксцентриситет; p - фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или половина хорды, проходящей через фокус перпендикулярно оси ox).  - каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (x0,y0); - уравнение параболы в полярных координатах, связанных с фокусом; - параметрические уравнения параболы.Уравнения вырожденных кривых второго порядка (прямые)
Преобразования координат Для приведения кривой  к каноническому виду следует подвергнуть уравнение преобразованиям:  и выделить полный квадрат для определения центра кривой, если он существует.  - уравнение окружности с центром в точке  и радиусом R; - уравнения эллипса и гиперболы с центром симметрии в точке ; - уравнения асимптот гиперболы; - уравнение параболы с вершиной в точке .При переходе от одной системы прямоугольных координат к другой мы заменяем уравнение линии второго порядка другим уравнением  . При этом выражения  и  остаются равными. Они называются инвариантами (неизменными) уравнения второй степени. С их помощью различают три типа линий второго порядка. 1). Эллиптический тип, если  .К нему относятся, кроме действительного эллипса, также мнимый эллипс  и пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке  .2). Гиперболический тип, если  .К нему относится, кроме гиперболы, пара действительных пересекающихся прямых  .3). Параболический тип, если  .К нему относится, кроме параболы, пара параллельных (действительных или мнимых) прямых (они могут совпадать). | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
;
;
- угол наклона прямой к оси ox;
между двумя прямыми, заданными в общем виде A1 x + B1 y + C1 = 0, A2 x + B2 y + C2 = 0 и в виде y=k1x+b1, y=k2x+b2;
