уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую, заданную общим уравнением ![](54128_html_m3ed065df.gif)
где - координаты точки пересечения прямой и плоскости ;
- синус угла между прямой и плоскостью ;
- условие параллельности прямой и плоскости ;
- условие перпендикулярности прямой и плоскости .
III. Аналитическая геометрия на плоскости
Прямая на плоскости
![](54128_html_m66732edd.gif)
| - расстояние между точками
A(x1,y1) и B (x2,y2);
|
![](54128_html_m180eb232.gif)
|
- координаты точки С (x,y), которая делит отрезок, соединяющий точки A(x1,y1) и B(x2,y2), в отношении ;
|
![](54128_html_4348598c.gif)
|
- координаты середины отрезка АВ;
|
![](54128_html_m7c085147.gif)
|
- условие принадлежности трёх точек (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) одной прямой;
|
![](54128_html_m28adf6f6.gif)
|
- площадь треугольника с вершинами (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3).
| A x+B y+C = 0
| - общее уравнение прямой;
|
| A (x - x0)+B (y - y0) = 0
| - уравнение прямой, проходящей через точку (x0,y0) перпендикулярно нормальному вектору {A,B};
|
|
![](54128_html_459d49b5.gif)
| - каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (x0,y0) параллельно вектору {l,m};
|
|
![](54128_html_m600573f3.gif)
| - параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (x0,y0) параллельно вектору ;
|
|
![](54128_html_m324f7605.gif)
| - уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (x1,y1) и (x2,y2);
|
|
![](54128_html_37dc1d4f.gif)
| - уравнение прямой с угловым коэффициентом k, где - угол наклона прямой к оси ox;
|
![](54128_html_m7f53ec5f.gif)
| - уравнение прямой в отрезках, где (а,0) и (0,b) - координаты точек пересечения прямой с осями ox и oy;
|
![](54128_html_m43c1e912.gif)
| - нормальное уравнение прямой,
где р - расстояние от начала координат до прямой, - угол между осьюox и перпендикуляром к прямой, проходящим через начало координат;
|
![](54128_html_32b0f3f6.gif)
| - нормальный вид общего уравнения прямой; знак нормирующего множителя противоположен знаку С;
|
![](54128_html_230e6ead.gif)
| - расстояние от точки (x0,y0) до прямой Ax + By + C = 0;
|
![](54128_html_m2be1f55f.gif)
| - координаты точек пересечения двух прямых A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0;
|
![](54128_html_20c48a52.gif)
|
- координаты точек пересечения прямых y = k1x + b1 и y = k2x + b2;
|
![](54128_html_40d86c78.gif)
| - условия параллельности прямых, заданных в общем виде: A1 x + B1 y + C1 = 0, A2 x + B2 y + C2 = 0 и в виде y = k1 x + b1, y=k2 x + b2;
|
![](54128_html_m7adfc7ce.gif)
| - условие перпендикулярности прямых, заданных в общем виде A1 x + B1 y + C1 = 0, A2 x + B2 y + C2 = 0
и в виде y = k1 x + b1, y=k2 x+b2;
|
![](54128_html_5f521066.gif)
|
- угол между двумя прямыми, заданными в общем виде A1 x + B1 y + C1 = 0, A2 x + B2 y + C2 = 0 и в виде y=k1x+b1, y=k2x+b2;
| 21. ![](54128_html_m7f6c1fb1.gif)
| - уравнение пучка прямых через точку М, если A1 x + B1 y + C1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 = 0 - уравнения двух прямых, пересекающихся в точке М.
|
Кривые второго порядка Э ллипс
Эллипс - геометрическое место точек , для которых сумма расстояний до двух заданных точек и (называемых фокусами эллипса) постоянна и равна .
и ![](54128_html_m659f51a6.gif) , ,
- каноническое уравнение эллипса.
Эллипс – центральная линия второго порядка, замкнутая линия, симметричная относительно осей и центра. Элементами эллипса являются: точка О - центр эллипса; точки A, B, C, D - вершины эллипса; точки F1(с,0), F2(-с,0) - фокусы эллипса; 2c - фокусное расстояние, которое вычисляется по формуле ; АВ = 2а и CD = 2b - большая и малая оси эллипса; a и b - большая и малая полуоси эллипса; - эксцентриситет эллипса, который вычисляется по формуле .
Эксцентриситет определяется отношением осей эллипса и характеризует его форму: чем больше e, тем более вытянут эллипс вдоль большой оси.
Прямые и , параллельные малой оси эллипса и отстоящие от его центра на расстояниях , называются директрисами эллипса, соответствующими фокусам F1 и F2.
Отношение расстояния любой точки эллипса до фокуса к расстоянию ее до соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету .
- параметрические уравнения эллипса, где t - параметр, ; (t - угол, образованный подвижным радиусом с положительным направлением оси ox);
- уравнение эллипса в полярных координатах, связанных с фокусом;
- эксцентриситет эллипса, если координатные оси совпадают с осями эллипса.
О кружность
Окружность - геометрическое место точек, равноудаленных от точки О (центр).
- уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат;
- уравнение окружности радиуса R с центром в точке (x0,y0);
- параметрические уравнения окружности радиуса R с центром в точке (x0,y0);
- уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат в полярных координатах;
![](54128_html_77412d6c.gif)
- уравнение окружности радиуса R с центром в точке ( 0,0) в полярных координатах;
- уравнение окружности радиуса R в полярных координатах. Центр окружности лежит на полярной оси, окружность касается начала координат.
Гипербола
Гипербола - геометрическое место точек , для которых абсолютная величина разности расстояний до двух заданных точек и (называемых фокусами гиперболы) постоянна и равна .
и , , .
- каноническое уравнение гиперболы.
Гипербола – центральная линия второго порядка. Она состоит из двух бесконечных ветвей, симметрична относительно осей. Элементами гиперболы являются: точка О - центр гиперболы; точки А и В - вершины гиперболы; точки F1(+ ,0) и F2(- ,0) - фокусы гиперболы; 2с - фокусное расстояние, которое вычисляется по формуле ; AB=2a - действительная ось гиперболы; CD=2b - мнимая ось гиперболы; - эксцентриситет гиперболы.
Эксцентриситет определяется отношением осей гиперболы и характеризует еe форму: чем больше e, тем более вытянут вдоль мнимой оси основной прямоугольник гиперболы.
Асимптоты гиперболы - это прямые, к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются при удалении в бесконечность.
Уравнения асимптот гиперболы имеют вид: .
Угол между асимптотами зависит от значения эксцентриситета гиперболы , он определяется из уравнения . При гипербола называется равнобочной, ее асимптоты взаимно перпендикулярны, уравнение гиперболы имеет вид: . Если принять асимптоты за оси координат, то уравнение гиперболы примет вид: , то есть равнобочная гипербола является графиком обратной пропорциональности.
Прямые , перпендикулярные действительной оси гиперболы и отстоящие от ее центра на расстояниях , называются директрисами гиперболы, соответствующими фокусам F1 и F2. Отношение расстояния любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию ее до соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету . Сопряженные гиперболы – две гиперболы, которые в одной и той же системе прямоугольных координат при одних и тех же значениях и определяются уравнениями
и .
Сопряженные гиперболы имеют общие асимптоты. Действительная ось каждой из них есть мнимая ось другой и наоборот.
- параметрические уравнения правой ветви гиперболы;
- уравнение правой ветви гиперболы в полярных координатах, связанных с фокусом, - эксцентриситет гиперболы.
Парабола
![](54128_html_m1dcbb836.png)
Парабола - геометрическое место точек , равноудалённых от заданной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы).
. ,
- каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат,
точка О - вершина; ox - ось параболы;
точка F(р/2,0) - фокус; - уравнение директрисы;
- эксцентриситет; p - фокальный параметр (расстояние от фокуса до
директрисы или половина хорды, проходящей через фокус перпендикулярно оси ox).
- каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (x0,y0);
- уравнение параболы в полярных координатах, связанных с фокусом;
- параметрические уравнения параболы.
Уравнения вырожденных кривых второго порядка (прямые)
![](54128_html_m6e226409.gif)
| - уравнения двух пересекающихся прямых;
|
![](54128_html_m64afc7fc.png)
|
![](54128_html_m34c84496.gif)
| - уравнения двух параллельных прямых;
|
|
![](54128_html_8d5436.gif)
| - уравнение двух совпадающих с осью ox прямых.
|
Преобразования координат Для приведения кривой к каноническому виду следует подвергнуть уравнение преобразованиям:
![](54128_html_66291a71.gif)
и выделить полный квадрат для определения центра кривой,
если он существует.
- уравнение окружности с центром в точке и радиусом R;
- уравнения эллипса и гиперболы с центром симметрии в точке ;
- уравнения асимптот гиперболы;
- уравнение параболы с вершиной в точке .
При переходе от одной системы прямоугольных координат к другой мы заменяем уравнение линии второго порядка другим уравнением
.
При этом выражения и ![](54128_html_217d7b1.gif) остаются равными. Они называются инвариантами (неизменными) уравнения второй степени.
С их помощью различают три типа линий второго порядка.
1). Эллиптический тип, если . К нему относятся, кроме действительного эллипса, также мнимый эллипс
![](54128_html_4221a9ef.gif) и пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке
.
2). Гиперболический тип, если . К нему относится, кроме гиперболы, пара действительных пересекающихся прямых .
3). Параболический тип, если . К нему относится, кроме параболы, пара параллельных (действительных или мнимых) прямых (они могут совпадать).
|