МАТАН-Лекция2. Плоскость и прямая в пространстве Уравнения плоскости

• Название: Плоскость и прямая в пространстве Уравнения плоскости
• Дата: 03.08.2022
• Размер: 319.72 Kb.
• Имя файла: МАТАН-Лекция2.docx
• Тип: Документы; #640051

1. 
   Плоскость и прямая в пространстве
   
   1. 
      Уравнения плоскости
      

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор. Пусть в пространстве задана точка M₀(x₀; y₀; z₀) и вектор = {A; B; C}. Плоскость, проходящая через точку M₀(x₀; y₀; z₀) и перпендикулярная к ненулевому вектору (нормальному вектору) представляется следующим уравнением:

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0.

Это уравнение отражает тот факт, что вектор ортогонален любому вектору на плоскости. Точка M(x; y; z) – произвольная точка плоскости.



Общее уравнение плоскости имеет следующий вид:

Ax + By + Cz + D = 0.



Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Пусть в пространстве заданы три точки M₁(x₁; y₁; z₁), M₂(x₂; y₂; z₂), M₃(x₃; y₃; z₃) не лежащие на одной прямой. Проходящая через них плоскость представляется уравнением

= 0.

Это уравнение отражает компланарность векторов , , . Точка M(x; y; z) – произвольная точка плоскости.



Уравнение плоскости в отрезках. Пусть плоскость проходит через три точки A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), отсекая на координатных осях не равные нулю отрезки a, b, c. Тогда ее уравнение имеет вид

+ + = 1.



Нормальное уравнение плоскости:

x + y + z - p = 0,

где , , - направляющие косинусы нормального вектора плоскости ;

p – расстояние от начала координат до плоскости. Считается, что вектор направлен от начала координат к плоскости (начало вектора связывают с началом координатной системы и смотрят его направление – к плоскости или от плоскости). Это уравнение отражает тот факт, что проекция вектора, проведенного из начала О в произвольную точку плоскости, всегда равна значению p.



Общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 приводится к нормальному виду умножением на нормирующий множитель = . Знак нормирующего множителя берется противоположным знаку свободного члена D в общем уравнении плоскости.

Пример. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку P(-1; 2; 2), параллельно векторам = {2; -2; 3} и = {4; 1; 5}.

Решение. Вначале находим нормальный вектор искомой плоскости по формуле

= = = - + = - 13 + 2 + 10 .

Получили, что = {-13; 2; 10}.

Теперь составим уравнение плоскости, которая проходит через заданную точку P и перпендикулярна вектору :

-13(x + 1) + 2(y – 2) + 10(z – 2) = 0.

Отсюда находим общее уравнение искомой плоскости: -13x + 2y + 10z – 37 = 0.

Угол между плоскостями. Под углом между плоскостямипонимается один из двугранных углов, образованный этими плоскостями (либо острый, либо тупой).



Пусть плоскости заданы своими общими уравнениями

(Q₁): A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 ;

(Q₂): A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0.

За угол между плоскостями(Q₁) и (Q₂) принимается угол между нормальными векторами плоскостей = {A₁; B₁; C₁} и = {A₂; B₂; C₂} и его косинус находится по формуле

= = .

Условие ортогональности двух плоскостей. Если плоскость (Q₁) ортогональна плоскости (Q₂), то их нормальные векторы будут также ортогональны, а тогда = 0 и

= 0.

Условие параллельности двух плоскостей. Если плоскость (Q₁) параллельна плоскости (Q₂), то их нормальные векторы коллинеарны, а тогда

= = .

Расстояние от точки до плоскости. Пусть в пространстве задана точка M₀(x₀; y₀; z₀) и плоскость (Q): Ax + By + Cz + D = 0. Расстояние d от точки M₀ до плоскости (Q) находится по формуле

d = .

Формула выводится из условия, что d есть модуль проекции вектора на направление нормального вектора , M₁ – произвольная точка плоскости.



2.2. Уравнения прямой в пространстве

Канонические уравнения прямой. Пусть в пространстве задана точка M₀(x₀; y₀; z₀) и вектор = {m; n; p}. Уравнения прямой (l), которая проходит через точку M₀ и которая параллельна вектору , имеют следующий вид:

= = .

Эти уравнения называются каноническими и отражают тот факт, что вектор , который называется направляющим вектором прямой, коллинеарен вектору . Точка M(x; y; z) – произвольная точка прямой (l).







Параметрические уравнения прямой. Запишем канонические уравнения прямой в виде

= = = t, где t – параметр. Решая каждое из трех записанных таким образом уравнений относительно x, y, z, получим параметрические уравнения прямой

x = x₀ + mt; y = y₀ + nt; z = z₀ + pt.

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Пусть в пространстве заданы две точки M₁(x₁; y₁; z₁) и M₂(x₂; y₂; z₂). Уравнения прямой, проходящей через эти точки, имеют вид

= = .

Эти уравнения получаются из канонических уравнений прямой, если взять за точку на прямой точку M₁ а за направляющий вектор - вектор .

Общие уравнения прямой:



где нормальные векторы плоскостей = {A₁; B₁; C₁} и = {A₂; B₂; C₂} не коллинеарны. Здесь прямая определяется как линия пересечения двух непараллельных плоскостей.



От общих уравнений прямой можно перейти к каноническим уравнениям следующим образом. Координаты точки на прямой получаются из системы уравнений, задав одной из координат произвольное значение (например z = 0).



Пример. Даны вершины треугольника A(2; -3; 4), B(5; -1; -2), C(4; -2; 5). Составить

параметрические уравнения его медианы CD.

Решение. Изобразим треугольник ABC и его медиану CD на чертеже.



Находим координаты x_D, y_D, z_D точки D по формулам:

x_D = = = 3,5; y_D = = = - 2; z_D = = = 1.

Вектор является направляющим вектором медианы CD. Его координаты находим по формуле:

= {x_D – x_C; y_D – y_C; z_D – z_C} = {3,5 – 4; -2 +2; 1 – 5} = {-0,5; 0; -4}.

Теперь запишем параметрические уравнения медианы CD как прямой, проходящей через точку C(4; -2; 5) и имеющей направляющий вектор = {-0,5; 0; -4}:

x = 4 + 0,5t ; y = -2 ; z = 5 + 4t .

Расстояние от точки до прямой. Пусть в пространстве задана точка M₁(x₁; y₁; z₁) и прямая (l) своими каноническими уравнениями = = . Расстояние d от точки M₁ до прямой (l) находится по формуле

d = ,

где = {m; n; p} – направляющий вектор прямой (l), M₀(x₀; y₀; z₀) – точка прямой. Здесь расстояние d находится как высота треугольника, построенного на векторах и ,

Угол между прямыми. Пусть прямые (l₁) и (l₂) заданы своими каноническими уравнениями

(l₁): = = ,

(l₂): = = .

За угол между прямыми (l₁) и (l₂) принимается угол , образованный направляющими векторами прямых = {m₁; n₁; p₁} и = {m₂; n₂; p₂} и его косинус находится по формуле

= = .

Условие ортогональности двух прямых:

= 0.

Условие параллельности двух прямых:

= = .











2.3. Прямая и плоскость в пространстве

Угол между прямой и плоскостью. За угол между прямой и плоскостью принимается угол, образованный этой прямой и ее проекцией на рассматриваемую плоскость.



Здесь определяются два угла – острый и тупой. Выбирается один из них.

Пусть плоскость (Q) задана общим уравнениемAx + By + Cz + D = 0, а прямая (l) задана каноническими уравнениями = = . Синус угла между прямой (l) и плоскостью (Q) вычисляется по формуле

= .

Условие параллельности прямой и плоскости:

= 0.

Условие ортогональности прямой и плоскости:

= = .





Равенства вида



являются условием принадлежности прямой плоскости. Первое равенство отражает тот факт, что прямая параллельна плоскости, а второе – что плоскость проходит через точку на прямой.

Замечание. Уравнения прямой на плоскости получаются путем исключения входящих в пространственные уравнения компонент, относящихся к переменной z. Например из канонического уравнения прямой в пространстве получаются уравнения прямой на плоскости вида = .

Пример. Стороны AB и BC параллелограмма заданы уравнениями 2x – y + 5 = 0 и x – 2y + 4 = 0. Диагонали его пересекаются в точке M(1; 4). Найти уравнения двух других сторон параллелограмма.

Решение. Изобразим параллелограмм на чертеже.



Находим координаты точки пересечения прямых AB и BC, решая систему уравнений:



Это будет точка B(-2; 1). Теперь найдем координаты точки D, которые обозначим как и . Так как точка M находится на середине отрезка BD, то должны выполняться равенства:

, .

Отсюда находим = 4, =7 и D(4; 7).

Угловые коэффициенты прямых AB и CD совпадают и равны 2. Уравнение прямой CD находим из условия, что ее угловой коэффициент равен 2 и она проходит через точку D(4;7):

y – 7 = 2(x – 4), или 2x – y -1 = 0.

Аналогично находим уравнение прямой AD:

x – 2y +10 = 0.

2.4. Контрольные вопросы


1. Какие Вы знаете уравнения плоскости?

2. Какой смысл имеют коэффициенты A, B, C в уравнении плоскости Ax + By + Cz + D = 0?

3. Плоскость проходит через ось Oz. Какие из коэффициентов A, B, C, D в этом случае равны 0?

4. Какой смысл имеют коэффициенты a, b, c в уравнении плоскости + + = 1?

5. Укажите нормирующий множитель для перехода от общего уравнения плоскости к нормальному.


6. Какие Вы знаете уравнения прямой в пространстве?

7. Какой смысл имеют коэффициенты m, n. p в уравнении прямой = = ?

8. Определяет ли прямую система



2.5. Расчетное задание

Даны координаты четырех точек в пространстве A₁, A₂, A₃, A₄ (см. табл.1). Требуется решить следующие задачи:

1. 
   составить уравнение плоскости Q, проходящей через точки A₁, A₂, A₃;
   
2. 
   составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку A₄ перпендикулярно плоскости Q;
   
3. 
   найти координаты точки пересечения такой прямой с плоскостью Q;
   
4. 
   найти расстояние от точки A₄ до плоскости Q;
   
5. 
   составить уравнение плоскости, проходящей через точку A₄ параллельно плоскости Q;
   
6. 
   составить уравнение плоскости, проходящей через точки A₁ и A₄ перпендикулярно плоскости Q;
   
7. 
   найти косинус угла между плоскостью Q и плоскостью, проходящей через точки A₁, A₃, A₄;
   
8. 
   найти синус угла между прямой A₁A₄ и плоскостью Q.
   

2.5. Решение типовых задач

Задача 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A₁(3; -1; 2), A₂(4; -1; -1), A₃(2; 0; 2).

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки:

= = 0.

Раскрываем определитель третьего порядка:

3(x – 3) + 3(y + 1) + z – 2 = 0, или 3x + 3y + z – 8 = 0.

Задача 2. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку A(-1; 2; 1) перпендикулярно плоскости 3x – 2y + z – 12 = 0.

Решение. В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять нормальный вектор заданной плоскости, то есть считаем = {3; -2; 1}. Тогда канонические уравнения прямой записываются в виде

= = .

Задача 3. Найти точку пересечения прямой = = и плоскости 2x – 6y – z + 1 = 0.

Решение. Запишем уравнения заданной прямой в параметрическом виде:

x = 1 + 2t ; y = 2+ 3t ; z = 6 + t .

Пусть значение параметра t = t_a соответствует точке A(x_a; y_a; z_a) пересечения прямой и плоскости. Тогда значение t_a находится из уравнения:

2(1 + 2t_a) – 6(2+ 3t_a) – (6 + t_a) +1 = 0.

Решая его, получим t_a = -1.

Координаты точки пересечения A(x_a; y_a; z_a) находим из параметрических уравнений прямой при t = -1:

x_a = 1 + 2(-1) = -1; y_a = 2+ 3(-1) = -1; z_a = 6 - 1 = 5.

Значит, точка A(-1; -1; 5) есть точка пересечения прямой и плоскости.

Задача 4. Найти расстояние от точки A(-2; -4; 3) до плоскости 2x – y +2z + 3 = 0.

Решение. Воспользуемся формулой d = = = 3.

Задача 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(2; -1; 6) параллельно плоскости x + y - 2z + 5 = 0.

Решение. В качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять нормальный вектор заданной плоскости = {1; 1; -2}. Искомая плоскость представляется уравнением

1(x – 2) + 1(y + 1) – 2(z – 6) = 0, или x + y - 2z + 11 = 0.

Задача 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A₁(1; 2; 3) и A₂(2; 1; 1) перпендикулярно плоскости 3x + 4y + z - 6 = 0.

Решение. Пусть точка M(x; y; z) принадлежит искомой плоскости. Тогда векторы , и нормальный вектор заданной плоскости = {3; 4; 1} должны быть комплонарны. Значит выполняется условие

= 0.

Раскрывая определитель третьего порядка, получим искомое уравнение плоскости

x - y + z - 2 = 0.

Задача 7. Найти косинус угла между плоскостями x - y + z - 1 = 0 и x + y - z + 3 = 0.

Решение. Воспользуемся формулой

= = = = - .

Задача 8. Найти синус угла между прямой = = и плоскостью 6x + 15y - 10z + 31 = 0.

Решение. Воспользуемся формулой

= = = .