ТГВ. ТГВ-Л№11. Лекция 11 Операторный метод анализа переходных процессов Кубанский государственный технологический университет
 Скачать 1.07 Mb.
|
|
Учебная дисциплина Электротехника и электроника Лекция № 11 Операторный метод анализа переходных процессов Кубанский государственный технологический университет Кафедра компьютерных технологий и информационной безопасности Институт информационных технологий и безопасности Учебные вопросы: 1. Преобразования Лапласа и его свойства. 2. L –изображение элементов в электрических цепях. 3. Методика анализа переходных процессов в линейных электрических цепях операторным методом. Литература: 1. Зевеке Г.В., Ионкин А.В., Нетушил А.В.,Страков С.В. Основы теории цепей: Учебник для вузов, - М.: Энергоатомиздат, 1999 г, с. 185 –187. 2. Бакалов В.П., Игнатов А.Н., Крук Б.И. Основы теории электрических цепей и электроники: Учебник для вузов, - М.: Радио и связь, 1999 г, с. 121 –132. 3. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника: Учебник для вузов, - М.: Высшая школа, 2003 г, с. 114 –122. 1. Преобразования Лапласа и его свойства. Операторный метод анализа позволяет сводить линейные дифференциальные уравнения к более простым алгебраическим уравнениям. Формальные правила с оператором дифференцирования, предложенные Хевисайдом (1892 г.) В основе операторного метода анализа переходных процессов лежит преобразование Лапласа, которое позволяет перенести решение из области функций действительного переменного t в область комплексного переменного p: При этом методе нет необходимости определения постоянных интегрирования Преобразование Лапласа Прямое Обратное Изображение по Лапласу Оригинал функции Между парой преобразований Лапласа и преобразований Фурье существует связь: преобразование Фурье есть частный случай преобразования Лапласа при = 0. Пример: Найдем изображение по Лапласу от единичной функции f(t)= Используя определение прямого преобразования Лапласа Размерность L(p) = f(t)· t, т.е. размерность изображения равна размерности оригинала, умноженной на время. Основные свойства (теоремы) преобразований Лапласа 1. Линейности Это свойство позволяет находить изображение таких сигналов, которые могут быть представлены суммами относительно простых слагаемых с уже известными изображениями. 2. Дифференцирование оригинала Ненулевые начальные условия Нулевые начальные условия 3. Интегрирование оригинала 4. Теорема запаздывания 5. Теорема смещения 6. Теорема свертывания (теорема умножения изображений) Таблица изображений по Лапласу 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 14 16 17 Пользуясь основными свойствами преобразований Лапласа, можно получить основные законы электрических цепей в операторной форме. 2. L - изображение элементов в электрических цепях Емкостной элемент Соотношение между L – изображением тока в емкостном элементе и оригиналом i(t) определяется следующим соотношением (по теореме дифференцирования): L – изображение тока в емкости L – изображение напряжения на емкости UC(0) – определяет начальные условия на емкостном элементе С 1/pС С I(p) UС(p) UC(0)/p 1/pC Индуктивный элемент Соотношение между L – изображением тока в индуктивном элементе и оригиналом uL(t) определяются следующей зависимостью Следовательно, L – изображение напряжения на индуктивном элементе определяются зависимостью L L·I(0) UL(p) I(p) pL I(0) Определяет начальные условия задачи (начальный ток) Начальное напряжение L pL Операторные сопротивления При нулевых начальных условиях: UC(0) = 0 IL(0) = 0 Операторное напряжение на емкостном элементе Операторное напряжение на индуктивном элементе Операторные сопротивление и проводимость емкостного элемента Операторные сопротивление и проводимость индуктивного элемента Резистивный элемент R UR(p) I(p) Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме Эквивалентная схема в операторной форме Обобщенный закон Ома в операторной форме e(t) R uR(t) i(t) L С uL(t) uC(t) а b a b I(p) 1/pC R UR(p) UL(p) UC(p) а b Va(p) Е(р) UC(0)/p L·I(0) pL Vb(p) Полное сопротивление цепи в операторной форме Первый закон Кирхгофа в операторной форме: алгебраическая сумма операторных токов в узле равна нулю Второй закон Кирхгофа в операторной форме Методика анализа переходных процессов в линейных электрических цепях операторным методом 1. Из расчета цепи до коммутации найти токи в индуктивности IL(0) и напряжения на емкости UC(0). 2. По виду топологии исследуемой цепи, получившейся после коммутации, составить эквивалентную операторную схему. 3. Выбрать метод расчета и найти изображение искомых величин. 4. По изображению искомых величин (с помощью таблицы преобразований Лапласа) найти оригинал, т.е. искомую функцию Алгебраическая сумма операторных падений напряжений в контуре равна алгебраической сумме операторных ЭДС и напряжений контура Подключение источника постоянной ЭДС к RL -цепи L uL(t) uR(t) i(t) R Е pL UL(р) UR(р) I(р) R Е(p) LI(0) До коммутации I(0) = 0 Операторная эквивалентная схема На основании второго закона Кирхгофа с учетом нулевых начальных условий При этом операторные изображения падений напряжений на элементах электрической цепи примут вид Операторные изображения тока в электрической цепи 6 Согласно таблице изображений находим оригинал тока и затем его предельное значение t i(t) 0 I 2 3 Переходный процесс заканчивается через время 3 Рассмотрим последовательный колебательный контур при ненулевых начальных условиях, т.е. UC(0) 0 и IL(0) 0 . Уравнение связи по второму закону Кирхгофа имеет вид: Применив к этому выражению прямое преобразование Лапласа и учитывая ряд свойств этого преобразования получаем: Закон Ома в операторной форме для данной цепи L uL(t) uR(t) i(t) R Е uС(t) С Включение колебательного контура на источник постоянного напряжения Уравнение для изображение тока по закону Ома для нулевых начальных условий примет вид: Определим корни характеристического уравнения R > 2 Воспользовавшись теоремой разложения, которая позволяет при нахождении оригинала операцию интегрирования заменить операцией суммирования, что значительно упрощает расчеты pk – корни характеристического уравнения Подставив значение корней и значение производных в формулу разложения, получим оригинал тока t u,i uC(t) при R < 2 i(t) uL(t) E uC(t) при R > 2 - апериодический процесс Операторные передаточные функции Операторные передаточные функции определяются как отношение изображений выходной реакции электрической цепи к изображению входного воздействия В связи с этим определением различают четыре вида передаточных функции: Передаточная функция по напряжению Передаточная функция по току Передаточная функция сопротивления Передаточная функция проводимости Комплексные передаточные функции (p j) – частотный метод анализа Литература: 1. Зевеке Г.В., Ионкин А.В., Нетушил А.В.,Страков С.В. Основы теории цепей: Учебник для вузов, - М.: Энергоатомиздат, 1999 г, с. 185 –187. 2. Бакалов В.П., Игнатов А.Н., Крук Б.И. Основы теории электрических цепей и электроники: Учебник для вузов, - М.: Радио и связь, 1999 г, с. 121 –132. 3. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника: Учебник для вузов, - М.: Высшая школа, 2003 г, с. 114 –122. Задание на самостоятельную работу |