Линейная алгебра. Лин. алгебра 1. Решение а Решим систему методом Гаусса Запишем расширенную матрицу систему

• Название: Решение а Решим систему методом Гаусса Запишем расширенную матрицу систему
• Анкор: Линейная алгебра
• Дата: 14.04.2021
• Размер: 210.32 Kb.
• Имя файла: Лин. алгебра 1 .docx
• Тип: Решение; #194832

Задача 1

Решить неоднородную систему линейных уравнений:

а) методом Гаусса;

б) методом Крамера;

б) матричным методом.


Решение:

а) Решим систему методом Гаусса

Запишем расширенную матрицу систему:



Приведем расширенную матрицу системы к треугольному виду:

поменяем местами первую и вторую строки:



умножим первую строку на (-2) и сложим со второй, затем умножим первую строку на (-1) и сложим с третьей



разделим третью строку на 3



поменяем местами вторую и третью строки



умножим вторую строку на (-3) и сложим с третьей



разделим третью строку на -4



Система примет вид: 
б) Решим систему методом Крамера.

Запишем определитель системы и вычислим его разложением по первой строке:



Следовательно, система имеет единственное решение.

Вычислим вспомогательные определители, также воспользовавшись правилом разложения по первой строке:







Найдем решение системы:






в) Найдем решение системы методом обратной матрицы

Запишем систему в матричной форме:

А·Х=В, где

- матрица коэффициентов системы

- столбец свободных членов

- решение системы

Х=А^-1·В

Найдем обратную матрицу А^-1
, где А_ij - алгебраические дополнения элементов матрицы А

Найдем определитель матрицы А:


Найдем алгебраические дополнения:





















Найдем Х


Задача 2

Даны координаты вершин пирамиды АВСD. Требуется:

1) скалярное произведение ;

2) длины сторон и ;

2) найти угол между этими сторонами

4) найти площадь грани АВС;

5) найти объем пирамиды АВСD
А(1;1;1), В(6;3;1), С(3;6;1), D(2;3;5)
Решение:

1) Найдем координаты векторов:







Найдем длины векторов:







2) Найдем скалярное произведение векторов



₃) Найдем угол  между векторами


46⁰

4) Найдем площадь грани АВС









5) Найдем объем пирамиды АВСD






Задача 3

Даны координаты вершин треугольника АВС. Построить на плоскости ХОУ точки А, В,С по их координатам. Затем

а) написать уравнения прямых АВ и АС;

б) вычислить угол между этими прямыми через их угловые коэффициенты;

в) написать уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС;;

г) найти длину высоты, опущенной из вершины В на сторону АС
А(11;-15), В(6;-3), С(-2;-9)
Решение:

Чертеж треугольника


А

В

С

а) Составим уравнение прямой АВ по точкам А(11;-15), В(6;-3)



- общее уравнение прямой АВ

Запишем уравнение АВ в виде с угловым коэффициентом, т.е. в виде



- уравнение АВ в виде с угловым коэффициентом, где

Составим уравнение прямой АC по точкам А(11;-15), С(-2;-9)



- общее уравнение прямой АC

Запишем уравнение ВC в виде с угловым коэффициентом

- уравнение АC в виде с угловым коэффициентом, где

б) Найдем угол между прямыми АВ и АС





в) Составим уравнение высоты ВD по точке В(6;-3) и угловому коэффициенту , т.к.



- общее уравнение высоты ВD

г) Длину высоты ВD найдем как расстояние от точки В(6;-3) до прямой АС



Задача 4

Используя данные задачи 2:

а) написать уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно стороне ВС;

б) написать уравнение грани АВС;

в) написать уравнение прямой, проходящей через точки С и D, перейти от канонического задания этой прямой к е параметрическому заданию;

г) найти точку пересечения этой прямой с плоскостью

А(1;1;1), В(6;3;1), С(3;6;1), D(2;3;5)
Решение:

а) Составим уравнение плоскости по точке А(1;1;1) и нормальному вектору





уравнение заданной плоскости
б) Составим уравнение плоскости АВС по точке А(1;1;1) и нормальному вектору ,



уравнение плоскости АВС
в) Составим уравнение прямой СD по точкам С(3;6;1) и D(2;3;5)



- уравнение прямой СD

Запишем уравнение прямой СD в параметрической форме:



уравнение прямой в параметрической форме, где tR
г) Найдем точку пересечения прямой СD с плоскостью

Подставим в уравнение плоскости параметрическое задание прямой

не выполняется при любых tR, т.е. нет точки пересечения заданной прямой и плоскости.

Задача 5

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы



Решение:

Составим характеристическое уравнение:

, найдем корни характеристического уравнения


Корни
Получаем собственные числа матрицы

Найдем собственные векторы матрицы:

1. 
   
   

Составим систему уравнений: 

  , где

2. 
   
   

Составим систему уравнений: 

  , где

3. 
   
   

Составим систему уравнений: 

 