Конспект лекций по алгебре. Системы линейных уравнений. Основные понятия
 Скачать 0.68 Mb.
|
|
§1. Системы линейных уравнений. Основные понятия. Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид { a 11 x 1 + a 12 x 2 + ...+ a 1 n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ...+a 2 n x n = b 2 , a m1 x 1 + a m2 x 2 + ...+ a mn x n = b m (1) Коэффициенты при неизвестных нумеруются двойными индексами. Через a ij обозначен коэффициент в i-м уравнении при неизвестной x j . Линейные урав- нения можно рассматривать как частный случай систем, когда m=1. С каждой системой линейных уравнений связывают следующие объекты. 1. Матрица коэффициентов системы — таблица из m строк и n столбцов, со- ставленная из коэффициентов при неизвестных: A= ( a 11 a 12 ... a 1 n a 21 a 22 ... a 2 n a m1 a m2 ... a m n ) В случае, когда матрица состоит из m строк и n столбцов, её называют прямо- угольной матрицей типа m×n. Если количество строк совпадает с количе- ством столбцов, т. е. m=n , то говорят о квадратной матрице порядка n. 2. Столбец неизвестных: X = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) 3. Столбец свободных членов: B= ( b 1 b 2 ⋮ b m ) Используя введённые обозначения, систему иногда записывают в символиче- ском виде AX = B. 1 4. Расширенная матрица: ( A∣B)= ( a 11 a 12 ... a 1 n a 21 a 22 ... a 2 n a m1 a m2 ... a mn ∣ b 1 b 2 b m ) 5. Решение системы — упорядоченный набор (α 1 ,α 2 ,… , α n ) чисел, подста- новка которых в систему вместо соответствующих неизвестных превращает каждое уравнение системы в верное равенство. Отметим специально, что решением системы являются не сами числа α i , а их набор. Определение 1. Система уравнений называется совместной, если она имеет по крайней мере одно решение. В противном случае система называется несовместной. Другими словами, ка- ков бы ни был упорядоченный набор из n чисел, в несовместной системе найдётся хотя бы одно уравнение, подстановка в которое чисел набора на даёт верного равенства. Пример 1. Система { 2 x 1 + 3 x 2 − x 3 =− 4 , x 1 − x 2 − 3 x 3 = 3 является совместной, поскольку упорядоченная тройка чисел ( 1,−2,0) является её решением. Пример 2. Очевидно, что система { x 1 + x 2 =− 1 , x 1 + x 2 = 1 несовместная. Определение 2. Система уравнений называется определённой, если она имеет единственное решение. Таким образом определённая система является совместной. Если совместная система имеет более одного решения, то она называется неопределённой. Пример 3. Система из примера 1 является неопределённой, так как набор чи- сел (− 1,−1,−1) также является решением. Пример 4. Система { 1⋅x 1 + 0⋅x 2 =π , 0⋅x 1 + 1⋅x 2 = √ 5 является определённой. §2. Эквивалентные системы Пусть имеются две системы уравнений, которые условно обозначим символа- ми (I) и (II). Определение 1. Система (II)называется следствием системы (I), если каж- дое решение системы (I) является решением системы (II). Тот факт, что система (II)является следствием системы (I) коротко записыва- ется в виде ( I )⇒( II ). Пример 1. Система (II), состоящая из уравнения 3 x 1 + 2 x 2 =− 1 является 2 следствием системы (I) { 2 x 1 + 3 x 2 =− 4 , x 1 − x 2 = 3. Это вытекает из того, что после по- членного сложения уравнений системы (I) получается уравнение (II). Заметим, что в рассматриваемом примере система (I) не является следствием системы (II). Например, пара (− 1,1) является решением (II), но не (I). Определение 2. Системы (I) и (II) называются эквивалентными, если всякое решение одной из них является решением другой. Другими словами, множества решений эквивалентных систем состоят из од- них и тех же элементов. Можно также сказать, что каждая из эквивалентных си- стем является следствием другой. Эквивалентность систем (I) и (II) краткообозначается так: ( I )∼( II ). Поиск решений системы линейных уравнений фактически сводится к поиску эквивалентной системы специального вида, более удобного для описания реше- ний. Теорема. Система (I) линейных уравнений (1) эквивалентна системе (II), по- лучающейся из неё следующими преобразованиями: 1) умножение уравнения на ненулевое число; 2) перестановка двух уравнений; 3) прибавление к одному уравнению другого, умноженного на число. Доказательство. В случае преобразований 1) и 2) теорема тривиальна. Поэтому рассмотрим только случай, когда система (II) получается из системы (I) преобразованием 3). Допустим, что i-е уравнение системы (II) является суммой i-го уравнения си- стемы (I) и j-го уравнения той же системы, умноженного на число μ Очевид- но, каждое решение системы (I) является решением системы (II). С другой сто- роны, сумма i-го уравнения системы (II ) и j-го уравнения той же системы, умноженного на число −μ , совпадает с i-м уравнением системы (I). Поэтому каждое решение системы (II) является решением системы (I). Таким образом, системы (I) и (II) эквивалентны. □ §3. Формулы Крамера i . Определитель второго порядка Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными общего вида { a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 (2) Для нахождения решения умножим первое уравнение на a 22 , второе — на − a 12 и сложим почленно полученные равенства. Из полученного соотноше- ния ( a 11 a 22 − a 21 a 12 ) x 1 = b 1 a 22 − b 2 a 12 , 3 предполагая множитель a 11 a 22 − a 21 a 12 ненулевым, находим значение пере- менной x 1 : x 1 = b 1 a 22 − b 2 a 12 a 11 a 22 − a 21 a 12 (3) Аналогично поступаем для нахождения x 2 : первое уравнение умножаем на − a 21 , второе — на a 11 и складываем почленно полученные равенства. По- сле очевидных преобразований находим x 2 = a 11 b 2 − a 21 b 1 a 11 a 22 − a 21 a 12 (4) Формулы (3) и (4), выражающие решение системы через коэффициенты и свободные члены, называются формулами Крамера. Их можно записать в виде, более удобном для запоминания, если ввести понятие определителя. Определение. Определителем матрицы ( α β γ δ ) второго порядка (или про- сто определителем второго порядка) называется число α⋅δ−β⋅γ Для обозначения определителя вместо круглых скобок используют прямые. Таким образом, ∣ α β γ δ ∣ =α⋅δ−β⋅γ Также определитель матрицы A обозначают символом det A. Пример 1. ∣ 4 7 5 8 ∣ = 4⋅8−7⋅5=−3. Пример 2. ∣ cos ξ sin ξ − sin ξ cos ξ ∣ = cos 2 ξ+ sin 2 ξ= 1. Ясно, что знаменатель Δ каждой дроби в формулах Крамера является определителем матрицы системы (2) Δ= ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ Числитель Δ 1 дроби в формуле (3) ( Δ 2 в формуле (4)) также можно запи- сать в виде определителя, который получается из Δ заменой первого (второго) столбца столбцом свободных членов: 4 Δ 1 = ∣ b 1 a 12 b 2 a 22 ∣ , Δ 2 = ∣ a 11 b 1 a 21 b 2 ∣ С учётом введённых обозначений формулы (3) и (4) можно записать в виде x 1 = Δ 1 Δ , x 2 = Δ 2 Δ . Ещё раз отметим, что формулы Крамера получены в предположении Δ≠0 . При выполнении этого условия значения переменных x 1 , x 2 определяются однозначно. Другими словами, система (2) является определённой. Пример 3. Найдём решения системы уравнений { 2 x 1 + 3 x 2 =− 4 , x 1 − x 2 = 3 . Так как определитель этой системы Δ= ∣ 2 3 1 −1 ∣ =− 5 отличен от нуля, то решение единственно и может быть найдено по формулам Крамера: Δ 1 = ∣ − 4 3 3 − 1 ∣ =− 5 , Δ 2 = ∣ 2 −4 1 3 ∣ = 10 , x 1 = − 5 − 5 = 1, x 2 = 10 − 5 =− 2. §4. Свойства определителей второго порядка Пусть A – некоторая матрица. Построим матрицу (в общем случае отлич- ную от A) по правилу: в i-ю строку поместим элементы i-го столбца матри- цы A. Составленная таким образом матрица называется матрицей, транспо- нированной к матрице A и обозначается символом A t . Например, если A= ( 2 − 1 1 − 7 3 5 ) , то A t = ( 2 −7 − 1 3 1 5 ) Свойство 1. Для любой матрицы второго порядка det A=det A t : ∣ α β γ δ ∣ =α δ−β γ= ∣ α γ β δ ∣ Данное свойство означает, что справедливость утверждения об определителе не нарушится, если в формулировке этого утверждения поменять ролями стро- ки и столбцы. Свойство 2. При умножении любого столбца определителя на число, опреде- 5 литель умножается на это число. Например, ∣ α k β γ k δ ∣ =α( k δ)−(k β)γ=k (α δ−β γ)=k ∣ α γ β δ ∣ Свойство 3. Если в определителе поменять местами столбцы, то определи- тель изменит знак: ∣ β α δ γ ∣ =β γ−α δ=−(α δ−β γ)=− ∣ α β γ δ ∣ Свойство 4. Определитель, элементы некоторого столбца которого представ- лены в виде суммы двух слагаемых, равен сумме двух определителей, каждый из которых получается из исходного заменой одноимённого столбца столбцом первых и вторых слагаемых соответственно. Например, ∣ α 1 + α 2 β γ 1 + γ 2 δ ∣ =(α 1 +α 2 )δ−β(γ 1 + γ 2 )=(α 1 δ−β γ 1 )+(α 1 δ−β γ 1 )= ∣ α 1 β γ 1 δ ∣ + ∣ α 2 β γ 2 δ ∣ Свойство 5. Определитель с нулевым столбцом равен нулю. Свойство 6. Определитель с одинаковыми столбцами равен нулю. Из свойств 2, 4 и 6 вытекает Свойство 7. Определитель не изменится, если к элементам некоторого столб- ца определителя прибавить соответственные элементы другого столбца, умно- женные на одно и то же число. Свойство 8. Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его столб- цы пропорциональны: ∣ α β γ δ ∣ = 0⇔ α δ=β γ⇔ α β = γ δ Разумеется, приведённые рассуждения имеют силу лишь в том случае, когда ни β , ни δ не равны нулю. Если это условие не выполнено, например β=0, то хотя бы одно из чисел α или δ равно нулю и свойство очевидно. §5. Геометрический смысл определителя второго порядка Для выяснения геометрического смысла определителя второго порядка вы- числим площадь параллелограмма (см. рисунок), построенного на векторах ⃗ OK =(α ,β) и ⃗ OL=(γ , δ). Проще всего это сделать, вычитая из площади прямоугольника с вершинами в точках O , α+γ , M ,β+δ площади «лишних» фигур: треугольников 1,2 и трапеций 3,4. Из чертежа видно, что сумма 6 площадей треугольника 1 и трапеции 3 равна площади прямоугольника со сторонами γ и β+δ Аналогичным образом, сумма площадей треугольни- ка 2 и трапеции 4 равна площади прямоугольника со сторонами α+γ и β. Поэтому искомая площадь равна (α+ γ)(β+δ)−γ (β+δ)−(α+ γ)β=α(β+δ)−(α +γ)β=α δ−γ β= ∣ α β γ δ ∣ Итак, площадь параллелограмма OKML равна определителю ∣ α β γ δ ∣ , со- ставленному из координат векторов, порождающих параллелограмм. На самом деле определитель может оказаться отрицательным числом и даже равняться нулю. В последнем случае, согласно свойствам 1 и 8, координаты век- торов ⃗ OK и ⃗ OL пропорциональны, а значит сами векторы коллинеарны. Поэтому параллелограмм, порождаемый ими, является вырожденным и есте- ственно считать его площадь равной нулю. В случае, когда векторы ⃗ OK =(α ,β) и ⃗ OL=(γ , δ) неколлинеарны, можно показать, что определитель ∣ α β γ δ ∣ будет положительным если и только если кратчайший поворот от вектора ⃗ OK к вектору ⃗ OL происходит против часо- вой стрелки. Следовательно, в определителе заключена информация о располо- жении сторон параллелограмма или, как принято говорить, об ориентации па- раллелограмма. Коротко этот факт выражают следующими словами: определитель ∣ α β γ δ ∣ равен ориентированной площади параллелограмма, построенного на векторах с координатами (α ,β) и (γ , δ). Пример. Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах ⃗ a=(−4,7) и ⃗ b=(5,−8). Так как ∣ − 4 7 5 − 8 ∣ =− 3 , то площадь параллело- грамма равна 3 кв. ед., причём кратчайший поворот от ⃗ a к ⃗ b происходит по часовой стрелке. 7 §6. Однородные системы двух линейных уравнений с тремя неизвестными Система (2) линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены b i равны нулю. Рассмотрим систему двух линейных уравнений с тремя неизвестными 1 c 1, c 2, c 3 : { a 11 c 1 + a 21 c 2 + a 31 c 3 = 0, a 12 c 1 + a 22 c 2 + a 32 c 3 = 0 (5) Естественно считать, что коэффициенты уравнений непропорциональны, так как иначе система (5) эквивалентна системе из одного уравнения. Согласно свойству 8, это означает, что один из определителей ∣ a 11 a 21 a 12 a 22 ∣ , ∣ a 21 a 31 a 22 a 32 ∣ или ∣ a 11 a 12 a 31 a 32 ∣ отличен от нуля. Без ограничения общности можно считать, что ∣ a 11 a 21 a 12 a 22 ∣ ≠ 0. Этого всегда можно добиться подходящей перенумерацией неизвестных. Мы хотим описать все решения системы (5), удовлетворяющей перечислен- ным условиям. Заметим, прежде всего, что если набор ( c 1 , c 2 , 0) является ре- шением, то c 1 = c 2 = 0. Это напрямую вытекает из формул Крамера. Предположим теперь, что c 3 ≠ 0 . В этом случае систему (5) можно перепи- сать в виде { a 11 c 1 c 3 + a 21 c 2 c 3 =− a 31 , a 12 c 1 c 3 + a 22 c 2 c 3 =− a 32 и рассматривать последнюю систему как систему двух уравнений от двух неиз- вестных c 1 c 3 и c 2 c 3 Используя формулы Крамера и свойства определителей, выпишем решение 1 В системе (5) мы намеренно отступили от принятого ранее правила индексации коэффициентов при неизвестных. 8 c 1 c 3 = ∣ a 21 a 31 a 22 a 32 ∣ ∣ a 11 a 21 a 12 a 22 ∣ , c 2 c 3 = ∣ a 31 a 11 a 32 a 12 ∣ ∣ a 11 a 21 a 12 a 22 ∣ Из найденных формул следует, что компоненты c i решения системы (5) про- порциональны соответствующим определителям второго порядка: c 1 =λ ∣ a 21 a 31 a 22 a 32 ∣ , c 2 =λ ∣ a 31 a 11 a 32 a 12 ∣ , c 3 =λ ∣ a 11 a 21 a 12 a 22 ∣ , где λ — произвольное ненулевое число. Если допустить и нулевое значение параметра λ , то последние формулы определяют все решения системы (5). |