Конспект лекций по алгебре. Системы линейных уравнений. Основные понятия
 Скачать 0.68 Mb.
|
|
§25. Мультипликативность определителя Каждой квадратной матрице может быть сопоставлено число — её определи- тель. Мы хотим доказать, что это соответствие мультипликативно, т. е. для лю- бых двух квадратных матриц A и B одного и того же порядка имеет место равенство det ( A B)=det A det B . (20) Соотношение (20) может быть доказано несколькими способами. Можно, например, используя (17), установить требуемое соотношение прямыми вы- кладками. Другой путь основан на вычислении определителя вспомогательной матрицы порядка 2 n ( A O − E B ) , имеющей блочный вид, двумя способами. С одной стороны определитель этой матрицы (по теореме Лапласа) равен det A det B . С другой стороны элементар- ными преобразованиями столбцов, не изменяющих значения определителя, рассматриваемую блочную матрицу можно привести к матрице ( A ( A⋅B) − E O ) , определитель которой (по той же теореме Лапласа) равен det ( A B). В настоящем параграфе мы изложим схему доказательства мультипликатив- ности определителя, отличное от двух упомянутых. Для того, чтобы читатель мог самостоятельно воспроизвести все недостающие детали, дальнейший текст представлен в виде набора определений и задач. При решении каждой из по- следних не должно возникать непреодолимых трудностей. В §15 обсуждалось понятие линейной функции f :ℝ n →ℝ В следующем определении вводится более общее понятие полилинейной функции. Определение 1. Функция f , зависящая от m векторов пространства ℝ n , 52 называется m-линейной, если она линейна по каждому аргументу. Например, линейность по первому аргументу означает, что f (a 1 ' +a 1 ' ' , a 2 ,…, a m )= f (a 1 ' , a 2 ,…, a m )+ f (a 1 ' ' , a 2 ,…, a m ) , f (λ a 1 , a 2 ,…, a m )=λ f (a 1 , a 2 ,…, a m ) Задача 1. Пусть a , b — произвольные векторы из ℝ n Докажите, что функ- ция f (a , b)=a 1 b 1 + a 2 b 2 +…+ a n b n является 2-линейной (билинейной) функцией. Определение 2. Полилинейная функция f (a 1 , a 2 ,…, a m ) называется косо- симметрической, если при перестановке любых двух аргументов она умножает- ся на − 1 . Задача 2. Докажите, что значение кососимметрической функции равно нулю всякий раз, когда какие-либо два аргумента принимают одинаковые значения. Задача 3. Докажите, что если значение полилинейной функции равно нулю всякий раз, когда какие-либо два аргумента принимают одинаковые значения, то эта функция является кососимметрической. Ук а з а н и е . Рассмотрите сначала случай билинейной функции. По условию имеет место равенство f (a+ b, a+b)=0. Затем воспользуйтесь линейностью функции f по каждому аргументу. Задача 4. Пусть a , b — произвольные векторы из ℝ 2 . Докажите, что функция f (a , b)=a 1 b 2 − a 2 b 1 является кососимметрической билинейной функ- цией. Всякую матрицу типа m×n можно рассматривать как упорядоченный набор m строк, рассматриваемых как арифметические векторы из ℝ n По этой при- чине функцию матричного аргумента можно рассматривать как функцию от m векторов из ℝ n Задача 5. Докажите, что определитель является кососимметрической полили- нейной функцией строк матрицы. Пусть f (a 1 , a 2 ,…, a m ) — произвольная функция от m векторов из ℝ n , а σ — произвольная перестановка из S m . Определим функцию σ f равен- ством (σ f )(a 1 , a 2 ,…, a m )= f (a σ( 1) , a σ ( 2) ,…, a σ ( m ) ) Задача 6. Докажите, что если f (a 1 , a 2 ,…, a m ) — кососимметрическая поли- линейная функция, то (σ f )(a 1 , a 2 ,…, a m )= sgn σ f (a 1 , a 2 ,…, a m ) Ук а з а н и е . Воспользуйтесь теоремой 1, леммой 2 и результатом задачи 4 из §21. Задача 7. а) Пусть f ( A)= f (a 1* , a 2 * ,…, a n * ) — полилинейная функция строк квадратной матрицы A, e 1 , e 2 ,…, e n — канонический базис ℝ n До- кажите равенство 53 f ( A)= ∑ k 1 ,k 1 ,…, k n a 1 k 1 a 2 k 2 … a n k n f (e k 1 , e k 2 ,…, e k n ) , где индексы суммирования k 1 , k 2 ,…, k n независимо друг от друга пробегают все значения от 1 до n. Ук а з а н и е . Разложите каждую строку матрицы по векторам канонического базиса и воспользуйтесь полилинейностью функции. б) Пусть функция f из предыдущего пункта является кососиммтерической. Докажите, что f ( A)=det A⋅f ( E), где E — единичная матрица. Ук а з а н и е . Воспользуйтесь результатами задач 2, 6, 7а и формулой (17). Задача 8. Пусть B — фиксированная матрица порядка n. Докажите, что функция f ( A)=det ( A B) является кососимметрической полилинейной функ- цией строк матрицы A. Задача 9. Чему равно f (E) для функции f из предыдущей задачи? Задача 10. Докажите равенство det ( A B)=det A det B . 54 Добавление. Принцип математической индукции В курсе математического анализа множество ℕ натуральных чисел опреде- ляется как пересечение всех индуктивных подмножеств множества ℝ , содер- жащих единицу. Другими словами ℕ является наименьшим индуктивным под- множеством в ℝ . Напомним, что непустое подмножество M в ℝ называет- ся индуктивным, если из включения x∈M следует, что x+1∈M . Итак, согласно определению, множество ℕ натуральных чисел содержит единицу и вместе с каждым элементом n содержит n+1. Это означает, что элементами множества ℕ являются числа 1, 1+1=2, 2+1=3 и т. д., что согла- суется с интуитивным представлением о множестве натуральных чисел. Пусть M — подмножество множества ℕ. Принцип математической ин- дукции утверждает, что если 1) 1∈M ; 2) n∈M ⇒ n+1∈M , то M совпадает с ℕ Справедливость сформулированного утверждения очевидна. В самом деле, по условию, имеет место включение M ⊂ℕ . С другой стороны, множество ℕ , являясь пересечением всех индуктивных подмножеств в ℝ , содержится в каж- дом из последних. В частности, справедливо включение ℕ⊂M. Из соотноше- ний M ⊂ℕ и ℕ⊂M следует, что M =ℕ . Принцип математической индукции применяется к доказательству математи- ческих утверждений следующим образом. Предположим, что в формулировке предложения P используется натуральный параметр n . Множество значений этого параметра, при котором предложение P верно, обозначим через M. Если P верно при n=1 и из справедливости P при n=k вытекает его справедливость при n=k +1 (т. е. M — индуктивное множество), то M совпадает с ℕ Другими словами, предложение P справедливо при любом значении параметра n. Пример 1. Покажем, что при любых n∈ℕ число 10 2 n−1 + 1 делится на 11 без остатка. Утверждение, очевидно, верно при n=1. Предположим, что чис- ло 10 2 k−1 + 1 делится на 11. Имеем следующую цепочку равенств 10 2( k +1)−1 + 1=10 2 k +1 + 1=10 ( 2 k – 1)+ 2 + 1=100⋅10 2 k−1 + 1=99⋅10 2 k−1 +( 10 2 k −1 + 1) , из которой вытекает, что 10 2(k+1)−1 + 1 также делится на 11. Пример 2. Покажем, что для всех n∈ℕ справедливо неравенство 2 n > n. Рассуждение проведём методом математической индукции по параметру n. При n=1 неравенство, очевидно, выполняется. Допустим, что справедливо неравенство 2 k > k и из этого допущения выведем справедливость неравен- ства 2 k +1 > k +1: 55 2 k +1 = 2⋅2 k > 2 k ⩾k +1 . Неравенство 2 k ⩾k+1 справедливо постольку, поскольку оно эквивалентно неравенству k ⩾1, справедливому при всех натуральных k. Часто используется несколько иная формулировка принципа математической индукции. Именно, если 1∈M ⊂ℕ и из включения { 1,2,…, n−1}⊂M следу- ет, что n∈M , то M =ℕ . Данная формулировка была использована в §10 при доказательстве теоремы. 56 Габриэль Крамер Иоганн Карл Фридрих Гаусс Пьер Симон, маркиз де Лаплас i Габриэль Крамер (31.07.1704-4.011752) — швейцарский математик, один из создателей линейной алгебры. ii Иоганн Карл Фридрих Гаусс (30.04.1777-23.02.1855) — немецкий математик, механик, физик и астроном. Считается одним из величайших математиков всех времён. Иностран- ный член Шведской, Российской Академий наук и английского Королевского общества. iii Леопольд Кронекер (7.12.1823-29.12.1891) — немецкий математик, член Берлинской Ака- демии наук, иностранный член Петербургской Академии наук. Основные труды по алге- бре и теории чисел. Был сторонником «арифметизации» математики, которая по его мне- нию, должна быть сведена к арифметике целых чисел. Следующее его выражение стало знаменитым: Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. iv Альфредо Капелли (5.08.1855-28.01.1910) — итальянский математик, член Национальной академии наук деи Линчеи. v Пьер-Симо́н, маркиз де Лапла́с (23.03.1749-5.03.1827) — французский математик, меха- ник, физик и астроном; известен работами в области небесной механики, дифференциаль- ных уравнений, один из создателей теории вероятностей. Занимая пост министра вну- тренних дел, внёс в управление, по словам Наполеона, «дух бесконечно малых». Был при- верженцем абсолютного детерминизма, утверждая, что если бы какое-нибудь разумное су- щество (демон Лапласа) смогло узнать положения и скорости всех частиц в мире в некий момент, оно могло бы совершенно точно предсказать все будущие и прошедшие мировые события. Философские взгляды Лапласа выразительно характеризует следующий диалог с Наполеоном: — Вы написали такую огромную книгу [Изложение системы мира] о системе мира и ни разу не упомянули о его Творце! — Сир, я не нуждался в этой гипотезе. |