Конспект лекций по алгебре. Системы линейных уравнений. Основные понятия
 Скачать 0.68 Mb.
|
|
§12. Метод Гаусса ii решения систем линейных уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений заключается в приведе- нии данной системы линейных уравнений к эквивалентной системе, расширен- ная матрица которой имеет ступенчатый вид. Пусть ( A∣B) — расширенная матрица системы (1). Приведём её к ступенча- тому виду и полученную матрицу обозначим через (T | D). Очевидно, что эле- ментарные преобразования строк матрицы ( A∣B) равносильны преобразовани- ям уравнений системы (1), описанным в формулировке теоремы §2. Согласно упомянутой теореме, система линейных уравнений, матрица которой совпадает с (T | D), эквивалентна системе (1). Пусть rank A=r , а rank( A| B)= ̃r . Если столбец B свободных членов ли- нейно выражается через столбцы матрицы A , то ̃r=r . В противном слу- чае ̃r=r+1. Соотношения между числами r и ̃r следуют также из вида матрицы (T | D), которая, напомним, имеет ступенчатый вид. Возможны следующие три принципиально различных случая. 1. ̃r=r+1. В этом случае система, матрица которой имеет ступенчатый вид, содержит уравнение 0⋅x 1 + 0⋅x 2 +…+ 0⋅x n = d , где d ≠0, и, следовательно, несовместна. По теореме из §2 исходная система также несовместна. 2. ̃r=r=n . В этом случае, после отбрасывания нулевых уравнений получа- ется так называемая строго треугольная система 23 { t 11 x 1 + t 12 x 2 + t 13 x 3 +…+ t 1 n x n = d 1 , t 22 x 2 + t 23 x 3 +…+ t 2 n x n = d 2 , t 33 x 3 +…+ t 3 n x n = d 3 , … t n n x n = d n , где коэффициенты t 11 , t 22 ,…,t n n отличны от нуля. Из последнего уравнения этой системы однозначно определяется x n , затем из предпоследнего уравне- ния определяется x n−1 и т. д. Следовательно треугольная система, а значит и система (1), имеет единственное решение. 3. ̃r=r< n. Пусть в этом случае t 1 i 1 , t 2 i 2 ,…,t r i r — ведущие элементы матри- цы (T | D). Неизвестные x i 1 , x i 2 ,…, x i r назовём главными, а остальные — сво- бодными. После отбрасывания нулевых уравнений и перенесения членов со свободными неизвестными в правую часть получается строго треугольная си- стема относительно главных неизвестных. Решая её, как в предыдущем случае, найдём выражения главных неизвестных через свободные. Все решения систе- мы получаются из этих выражений подстановкой каких-либо значений свобод- ных неизвестных. Поскольку эти значения можно выбирать произвольно, то си- стема имеет бесконечно много решений. Пример. Решим систему уравнений { x 1 + 2 x 2 + x 3 = 2 , x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 − x 4 = 4 , 2 x 1 + x 2 − x 3 + 3 x 4 =− 2 , 2 x 1 − 2 x 3 + 3 x 4 = 1 , расширенной матрицей которой служит матрица из примера 2 предыдущего па- раграфа. Вычисления, проведённые в этом примере и теорема из §2 показывают, что данная система эквивалентна ступенчатой системе { x 1 + 2 x 2 + x 3 = 2 , x 2 + x 3 − x 4 = 2 , − x 4 = 5. Считая неизвестные x 1 , x 2 , x 4 главными, а неизвестное x 3 — свободным, перепишем систему в виде 24 { x 1 + 2 x 2 = 2−x 3 , x 2 − x 4 = 2−x 3 , − x 4 = 5 . Придавая свободной неизвестной x 3 произвольное значение (обозначим его через c ) , получаем, что рассматриваемая система имеет бесконечно много ре- шений, каждое из которых можно записать в виде ( 8+c ,−3−c, c ,−5) для подходящего значения c. Из предыдущих рассуждений вытекают утверждения, позволяющие исследо- вать систему линейных уравнений на совместность и определённость, не решая самой системы. Теорема 1. (Кронекер iii , Капелли iv ) Система линейных уравнений является совместной тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов системы равен рангу расширенной матрицы. Теорема 2. Совместная система линейных уравнений является определенной тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов системы равен числу неизвестных. §13. Однородные системы линейных уравнений Напомним (см. §6), что система линейных уравнений называется однородной, если столбец свободных членов является нулевым. Всякая однородная система является совместной, поскольку она имеет нулевое решение. Если система определенна, то она имеет только нулевое решение, если неопределенна, то имеет бесконечно много решений. По теореме Кронекера — Капелли последнее имеет место лишь в том случае, когда r <n , где r — ранг матрицы коэффици- ентов, а n — число неизвестных. Допустим, что система состоит из m урав- нений. Тогда из очевидного равенства r⩽m вытекает следующая Теорема 1. Всякая однородная система линейных уравнений, число уравне- ний которой меньше числа неизвестных, имеет ненулевой решение. В следующей теореме описываются свойства решений (рассматриваемых как элементы пространства ℝ n ) однородной системы линейных уравнений от n неизвестных. Теорема 2. Пусть u ,v — произвольные решения данной системы линейных однородных уравнений и α — произвольное число. Тогда элементы u+v и α u являются решениями той же системы. Доказательство. Пусть u=(u 1 ,u 2 ,… , u n ) и v=(v 1 , v 2 ,… ,v n ) являются решениями системы 25 { a 11 x 1 + a 12 x 2 + ...+a 1 n x n = 0 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ...+a 2 n x n = 0 , a m1 x 1 + a m2 x 2 + ...+ a mn x n = 0 . (9) Это означает, что для всех i=1, 2,… , m равенства a i1 u 1 + a i2 u 2 + ...+a i n u n = 0, a i1 v 1 + a i2 v 2 + ...+a i n v n = 0 являются верными. Поэтому верными будут и равенства a i1 (α u 1 )+ a i2 (α u 2 )+ ...+a i n (α u n )= 0, a i1 ( u 1 + v 1 )+ a i2 ( u 2 + v 2 )+ ...+a i n ( u n + v n )= 0, которые означают, что векторы u+v и α u также являются решениями рассматриваемой системы. □ Замечание. Теорема 2 означает, что на множестве решений однородной си- стемы линейных уравнений корректно определены операции сложения и умно- жения на число. Непосредственно проверяется, что для этих операций спра- ведливы все свойства, перечисленные в §8. Таким образом, множество решений однородной системы линейных уравнений образуют векторное пространство (см. замечание в §8) относительно указанных операций. По этой причине в дальнейшем мы будем иногда говорить не о множестве, а о пространстве ре- шений однородной системы. Предположим, что матрицы коэффициентов систем уравнений (1) и (9) совпа- дают. Если система (1) совместная, то множество её решений описывает Теорема 3. Пусть ̂ u — фиксированное решение неоднородной системы (1). Тогда множество всех её решений совпадает со множеством векторов из ℝ n вида ̂u+v , где v пробегает все решения однородной системы (9). Доказательство. Пусть ̂u=( ̂u 1 , ̂ u 2 ,… , ̂ u n ) , v=(v 1 , v 2 ,… , v n ) . По условию теоремы всех i справедливы равенства a i1 ̂ u 1 + a i2 ̂ u 2 + ...+a i n ̂ u n = b i , a i1 v 1 + a i2 v 2 + ...+a i n v n = 0 , из которых вытекает справедливость равенств ( ̂ u 1 + v 1 )+ a i2 ( ̂ u 2 + v 2 )+ ...+a i n ( ̂ u n + v n )= b i , 26 означающих, что вектор ̂u+v является решением системы (1). Предположим теперь, что u — произвольное решение системы (1) и пока- жем, что оно может быть представлено в виде суммы решения ̂ u неоднород- ной системы и некоторого решения v однородной системы. Аналогично пре- дыдущему устанавливается, что вектор u−̂u является решением системы (9). Обозначая его через v , получаем искомое представление u= ̂u+v . □ В заключение рассмотрим вопрос о базисе пространства решений однород- ной системы. Теорема 4. Для заданной однородной системы линейных уравнений с n неизвестными и матрицей коэффициентов A найдутся такие n−rank A ли- нейно независимых решений, что произвольное решение системы является их линейной комбинацией. Доказательство. Рассмотрим систему уравнений (9) и с помощью элементарных преобразова- ний приведём её к ступенчатому виду. Полученная система тоже является одно- родной и содержит r=rank A ненулевых уравнений. Поэтому с точностью до перенумерации неизвестных её можно записать в виде { x 1 = c 1 1 x r +1 + c 1 2 x r+ 2 + ...+c 1, n−r x n , x 2 = c 2 1 x r +1 + c 2 2 x r +2 + ...+c 2, n−r x n , x r = c r 1 x r+1 + c r 2 x r +2 + ...+c r ,n−r x n (10) Придавая по очереди одной из свободных неизвестных x r+1 , x r +2 ,… , x n зна- чение 1, а остальным — значения 0, мы получим следующие решения систе- мы (9): u 1 =( c 1 1 ,c 21 ,… , c r ,1 , 1,0,… ,0), u 2 =( c 1 2 ,c 2 2 ,… , c r ,2 , 0,1,…, 0) , … u n−r =( c 1, n−r , c 2, n−r ,… , c r ,n−r , 0,0,… , 1). Покажем, что они удовлетворяют всем перечисленным в теореме требованиям. Для любых чисел λ 1 , λ 2 ,…, λ n−r ∈ℝ линейная комбинация u=λ 1 u 1 + λ 2 u 2 +…+ λ n−r u n−r является решением (см. теорему 2) системы (9), в котором свободные неизвест- ные x r+1 , x r +2 ,… , x n равны λ 1 , λ 2 ,…, λ n−r соответственно. Заметим, что зна- чения главных неизвестных однозначно определяются значениями свободных неизвестных по формулам (10). Поэтому, придавая числам λ i все возможные 27 значения, мы получим все возможные решения системы (9). Следовательно, каждое решение этой системы является комбинацией решений u 1 , u 2 ,… , u n−r С другой стороны равенство u=0 выполняется только при λ i = 0, т. е. реше- ния u 1 , u 2 ,… , u n−r линейно независимые. □ Всякий базис пространства решений однородной системы линейных уравне- ний называется фундаментальной системой решений. Доказательство предыду- щей теоремы даёт практический способ построения фундаментальной системы решений. §14. Линейные операторы Определение. Отображение A из арифметического пространства ℝ n в пространство ℝ m называется линейным оператором, если выполняются следу- ющие условия: 1. Аддитивность: ∀ x , y∈ℝ n A(x + y)= A x+ A y . 2. Однородность: ∀ x∈ℝ n , ∀ α∈ℝ A(α x)=α A x . Заметим, что образ вектора x∈ℝ n при действии линейного оператора A обозначается через A x , а не A( x). Это общепринятое соглашение будет ис- пользоваться всякий раз, когда отсутствие скобок не может привести к недора- зумениям. Пример 1. Рассмотрим отображение A:ℝ 2 →ℝ , определённое по правилу ∀ x , x=(x 1 , x 2 )∈ℝ 2 A(x 1 , x 2 )= x 1 + x 2 Пусть x=(x 1 , x 2 ) , y=( y 1 , y 2 ) — произвольные векторы из ℝ 2 Поскольку x+ y=( x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ) , то A( x+ y)=( x 1 + y 1 )+( x 2 + y 2 ) , что, очевидно, совпа- дает с суммой A x+ A y=( x 1 + x 2 )+( y 1 + y 2 ) Следовательно условие аддитивно- сти для отображения A выполняется. Точно также, из равенства α x=(α x 1 , α x 2 ) следует, что A(α x)=α x 1 +α x 2 Правая часть последнего соотношения равна с α( x 1 + x 2 )=α A x . Значит усло- вие однородности для отображения A также выполняется. Таким образом, отображение A является линейным оператором. Пример 2. Отображение A:ℝ 2 →ℝ 2 , определённое равенством A(a ,b)=(a , 0) также является линейным оператором. Проверка этого факта предоставляется читателю. Линейный оператор из последнего примера имеет простой геометрический смысл. Если на плоскости зафиксировать систему координат xOy , то каждому 28 геометрическому вектору можно сопо- ставить упорядоченную пару чисел — координаты этого вектора в рассматрива- емой системе координат. Другими слова- ми, каждому геометрическому вектору можно поставить в соответствие арифме- тический. Из курса геометрии читателю должно быть известно, что это соответ- ствие является взаимно однозначным. При этом координаты ( a , 0) имеют гео- метрические векторы, параллельные оси Ox и только они. Поэтому линейный оператор A каждый геометрический вектор отображает в его проекцию на ось Ox вдоль направления, параллельно- го оси Oy . Замечание 1. Отметим ещё раз, что соответствие между геометрическими и арифметическими векторами зависит от выбора системы координат. Пример 3. Отображения A:ℝ→ℝ и B :ℝ 2 →ℝ 3 , определённые соответ- ственно равенствами A(a)=a 2 , B (x 1 , x 2 )=( x 1 , x 2 + 1 , x 1 ) , не являются линейными операторами. Например, A(a+b)=(a+b) 2 , Aa + Ab= = a 2 + b 2 Если оба числа a и b отличны от нуля, то A(a+b)≠ Aa + Ab . Пример 4. Пусть a 1 , a 2 , a 3 — произвольный набор трёхвекторов из ℝ m Тогда отображение A:ℝ 3 →ℝ m , определённое равенством A( x 1 , x 2 , x 3 )= x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 является линейным оператором. Из определения (например, требования однородности) следует, что для всяко- го линейного оператора A:ℝ n →ℝ m справедливы следующие свойства: 1. A0=0 ; 2. ∀ x∈ℝ n A(−x)=− A x . Замечание (по настоятельному требованию формалиста-зануды). В пер- вом свойстве аргумент оператора A является нулевым вектором арифметиче- ского пространства ℝ n , а его образ (см. правую часть равенства) также являет- ся нулевым вектором, но уже пространства ℝ m 29 |