Конспект лекций по алгебре. Системы линейных уравнений. Основные понятия
 Скачать 0.68 Mb.
|
|
§15. Координатная запись линейного оператора В этом параграфе мы установим общий вид произвольного линейного опера- тора в координатной форме. Естественно, что говорить о координатной форме имеет смысл лишь в том случае, когда выбран базис. Начнём с рассмотрения частного случая, когда линейный оператор λ дей- ствует из ℝ в ℝ . В этом случае λ обычно называют линейной функцией. Из определения линейного оператора получаем следующую цепочку равенств λ ( h)=λ (h⋅1)=h⋅λ(1) , справедливую для любого h∈ℝ. Таким образом, функция λ полностью определяется значением при h=1. Если λ (1) обозначить через a , то полу- чим, что всякая линейная функция λ :ℝ→ℝ имеет вид λ (h)=a⋅h. С этим результатом вы столкнётесь в курсе математического анализа при изучении понятия дифференциала функции одной переменной. Далее рассмотрим случай линейного оператора A:ℝ n →ℝ . Пусть e 1 , e 2 ,…, e n — канонический базис пространства ℝ n (см. §9, пример 6). Всякий век- тор h=(h 1 , h 2 ,…, h n )∈ℝ n может быть записан в виде суммы h 1 e 1 +…+ h n e n . И снова из определения линейного оператора получаем A h= A(h 1 e 1 +…+ h n e n )= h 1 A e 1 +…+ h n Ae n Если числа Ae i обозначить через a i , то можно записать A h=a 1 h 1 + a 2 h 2 +…+ a n h n Таким образом, последнее равенство является самой общей формой записи ли- нейного оператора A:ℝ n →ℝ в координатах. С этим результатом вы столкнётесь в курсе математического анализа при изучении понятия дифференциала функции n переменных. В случае произвольного линейного оператора A:ℝ n →ℝ m рассуждения ана- логичны. Прежде всего выберем в ℝ n базис (не обязательно канонический): e 1 , e 2 ,…, e n Всякий вектор x∈ℝ n может быть записан единственным способом (см. теоре- му 3, §9) в виде суммы x 1 e 1 + x 2 e 2 +…+ x n e n . Поэтому образ A x вектора x 30 можно представить в виде A x= A( x 1 e 1 +…+ x n e n )= x 1 A e 1 +…+ x n A e n = x 1 a 1 +…+ x n a n , где a i = Ae i являются векторами пространства ℝ m Итак, самая общая запись линейного оператора A:ℝ n →ℝ m в координатах (относительно базиса e i ∈ℝ n ) имеет вид A x= x 1 a 1 +…+ x n a n , где a i — произвольные векторы из ℝ m , являющиеся образами базисных. §16. Матрица линейного оператора. Вычисление координат образа Выберем в пространствах ℝ n и ℝ m базисы e 1 , e 2 ,…, e n и f 1 , f 2 ,…, f n соответственно и рассмотрим линейный оператор A : ℝ n →ℝ m . Векторы Ae 1 , A e 2 ,…, Ae n принадлежат пространству ℝ m и поэтому каждый из этих векторов можно разложить по базису f 1 , f 2 ,…, f n . Если i-ю координату век- тора Ae j обозначить через a ij , то получим следующие разложения: A e 1 = a 11 f 1 + a 21 f 2 +…+ a m1 f m , Ae 2 = a 12 f 1 + a 22 f 2 +…+ a m2 f m , … Ae n = a 1 n f 1 + a 2 n f 2 +…+ a mn f m (11) Определение. Матрицей линейного оператора A:ℝ n →ℝ m относительно ба- зисов e 1 , e 2 ,…, e n и f 1 , f 2 ,…, f m называется матрица, i-й столбец которой состоит из координат вектора Ae i в базисе f 1 , f 2 ,…, f m Таким образом каждому линейному оператору A соответствует некоторая матрица, которую кратко мы будем обозначать ( a i j ) . Подчеркнём особо, что это соответствие зависит от выбора базисов. При замене базиса матрица того же оператора может измениться. Выясним, как вычислить координаты образа произвольного вектора x при действии оператора A. Предположим, что числа α 1 ,α 2 ,…, α n являются коор- динатами вектора x в базисе e 1 , e 2 ,…e n . Другими словами имеет место ра- венство x=α 1 e 1 +α 2 e 2 +…+α n e n , 31 из которого следует, что A x=α 1 A e 1 +α 2 Ae 2 +…+α n A e n . Используя равен- ства (11), получаем A x=α 1 ( a 11 f 1 + a 21 f 2 +…+ a m1 f m )+ +α 2 ( a 12 f 1 + a 22 f 2 +…+ a m 2 f m )+ … +α n ( a 1 n f 1 + a 2 n f 2 +…+ a mn f m ) или, после перегруппировки слагаемых, A x=(a 11 α 1 + a 12 α 2 +…+ a 1 n α n ) f 1 + +( a 21 α 1 + a 22 α 2 +…+ a 2 n α n ) f 2 + … +( a m1 α 1 + a m 2 α 2 +…+ a mn α n ) f m (12) Если координаты вектора A x относительно базиса f 1 , f 2 ,…, f m обозна- чить через β 1 , β 2 ,…,β m , то из формулы (12), в силу однозначности разложения вектора по базису, следуют равенства β 1 = a 11 α 1 + a 12 α 2 +…+ a 1 n α n , β 2 = a 21 α 1 + a 22 α 2 +…+ a 2 n α n , … β m = a m1 α 1 + a m2 α 2 +…+ a mn α n (13) Полученные формулы можно легко запомнить, если вспомнить известное из курса геометрии правило вычисления скалярного произведения векторов как суммы произведений одноимённых координат и распространить его на n-мер- ные арифметические векторы. Тогда координата β i вектора A x равна скаляр- ному произведению i-й строки матрицы оператора на вектор, образованный координатами α 1 ,α 2 ,…, α n вектора x . Для равенств (13) часто используют матричную форму записи: ( β 1 β 2 ⋮ β m ) = ( a 11 a 12 ... a 1 n a 21 a 22 ... a 2 n a m1 a m2 ... a mn ) ⋅ ( α 1 α 2 ⋮ α n ) (14) Замечание. Равенство (14) можно рассматривать как определение умножения матрицы типа m×n на n-элементный столбец, т. е. матрицу типа n×1. Ре- зультатом такого умножения является матрица типа m×1. При этом i-й эле- мент произведения вычисляется как скалярное произведение i-й строки матри- цы на n-элементный столбец. 32 Более общую ситуацию мы рассмотрим в следующем параграфе. §17. Действия над линейными операторами и их матрицами Сложение линейных операторов Пусть A и B — линейные операторы, действующие из ℝ n в ℝ m Определение 1. Суммой линейных операторов A и B называется линей- ный оператор из ℝ n в ℝ m , обозначаемый A+B и действующий на ℝ n по правилу: ∀ x∈ℝ n ( A+ B) x= A x + B x . Чтобы определение суммы линейных операторов A и B было корректно, нужно проверить, что определяемый оператор A+B также является линейным. Эта несложная проверка оставляется читателю. Если в пространствах ℝ n и ℝ m зафиксировать соответственно базисы e 1 , e 2 ,…, e n и f 1 , f 2 ,…, f n , то можно вычислить элементы матриц опера- торов A и B . Пусть эти матрицы (относительно выбранных базисов) имеют вид ( a i j ) и (b i j ) соответственно. Это означает, что Ae j = ∑ i=1 m a i j f i , B e j = ∑ i=1 m b i j f i Складывая почленно последние соотношения, находим ( A+ B)e j = Ae j + B e j = ∑ i=1 m a i j f i + ∑ i=1 m b i j f i = ∑ i=1 m ( a i j + b i j ) f i Полученное равенство ( A+ B)e j = ∑ i=1 m ( a i j + b i j ) f i означает, что матрица опера- тора A+ B получается из матриц операторов A и B покомпонентным сложе- нием. Т. е. чтобы вычислить элемент матрицы оператора A+ B , расположен- ный в позиции ( i j), нужно сложить элементы матриц операторов A и B , расположенные в тех же позициях. Матрицу линейного оператора A+B естественно называть суммой матриц ( a i j ) и (b i j ) Определение 1'. Суммой двух матриц ( a i j ) и (b i j ) типа m×n называется матрица (c i j ) того же типа m×n , элементы которой определяются равен- 33 ством c i j = a i j + b i j Умножение линейных операторов Обозначим через A линейный оператор, действующий из ℝ n в ℝ l , а че- рез B — линейный оператор, действующий из ℝ l в ℝ m Определение 2. Произведением линейных операторов A и B (в указанном порядке) называется линейный оператор из ℝ n в ℝ m , обозначаемый B A и действующий на ℝ n по правилу: ∀ x∈ℝ n ( B A) x= B( A x). То, что отображение B A действует из ℝ n в ℝ m следует из определения. Остаётся только проверить линейность этого отображения, что предоставляется читателю. Пусть e 1 , e 2 ,…, e n , f 1 , f 2 ,…, f l и g 1 , g 2 ,…, g m — базисы в про- странствах ℝ n , ℝ l и ℝ m , а (a i j ) , (b p q ) — матрицы операторов A и B от- носительно соответствующих базисов. Вопрос для самоконтроля. Вопрос для самоконтроля. Какие значения могут принимать индексы i , j , p, q ? В силу определений и принятых обозначений, имеют место равенства Ae j = ∑ i=1 l a i j f i , B f q = ∑ i=1 m b p q g p Чтобы найти элементы матрицы оператора B A, нужно вычислить ( B A)e j : ( B A)e j = B( A e j )= B( ∑ i=1 l a i j f i )= ∑ i=1 l a i j B f i = ∑ i=1 l a i j ∑ k =1 m b k i g k В силу дистрибутивности операции умножения относительно сложения, произ- ведение a i j ∑ k =1 m b k i g k можно переписать в виде ∑ k =1 m a i j b k i g k = ∑ k=1 m b k i a i j g k . Сле- довательно (B A)e j = ∑ i=1 l ∑ k=1 m b k i a i j g k . Поскольку операция сложения чисел яв- ляется коммутативной, в последнем равенстве можно изменить порядок сум- мирования, что приведёт к соотношению 34 ( B A)e j = ∑ k=1 m ∑ i=1 l b k i a i j g k = ∑ k=1 m ( ∑ i=1 l b k i a i j ) g k Полученное соотношение означает, что элемент матрицы оператора B A, рас- положенный в позиции (k j), равен ∑ i=1 l b k i a i j Матрицу линейного оператора B A естественно назвать произведением мат- риц (a i j ) и ( b p q ) Определение 2'. Произведением матрицы (a i j ) типа l×n на матрицу ( b p q ) типа m×l (в указанном порядке) называется матрица (c r s ) типа m×n , элементы которой определяются равенством c r s = ∑ i=1 l b r i a i s (15) Более подробно, элемент матрицы оператора B A, расположенный на пози- ции (r s) равен, выражаясь геометрическим языком, скалярному произведе- нию элементов r-й строки матрицы (b p q ) и s-го столбца матрицы ( a i j ) Заметим, что в случае n=1 равенства (15) совпадают с равенствами (13). Внимательный читатель (слушатель) должно быть заметил, что операция умножения линейных операторов является частным случаем более общей опе- рации — композиции функций. Следовательно, операция умножения линейных операторов является ассоциативной, т. е. для любых трёх линейных операто- ров A : ℝ n →ℝ l , B : ℝ l →ℝ k , C : ℝ k →ℝ m справедливо равенство ( C B) A=C (B A). Поскольку при фиксированном базисе каждая матрица однозначно определяет некоторый линейный оператор, то операция умножения матриц также является ассоциативной. Рекомендуется проверить последнее утверждение напрямую, исходя из (15). В заключение обсудим вопрос о коммутативности умножения операторов и матриц. Для линейных операторов A : ℝ n →ℝ l , B : ℝ l →ℝ m определено произ- ведение B A. Для того, чтобы было определено произведение A B , необходи- мо выполнение равенства m=n . В этом случае B A действует из ℝ n в ℝ n , а A B — из ℝ l в ℝ l . Если l≠n, то, очевидно, B A≠ A B (хотя бы потому, что у произведений разные области определения). Но даже в случае l=n ра- венство B A= A B может не выполняться. Пример. Пусть линейные операторы A и B действуют из ℝ 2 в ℝ 2 и определяются в некотором базисе (одинаковом для обоих операторов) матрица- 35 ми ( 0 1 0 0 ) и ( 0 0 0 1 ) соответственно. Тогда оператор B A имеет в том же ба- зисе матрицу ( 0 0 0 0 ) , а оператор A B — матрицу ( 0 1 0 0 ) . Следовательно, операторы B A и A B не совпадают. Таким образом, в общем случае произведение операторов не коммутативно. То же высказывание справедливо и для матриц. Умножение линейного оператора на число Пусть A — линейный оператор, действующий из ℝ n в ℝ m , а α — произвольное число. Определение 3. Произведением линейного оператора A на число α назы- вается линейный оператор из ℝ n в ℝ m , обозначаемый α A и действующий на ℝ n по правилу: ∀ x∈ℝ n (α A) x=α( A x). Как обычно, проверка линейности оператора α A оставляется читателю. Также читателю предоставляется найти матрицу оператора α A, если матри- ца оператора A известна. После выполнения этого упражнения становится естественным Определение 3'. Произведением матрицы (a i j ) типа m×n на число α называется матрица (c i j ) того же типа m×n , элементы которой определяют- ся равенством c i j =α a i j Задача. Пусть A , B и C — линейные операторы, действующие из ℝ n в ℝ m и λ ,μ — произвольные числа. Докажите следующие свойства операций сложения операторов и умножения оператора на число. Сложение операторов: 1. ∀ A , B A+B= B+ A ; 2. ∀ A , B ,C ( A+ B)+C = A+( B+C ); 3. ∃O | ∀ A A+O=O+ A= A ; 4. ∀ A ∃(− A)| A+(− A)=(− A)+A=O. В свойстве 3 нужно указать, из каких элементов состоит матрица O и прове- рить справедливость написанных равенств. Аналогично, в свойстве 4 требуется определить, как по известным элементам матрицы A найти элементы матрицы − A и, конечно же, проверить справедливость написанных равенств. 36 Умножение оператора на число: 1. ∀ A , ∀ λ ,μ (λ μ) A=λ(μ A); 2. ∀ A , ∀ λ ,μ (λ+μ) A=λ A+μ A ; 3. ∀ A , B λ ( A+B)=λ A+λ B ; 4. ∀ A 1 A=A. Вопрос для самоконтроля. Вопрос для самоконтроля. Прочитайте ещё раз замечание из §8. Что Вы можете сказать о множестве всех линейных операторов из ℝ n в ℝ m с точки зрения современной 5 матема- тики? А о множестве всех матриц типа m×n ? |