Конспект лекций по алгебре. Системы линейных уравнений. Основные понятия
 Скачать 0.68 Mb.
|
|
§10. Существование и конечность базиса Пусть S — произвольная система векторов пространства ℝ n . Мы хотим показать, что S содержит подсистему, являющуюся базисом и что любые два базиса состоят из одного и того же числа векторов. Для этого сначала докажем следующую Теорема. Предположим, что каждый из векторов a 1 , a 2 ,… , a l является ли- нейной комбинацией векторов b 1 , b 2 ,… , b k . Если векторы a 1 , a 2 ,… , a l ли- нейно независимы, то l⩽k . Доказательство проведём методом математической индукции (см. Добавле- ние) по параметру k . База индукции. При k =1 при некоторых числах α i ,i=1,…l справедливы равенства a i =α i b 1 . Следствие 1 теоремы 2 предыдущего параграфа гаранти- рует, что все α i ≠ 0. Если l >1 , то имеем, например, a 1 = α 1 α 2 a 2 , что проти- воречит линейной независимости векторов a i . Поэтому l=1 и в рассматри- ваемом случае теорема доказана. Индукционный шаг. Предположим, что предложение верно при k =m−1. Докажем его справедливость при k =m. По условию, имеют место равенства a 1 = α 11 b 1 + α 12 b 2 + … + α 1, m−1 b m−1 + α 1 m b m , a 2 = α 21 b 1 + α 22 b 2 + … + α 2, m−1 b m−1 + α 2 m b m , ⋮ a l−1 = α l−1,1 b 1 +α l−1, 2 b 2 + … + α l−1, m−1 b m−1 + α l−1, m b m , a l = α l 1 b 1 + α l 2 b 2 + … + α l ,m−1 b m−1 + α l m b m Если коэффициенты α 1 m =α 2 m =…=α m m = 0, то фактически векторы a рас- кладываются по m−1 вектору b и по предположению индукции справедли- во неравенство l⩽m−1. Значит l <m и в этом случае теорема доказана. Теперь рассмотрим случай, когда один из коэффициентов при b m отличен от нуля. Без ограничения общности можно считать, что α l m ≠ 0 (этого всегда можно добиться, перенумеровав подходящим образом векторы a i ). Преобразуем выписанную систему равенств в эквивалентную таким образом, чтобы во всех уравнениях, кроме последнего, коэффициенты при b m были равны нулю. Для этого к i-у ( i=1, 2,… ,l−1) равенству прибавим l-е, умно- женное на − α i m α l m . В итоге получим 16 a 1 − α 1 m α l m a l = β 11 b 1 + β 12 b 2 + … + β 1, m−1 b m−1 , a 2 − α 2 m α l m a l = β 21 b 1 + β 22 b 2 + … + β 2, m−1 b m−1 , ⋮ a l−1 − α l−1, m α l m a l =β l−1, 1 b 1 +β l−1,2 b 2 + … +β l−1, m−1 b m −1 , a l = α l 1 b 1 + α m2 b 2 + … + α l ,m−1 b m−1 + α l m b m , где β i j =α i j − α i m α l m α l j Таким образом, каждый из векторов ̂ a i = a i − α i m α l m a l , (i=1,2,…, l−1) линейно выражается через m−1 вектор b 1 , b 2 ,… , b m−1 . С другой стороны, векто- ры ̂ a i линейно независимы: μ 1 ̂ a 1 +μ 2 ̂ a 2 +…+μ l−1 ̂ a l−1 = 0 ⇔ μ 1 a 1 +μ 2 a 2 +…+μ l−1 a l−1 − ( μ 1 α 1 m α l m +μ 2 α 2 m α l m +…+ +μ l −1 α l−1, m α l m ) a l = 0 ⇔ μ 1 =μ 2 =…=μ m−1 = 0. Последний вывод следует из линейной независимости векторов a 1 , a 2 ,… , a l По предположению индукции справедливо неравенство l−1⩽m−1 , эквива- лентное неравенству l⩽m. □ Следствие 1. Если S — система векторов пространства ℝ n , то всякая её линейно независимая подсистема состоит не более чем из n векторов. Доказательство. Пусть S 0 — линейно независимая подсистема системы S. В примере 6 предыдущего параграфа показано, что каждый вектор из ℝ n (а, следовательно, и из S 0 ) раскладывается по n векторам канонического базиса. Поэтому S 0 состоит не более чем из n векторов. □ Теперь мы в состоянии доказать существование базиса. Согласно доказанно- му следствию, в S существует подсистема ̃S состоящая из наибольшего чис- ла линейно независимых векторов. Очевидно, что эта подсистема и является ба- зисом. Следствие 2. Любые два базиса системы S состоят из одного и того же чис- ла векторов. Доказательство. Пусть a 1 , a 2 ,… , a l и b 1 , b 2 ,… , b k — два базиса в S . По теореме 3 пре- дыдущего параграфа каждый вектор a i раскладывается по векторам b j . Из доказанной теоремы следует равенство l⩽k . Но векторы b i также расклады- ваются по векторам a j и поэтому l⩾k . Объединяя полученные равенства, приходим к выводу, что l=k . □ 17 §11. Ранг матрицы. Ступенчатая матрица Пусть A — произвольная матрица типа m×n A= ( a 11 a 12 ... a 1 n a 21 a 22 ... a 2 n a m1 a m2 ... a m n ) Строчечный ранг r A R матрицы A — это максимальное количество её ли- нейно независимых строк, рассматриваемых как элементы пространства ℝ n Столбцовый ранг r A C матрицы A — это максимальное количество линей- но независимых столбцов, рассматриваемых как элементы пространства ℝ m В этом параграфе будет доказано, что r A R = r A C . Действовать мы будем по сле- дующей схеме. Сначала введём так называемые элементарные преобразования строк матрицы и установим, что при этих преобразованиях ни r A R , ни r A C не меняются. Далее, мы покажем, что элементарными преобразованиями всякую матрицу можно привести к специальному — ступенчатому — виду, в котором система ненулевых строк линейно независимая. И, наконец, будет доказано, что максимальное количество линейно независимых столбцов в матрице ступенча- того вида равно количеству её ненулевых строк. Определение. Элементарными преобразованиями строк матрицы называют- ся преобразования следующих типов: 1) умножение строки на ненулевое число; 2) перестановка двух строк; 3) прибавление к одной строке другой, умноженной на число. Теорема 1. Строчечный ранг матрицы не меняется при элементарных преоб- разованиях строк. Доказательство. Обозначим строки матрицы A через a 1 * , a 2* ,… , a m * и пусть строки a i 1 * , a i 2 * ,… , a i r * образуют базис в системе строк. Нужно показать, что после каж- дого элементарного преобразования базис преобразованной системы по преж- нему состоит из r элементов. Преобразование 1). Пусть на ненулевое число λ умножается строка a i * , не входящая в набор a i 1 * , a i 2 * ,…, a i r * . Так как строка a i * может быть разло- жена по базису, то это же верно и для строки λ a i * : a i * =α 1 a i 1 * +α 2 a i 2 * +…+α r a i r * ⇒ λ a i * =λ α 1 a i 1 * +λ α 2 a i 2 * +…+ λ α r a i r * 18 Таким образом, строки a i 1 * , a i 2 * ,…, a i r * образуют базис и для преобразованной системы строк. Если на ненулевое число λ умножается первая строка (для других строк рассуждения аналогичны) из набора a i 1 * , a i 2 * ,…, a i r * , то в качестве базиса преобразованной системы можно выбрать строки λ a i 1 * , a i 2 * ,… , a i r * . В самом деле, так как α 1 (λ a i 1 * )+α 2 a i 2 * +…+α r a i r * = 0 ⇔ (α 1 λ) a i 1 * +α 2 a i 2 * +…+α r a i r * = 0 ⇔ ⇔ α 1 λ=α 2 =…=α r = 0 ⇔ λ≠ 0 α 1 =α 2 =…=α r = 0 , строки λ a i 1 * , a i 2 * ,… , a i r * линейно независимы. И поскольку для i-й строки ( i=1,2 ,…, n) имеет место разложение a i * =α 1 a i 1 * +α 2 a i 2 * +…+α r a i r * по стро- кам a i 1 * , a i 2 * ,…, a i r * , то a i * = α 1 λ (λ a i 1 * )+α 2 a i 2 * +…+α r a i r * — разложение a i * по строкам λ a i 1 * , a i 2 * ,… , a i r * Преобразование 2). В этом случае теорема очевидна, поскольку понятие ли- нейной зависимости не зависит от порядка следования строк. Преобразование 3). Пусть к i-й строке прибавлена j-я, умноженная на μ Если строка a i * не принадлежит базису a i 1 * , a i 2 * ,…, a i r * исходной системы, то строки a i 1 * , a i 2 * ,…, a i r * образуют базис и в преобразованной системе. Если же j-я строка, умноженная на μ , прибавляется к a i 1 * (для других строк рассу- ждения аналогичны), то в преобразованной системе в качестве базиса можно выбрать строки a i 1 * +μ a j * , a i 2 * ,… , a i r * Обоснование сформулированных утверждений проводится как и в случае преобразования 1). Недостающие детали предлагается восполнить читателю. □ Теорема 2. Столбцовый ранг матрицы не меняется при элементарных преоб- разованиях строк. Доказательство. Обозначим столбцы матрицы A через a * 1 , a * 2 ,… , a * n и пусть столбцы a * i 1 , a * i 2 ,…, a * i s образуют базис в системе столбцов. Нужно показать, что по- сле каждого элементарного преобразования базис преобразованной системы по прежнему состоит из s элементов. Заметим, прежде всего, что однородная система линейных уравнений 19 { a 1 i 1 x 1 + a 1i 2 x 2 + ...+a 1 i s x s = 0 , a 2 i 1 x 1 + a 2i 2 x 2 + ...+a 2 i s x s = 0 , a mi 1 x 1 + a mi 2 x 2 + ...+a m i s x s = 0. (7) является развёрнутой формой записи уравнения x 1 a * i 1 + x 2 a * i 2 +…+ x s a * i s = 0 . Линейная независимость столбцов a * i 1 , a * i 2 ,…, a * i s означает, что система (7) имеет только нулевое решение. Каждому элементарному преобразованию строк соответствует преобразова- ние системы (7), переводящее её, согласно теореме из §2, в эквивалентную. Поэтому столбцы, полученные из a * i 1 , a * i 2 ,…, a * i s элементарными преобразо- ваний строк, являются линейно независимыми. Точно такими же рассуждениями показывается, что всякая линейно зависи- мая система столбцов переводится в линейно зависимую. Всё вместе это озна- чает, что базис a * i 1 , a * i 2 ,…, a * i s переводится элементарными преобразования- ми в базис. □ Определение. Матрица A называется матрицей ступенчатого вида, если первый ненулевой элемент каждой строки, начиная со второй, расположен пра- вее первого ненулевого элемента предыдущей строки. Из определения следует, что если в матрице ступенчатого вида имеются нуле- вые строки, то все они расположены под ненулевыми. Пример 1. Матрица ( 0 −3 2 0 5 0 0 4 1 −2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ) имеет ступенчатый вид: первый не- нулевой элемент второй строки a 23 = 4 расположен правее первого ненулевого элемента первой строки a 12 =− 3; первый ненулевой элемент третьей стро- ки a 35 = 1 расположен правее первого ненулевого элемента второй стро- ки a 23 = 4 ; в четвёртой строке нет ненулевых элементов. Покажем, что всякая матрица элементарными преобразованиями может быть приведена к ступенчатому виду за конечное число шагов. Нулевая матрица по определению имеет ступенчатый вид. Если матрица не- нулевая, то в ней имеется хотя бы один ненулевой столбец. Пусть первый из них имеет номер i 1 Перестановкой строк можно добиться того, чтобы a 1 i 1 ≠ 0. Элементарное преобразование 3 позволяет добиться равенств a 2i 1 = a 3i 1 =…= 0. Для этого нужно прибавить к каждой строке, начиная со второй, первую строку, умноженную на подходящее число. В итоге получим матрицу вида 20 0 … 0 a 1 i 1 ………………… 0 A 1 Поступая таким же образом с матрицей A 1 , мы в конце концов получим мат- рицу ступенчатого вида. Проиллюстрируем приведённые рассуждения на конкретном примере. Пример 2. Приведём к ступенчатому виду матрицу A= ( 1 2 1 0 2 1 3 2 − 1 4 2 1 −1 3 − 2 2 0 −2 3 1 ) Прибавляя ко 2-й, 3-й и 4-й строкам 1-ю строку, умноженную на числа − 1,−2 и − 2 соответственно, получаем матрицу ( 1 2 1 0 2 0 1 1 − 1 2 0 −3 −3 3 − 6 0 −4 −4 3 − 3 ) Далее, прибавляя к 3-й и 4-й строкам 2-ю строку, умноженную на 3 и 4 соответ- ственно, получаем матрицу ( 1 2 1 0 2 0 1 1 −1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 5 ) Наконец, переставляя 3-ю и 4-ю строки, получаем матрицу ступенчатого вида ( 1 2 1 0 2 0 1 1 −1 2 0 0 0 −1 5 0 0 0 0 0 ) Теорема 3. Система ненулевых строк матрицы ступенчатого вида линейно 21 независима. Доказательство. Ступенчатая матрица, как это следует из её определения может быть записана в виде ( a 1 i 1 ……………………… a 2 i 2 ……………… ………… a r i r … ) , (8) где элементы 4 a 1 i 1 , a 2 i 2 ,… , a r i r отличны от нуля, а все элементы, находящиеся слева от них и ниже них, равны нулю. При этом i 1 < i 2 <…< i r Как и при доказательстве теоремы 1, обозначим через a k * k-ю строку мат- рицы. Рассмотрим векторное равенство α 1 a 1 * +α 2 a 2 * +…+α r a r * = 0 и выпишем явно равенства компонент с номерами i 1, i 2, … ,i r : α 1 a 1i 1 = 0, α 1 a 1i 1 +α 2 a 2 i 2 = 0, … α 1 a 1i 1 +α 2 a 2 i 2 +…+α r a r i r = 0, из которых следует, что α 1 =α 2 =…=α r = 0, что и доказывает теорему. □ Очевидно, что ненулевые строки ступенчатой матрицы образуют максималь- ную систему линейно независимых строк. Другими словами, строчечный ранг матрицы (8) равен r. Теорема 4. Столбцовый ранг ступенчатой матрицы равен числу её ненулевых строк. Доказательство. Пусть матрица имеет вид (8). Тривиально проверяется, что r столбцов с но- мерами i 1, i 2, … ,i r линейно независимы. Докажем, что эти столбцы образуют максимальную линейно независимую подсистему. Для этого достаточно пока- зать (см. §9, теорема 1), что всякий столбец a * i матрицы линейно выражается через столбцы a * i 1 , a * i 2 ,…, a * i r Как и при доказательстве теоремы 2, замечаем, что векторное уравнение α 1 a * i 1 +α 2 a * i 2 +…+α r a * i r = a * i с неизвестными коэф- фициентами α 1, α 2, … , α r эквивалентно системе линейных уравнений 4 Эти элементы матрицы ступенчатого вида называются ведущими. 22 { α 1 a 1i 1 +α 2 a 1 i 2 + ...+α r a 1 i r = a 1 i , α 2 a 2 i 2 + ...+α r a 2 i r = a 2 i , α r a r i r = a r i Так как числа a 1 i 1 , a 2 i 2 ,… , a r i r отличны от нуля, то выписанная система оче- видно совместная. Следовательно столбец a * i является линейной комбинацией столбцов a * i 1 , a * i 2 ,…, a * i r □ Итак, всякая матрица элементарными преобразованиями строк может быть приведена к ступенчатой форме. Строчечный и столбцовый ранги ступенчатой матрицы равны между собой. А поскольку при элементарных преобразованиях ни строчечный, ни столбцовый ранг не меняется, то их равенство справедливо для произвольной матрицы. Ранг матрицы A обозначается символом rank A . Так, например, для матри- цы A из примера 2, rank A=3. |