ЛИН.+АПГЕБРА+СО. Лекция Ранг матрицы Пусть имеется некоторая матрица
![]()
|
Линейная алгебра Лекция 4. Ранг матрицы Пусть имеется некоторая матрица ![]() Если в матрице взять ![]() ![]() ![]() Определение 1. Рангом матрицы ![]() называется наивысший порядок минора матрицы, не равного нулю. Определение 1 требует, как правило, вычисления большого количества миноров матрицы. Следующая теорема позволяет несколько уменьшить это количество. Теорема 2. Пусть уже подсчитан минор ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() (без доказательства). Из определения следует, что ранг ненулевой матрицы может изменяться от единицы до наименьшего из чисел ![]() ![]() Надо сказать, что имеется и другое определение ранга матрицы, которое связано с понятием ![]() Определение 2. Упорядоченное множество ![]() ![]() ![]() Эти векторы можно: Умножать на число ![]() Складывать ![]() ![]() Вычитать ![]() Скалярно умножать ![]() Определение 3. Совокупность всех ![]() ![]() ![]() ![]() Определение 4. Система из нескольких ![]() Пример 1. Система трех векторов ![]() линейно зависима, так как ![]() Для установления линейной зависимости и независимости более удобным является Определение 5. (эквивалентно определению 4) Система из нескольких ![]() ![]() ![]() выполняется лишь в случае, когда ![]() В противном случае, система называется линейно зависимой. Покажем, что система трех векторов ![]() в примере 1 линейно зависима. Применим определение 5: ![]() ![]() Расписав это равенство по компонентам (заметим, что в правой части стоит нулевой вектор!), получим систему линейных уравнений ![]() Поменяв местами первое и третье уравнения, применим метод Гаусса: ![]() Итак, последнее уравнение состоит из нулей, мы его отбрасываем. Из второго уравнения находим ![]() ![]() то есть имеем множество решений. Например, если взять значение ![]() ![]() ![]() Отсюда видим, что вектор ![]() то есть, действительно является линейной комбинацией первых двух векторов. Пример 2. Покажем, что система трех векторов ![]() Применим определение 5: ![]() ![]() Расписав это равенство по компонентам (заметим, что в правой части стоит нулевой вектор!), получим систему линейных уравнений ![]() Поменяв местами первое и третье уравнения, применим метод Гаусса: ![]() Последняя строка означает, что ![]() ![]() Система векторов линейно независима. Определение 6. Рангом системы ![]() ![]() ![]() Определение 7. Подсистема ![]() линейно независимых векторов системы ![]() ![]() ![]() Теорема 3. Максимальное число линейно независимых ![]() ![]() Для доказательства рассмотрим систему из ![]() ![]() ![]() Нетрудно видеть, что любой ![]() ![]() ![]() Следствие. Единичные векторы ![]() образуют базис линейного пространства ![]() Определение 8. Рангом матрицы ![]() называется ранг системы ![]() Для нахождения ранга матрицы применяется метод Гаусса, основанный на элементарных преобразованиях 1) ![]() ![]() Теорема 4. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях (без доказательства). Как мы уже знаем, метод Гаусса заключается в приведении матрицы ![]() ![]() ![]() в которой все «диагональные» элементы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() последовательно следует, что ![]() Из теоремы 4 следует, что ранг исходной матрицы ![]() ![]() Пример 3. Найти ранг матрицы ![]() Решение. ![]() После перестановки местами третьего и пятого столбцов матрицы, мы получим структуру матрицы ![]() ![]() Итак, ранг матрицы равен трем (третья строка ![]() ![]() ![]() Вернемся к задаче решения линейной неоднородной системы уравнений ![]() которой можно поставить в соответствие две матрицы ![]() ![]() Первую матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных, будем называть основной матрицей, а вторую ![]() Теорема Кронеккера ![]() (о совместности линейной неоднородной системы). Система уравнений (3) совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы. Доказательство. Для простоты будем считать, что из системы уравнений (3) с помощью элементарных преобразований исключены все уравнения, являющиеся линейными комбинациями остальных уравнений, то есть приводящиеся к виду ![]() Отметим, что в результате применения элементарных преобразований совместность (или несовместность) исходной системы не нарушена, поскольку получаются системы, ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ исходной. Таким образом, без ограничения общности, можно считать, что система из расширенных векторов ![]() линейно независима, то есть ранг этой системы равен ![]() Это значит, по определению, что из равенства ![]() следует, что ![]() Предположим, что система (3) несовместна. Это, в соответствии с методом Гаусса, может быть только в том случае, когда некоторая линейная комбинация уравнений системы (3) имеет вид ![]() то есть, когда некоторая линейная комбинация строк матрицы ![]() ![]() но эта же линейная комбинация из строк расширенной матрицы не равна нулевому вектору ![]() Это значит, что из коэффициентов ![]() ![]() ![]() Если система (3) совместна, то ранг системы строк матрицы ![]() ![]() ![]() ![]() А это значит, что из линейной зависимости строк ![]() ![]() ![]() Пример 4. Установить с помощью теоремы Кронеккера - Капелли, совместна ли система уравнений ![]() ![]() Как показано в примере 3, матрица ![]() ![]() То есть, ранг матрицы ![]() Там же показано, что расширенная матрица ![]() элементарными преобразованиями приводится к матрице ![]() То есть, ранг расширенной матрицы равен трем. Итак, система несовместна. Задания для самостоятельной работы. 1)Исследовать на линейную независимость систему векторов. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2)Найти ранг матрицы ![]() 3)Исследовать систему уравнений на совместность (два способа) ![]() Исследовать на линейную независимость систему векторов. ![]() ![]() Применим определение 5: ![]() ![]() Расписав это равенство по компонентам (заметим, что в правой части стоит нулевой вектор!), получим систему линейных уравнений ![]() Применим метод Гаусса: ![]() Последнее уравнение имеет вид: ![]() ![]() Система векторов линейно независима. ![]() Применим определение 5: ![]() ![]() Расписав это равенство по компонентам, получим систему линейных уравнений ![]() Применим метод Гаусса: ![]() Последнее уравнение имеет вид: ![]() Система векторов линейно независима. C) ![]() Применим определение 5: ![]() Расписав это равенство по компонентам, получим систему линейных уравнений ![]() Применим метод Гаусса: ![]() ![]() Последнее уравнение имеет вид: ![]() Система векторов линейно независима. Найти ранг матрицы ![]() ![]() Ранг матрицы равен трем. Исследовать систему уравнений на совместность (два способа) ![]() ![]() Последнее уравнение имеет вид: ![]() Система совместна, имеет множество решений. Способ 2. ![]() ![]() ![]() Ранг расширенной матрицы ![]() Лекция 5. 1.Однородные системы, фундаментальная система решений. Рассмотрим вопрос о множестве решений однородной системы линейных уравнений ![]() Как мы знаем, если ранг матрицы равен ![]() ![]() в котором последнее уравнение может иметь лишь один из следующих двух вариантов: 1)Оно имеет вид ![]() ![]() ![]() ![]() 2)Оно содержит несколько переменных, то есть имеет вид ![]() в этом случае исходная система имеет бесчисленное множество решений. Для того, чтобы описать это множество решений, полезно ввести понятие фундаментальной системы решений. Будем называть переменные ![]() ![]() ![]() - набору ![]() ![]() ![]() ![]() - набору ![]() ![]() ![]() ![]() - набору ![]() ![]() ![]() ![]() Определение 1. Набор указанных выше решений ![]() Теорема 1. Любое решение однородной системы алгебраических уравнений (1) является линейной комбинацией решений, входящих в фундаментальную систему решений. Доказательство. Пусть ![]() ![]() ![]() Во-первых, заметим, что в силу однородности и линейности системы (1) любая линейная комбинация решений также является решением, то есть в правой части соотношения (3) стоит решение системы (1). Далее, если в качестве произвольных констант выбрать значения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Так как решение системы (1) однозначно определяется выбором свободных переменных ![]() ![]() ![]() Следствие. Общее решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений является суммой общего решения соответствующей однородной системы и любого частного решения неоднородной системы. Пример 1. Найти общее решение однородной системы ![]() Применяем метод Гаусса: ![]() Итак, последнее уравнение имеет вид: ![]() Положив ![]() ![]() Положив ![]() ![]() Таким образом, общее решение системы (4) имеет вид: ![]() Пример 2. Найти общее решение неоднородной системы ![]() Применяем метод Гаусса: ![]() ![]() Итак, последнее уравнение имеет вид: ![]() Положив ![]() ![]() Соответственно, с учетом примера (1) общее решение системы (5) имеет вид: ![]() Пример 3. Найти общее решение неоднородной системы ![]() Сначала находим общее решение соответствующей однородной системы ![]() Применяем метод Гаусса: ![]() Итак, последнее уравнение имеет вид: ![]() Находим базисный вектор, задав ![]() Итак, общее решение однородной системы имеет вид: ![]() Находим решение неоднородной системы: ![]() Итак, последнее уравнение имеет вид: ![]() ![]() Находим частное решение неоднородной системы: ![]() В результате получаем общее решение неоднородной системы: ![]() Например, при ![]() ![]() 2.Собственные значения и векторы матрицы. Определение 2. Число ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Вектор ![]() ![]() Отметим, что собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя: если вектор ![]() ![]() Для нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы ![]() ![]() которое равносильно равенству (6). Пример 3. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы ![]() Составим матрицу ![]() будем искать ненулевое решение однородной системы уравнений: ![]() Как мы знаем, если основной определитель системы не равен нулю, то система имеет единственное решение (в данном случае нулевое). Поэтому ненулевое решение может существовать лишь при условии, что основной определитель системы равен нулю: ![]() Раскрывая определитель, получим уравнение для собственных значений матрицы: ![]() Подставляя в систему (8) значение ![]() ![]() ![]() Как уже было сказано, собственный вектор определяется с точностью до константы, например ![]() Подставляя в систему (8) значение ![]() ![]() ![]() Как уже было сказано, собственный вектор определяется с точностью до константы, например ![]() Задания для самостоятельной работы. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы ![]() |