Конспект лекций по алгебре. Системы линейных уравнений. Основные понятия
 Скачать 0.68 Mb.
|
|
§7. Системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными Попытаемся получить формулы, аналогичные (3) и (4) для случая трёх урав- нений с тремя неизвестными { a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 , a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 (6) Ограничимся выводом формулы для переменной x 3 С другими переменными рассуждения аналогичны. Воспользуемся тем же приёмом, что и при решении системы (2). Умножим i-е уравнение системы (6) на c i и сложим их. Чис- ла c i выберем так, чтобы в полученном уравнении ( a 11 c 1 + a 21 c 2 + a 31 c 3 ) x 1 +( a 12 c 1 + a 22 c 2 + a 32 c 3 ) x 2 +( a 13 c 1 + a 23 c 2 + a 33 c 3 ) x 3 = = b 1 c 1 + b 2 c 2 + b 3 c 3 коэффициенты при x 1 и x 2 обратились в нуль. Для этого c i должны удовлетворять системе (5). Если коэффициенты при x 1 и x 2 непропорцио- нальны, то можно воспользоваться результатом предыдущего параграфа и иско- мое выражение для x 3 найдено: 9 x 3 = b 1 ∣ a 21 a 22 a 31 a 32 ∣ + b 2 ∣ a 31 a 32 a 11 a 12 ∣ + b 3 ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ a 13 ∣ a 21 a 22 a 31 a 32 ∣ + a 23 ∣ a 31 a 32 a 11 a 12 ∣ + a 33 ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ Знаменатель 2 последней дроби, который обозначим через Δ , после очевид- ных преобразований можно записать в виде Δ= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 12 a 21 a 33 − a 11 a 23 a 32 Определение. Определителем матрицы ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) третьего порядка (или просто определителем третьего порядка) называется число Δ , вычислен- ное по предыдущей формуле. Для запоминания правой части равенства можно использовать так называе- мое правило треугольников. Схема этого правила изображена на рисунке. Сумма в числителе дроби, определяющей x 3 , отличается от суммы в знаме- нателе лишь первыми множителями. Поэтому числитель можно представить в виде определителя третьего порядка, получающегося из Δ заменой третьего столбца столбцом свободных членов. Если этот определитель обозначить через Δ 3 , то x 3 = Δ 3 Δ , где Δ 3 = ∣ a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a 31 a 32 b 3 ∣ Для других переменных имеют место аналогичные формулы: x 1 = Δ 1 Δ , x 2 = Δ 2 Δ , 2 Рассматриваются лишь те системы, для которых знаменатель не равно нулю. 10 где Δ 1 = ∣ b 1 a 12 a 13 b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 a 33 ∣ , Δ 2 = ∣ a 11 b 1 a 13 a 21 b 2 a 23 a 31 b 3 a 33 ∣ Похожими рассуждениями, рассматривая системы четырёх уравнений с четырьмя неизвестными, можно прийти к понятию определителя четвёртого по- рядка, затем пятого и т. д. Заметим, однако, что формулы Крамера определяют решения лишь тех си- стем, определитель которых отличен от нуля. Для систем с нулевым определи- телем и систем, у которых число уравнений не совпадает с числом переменных 3 требуются другие методы нахождения решений. Один из них мы обсудим ниже. §8. Арифметическое n-мерное пространство Определение. Действительным арифметическим n-мерным про- странством ℝ n называется множество упорядоченных наборов n действитель- ных чисел: ℝ n ={( a 1 , a 2 ,… , a n ) | ∀ i=1,2 ,… , n a i ∈ℝ} Элементы пространства ℝ n называются арифметическими векторами и обычно обозначаются полужирными строчными буквами латинского алфавита. Для арифметического вектора a=(a 1 , a 2 ,… , a n ) число a i называется его i-й компонентой. Два вектора a и b называются равными, если равны их со- ответствующие компоненты: a=b ⇔∀ i=1,2 ,… , n a i = b i В пространстве ℝ n естественным образом определены операции сложения векторов и умножения вектора на число. Суммой векторов a=(a 1 , a 2 ,… , a n ) и b=(b 1 , b 2 ,… ,b n ) называется вектор с компонентами (a 1 + b 1 ,… , a n + b n ) Сумма векторов a и b обозначается a+b. Произведением вектора a=(a 1 , a 2 ,… , a n ) на число λ называется вектор с компонентами (λ a 1 , λ a 2 ,… , λ a n ) . Произведение вектора a на число λ обозначается λ a. Вектор 0=(0,0,… , 0) с нулевыми компонентами называется нулевым. 3 В принципе, всегда возможно данную систему вида (1) заменить эквивалентной системой с одинаковым количеством строк и столбцов. Если m<n , то можно продублировать какое-нибудь уравнение нужное число раз. Если m>n , то недостающие переменные можно добавить, взяв их с нулевыми коэффициентами. 11 Вектор (−a 1 ,−a 2 ,… ,−a n ) называется вектором, противоположным векто- ру a=(a 1 , a 2 ,… , a n ) . Противоположный к a вектор обозначается −a . Сумма a+(−b) векторов a и −b называется разностью векторов a и b и обозначается a−b . Перечислим некоторые свойства операций сложения векторов и умножения вектора на число. Греческими буквами обозначаются действительные числа. Сложение векторов: 1. ∀ a , b a+b=b+a ; 2. ∀ a , b , c (a+ b)+c=a+(b+c); 3. ∃0| ∀ a a+o=0+a=a ; 4. ∀ a ∃(− a)| a+(−a)=(−a)+ a=0 . Умножение вектора на число: 1. ∀ a , ∀ λ ,μ (λ μ) a=λ(μ a); 2. ∀ a , ∀ λ ,μ (λ+μ) a=λ a+μ a ; 3. ∀ a , b λ ( a+b)=λ a+λ b ; 4. ∀ a 1a=a. Замечание. Понятие векторного пространства играет важную роль в совре- менной математике и её приложениях. Оно обобщает пространство направлен- ных отрезков, изучаемое в школьном курсе математике. В самом общем случае векторным пространством называют всякое множество, элементы которого можно складывать между собой и умножать на число. При этом требуется, что- бы эти две операции (сложение и умножение на число) удовлетворяли перечис- ленным выше восьми свойствам. Таким образом, с современной точки зрения векторное пространство образу- ют не только множество направленных отрезков, но и упорядоченные наборы n действительных чисел. Множество всех вещественнозначных функций, опре- делённых, скажем, на отрезке [ 0 ;1], также образуют векторное пространство относительно естественных операций сложения и умножения на число. §9. Линейная зависимость векторов. Базис Пусть дана некоторая конечная совокупность векторов a 1 , a 2 ,… , a l , среди которых могут быть и равные. Для любых чисел α 1 ,α 2 ,… , α l вектор α 1 a 1 +α 2 a 2 +…+α l a l называется линейной комбинацией векторов a 1 , a 2 ,… , a l Определение. Конечная совокупность векторов a 1 , a 2 ,… , a l называется ли- 12 нейно независимой, если равенство α 1 a 1 +α 2 a 2 +…+α l a l = 0 возможно тогда и только тогда, когда α 1 =α 2 =…=α l = 0. Совокупность векторов, не являющаяся линейно независимой, называется линейно зависимой. Другими словами, система векторов a 1 , a 2 ,… , a l линейно зависима, если найдутся числа α 1 ,α 2 ,…, α l , не все из которых равны нулю, для которых верно равенство α 1 a 1 +α 2 a 2 +…+α l a l = 0. Пример 1. Рассмотрим совокупность трёх векторов a 1 =( 1,−2,1,3), a 2 =( 0,0,1,1), a 3 =( 0,0,0, 2). Являются ли они линейно зависимыми? Для отве- та составим линейную комбинацию этих векторов и выясним, при каких коэф- фициентах комбинация равна нулевому вектору. Из определения операций сло- жения векторов и умножения вектора на число следует, что α 1 a 1 +α 2 a 2 +α 3 a 3 =(α 1 ,−2α 1 , α 1 +α 2 ,3 α 1 +α 2 + 2α 3 ) Из равенства этого вектора нулевому следует равенство нулю каждой его коор- динаты. Отсюда без труда получаем, что все числа α i равны нулю. Итак, линейная комбинация данных векторов равна нулевому вектору только при нулевых коэффициентах. Следовательно векторы линейно независимы. Пример 2. Векторы a=(1, 2, 0) , b=(−2,−3,1) , c=(2, 0 ,−1) линейно зависи- мые, поскольку, например, 3 a+ 2 b+ 1 2 c=0. Пример 3. Рассмотрим систему, состоящую из одного вектора a . Если этот вектор нулевой, то рассматривая система линейно зависима: 1⋅a=1⋅0=0. В случае, когда вектор a≠0 , одна из его компонент a i отлична от нуля. Поэтому из равенства α a=0 следует равенство α a i = 0 и α=0. Т. е. систе- ма линейно независима. Пример 4. Система, состоящая из двух одинаковых векторов линейно зависи- ма: 1⋅a+(−1)⋅a=0 . Теорема 1. Система векторов a 1 , a 2 ,… , a l линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы является линейной комбинацией других. Доказательство. Необходимость. Пусть система векторов a 1 , a 2 ,… , a l линейно зависима. Это значит, что существуют числа α 1 ,α 2 ,…, α l , для которых верно равенство α 1 a 1 +α 2 a 2 +…+α l a l = 0 и хотя бы одно из них отлично от нуля. Перенумеру- ем, в случае необходимости, векторы так, чтобы α 1 ≠ 0. Перенеся в последнем равенстве все слагаемые, кроме первого, в правую часть и разделив обе части на α 1 , получим, что a 1 =− α 2 α 1 a 2 − α 3 α 1 a 3 −…− α l α 1 a l , 13 т. е. a 1 является линейной комбинацией векторов a 2 , a 3 ,… , a l Достаточность. Пусть один из векторов (без ограничения общности можно считать, что это a 1 ) является линейной комбинацией других векторов: a 1 =β 2 a 2 +β 2 a 3 +…+β l a l для некоторых β 2 ,β 3 ,… ,β l Линейная зависимость векторов a 1 , a 2 ,… , a l становится очевидной, если переписать последнее ра- венство в виде 1⋅a 1 −β 2 ⋅ a 2 −β 3 ⋅ a 3 −…−β l ⋅ a l = 0 , поскольку коэффициент при a 1 заведомо отличен от нуля. □ Следствие. Система из двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы пропорциональны. Теорема 2. Если система векторов a 1 , a 2 ,… , a l содержит линейно зависи- мую подсистему, то и вся система линейно зависима. Доказательство. Перенумеруем, в случае необходимости, данные векторы так, чтобы линейно зависимыми оказались первые r векторов. Тогда имеет место равенство α 1 a 1 +α 2 a 2 +…+α r a r = 0 , в котором не все коэффициенты нулевые. Поэтому последнее равенство, пере- писанное в виде α 1 ⋅ a 1 +α 2 ⋅ a 2 +…+α r ⋅ a r + 0⋅a r+ 1 +…+ 0⋅a l = 0 и означает линейную зависимость всей системы. □ Следствие 1. Система векторов, содержащая нулевой вектор, является линей- но зависимой. Следствие 2. Система векторов, содержащая два равных вектора, является линейно зависимой. Следствие 3. Если система векторов линейно независима, то и любая её под- система линейно независима. Понятие линейной зависимости можно распространить на системы, состоя- щие из бесконечного числа векторов. По определению, бесконечная система на- зывается линейно зависимой, если существует конечнаялинейно зависимая подсистема. Определение. Базисом данной (возможно бесконечной) системы векторов на- зывается всякая линейно независимая подсистема, добавление к которой любо- го другого вектора системы превращает её в линейно зависимую. Пример 5. Для системы векторов a 1 =( 2,1,1), a 2 =(− 4, 3,1), a 3 =(− 1, 2,1) в качестве базиса можно выбрать векторы a 1 и a 2 , так как они линейно неза- висимы (см. следствие теоремы 1) , а вся система линейно зависима: 14 a 1 + a 2 − 2 a 3 = 0 . Замечание. При задании базиса, учитывается порядок базисных векторов. Так, в рассмотренном примере базисы, состоящие из a 1 , a 2 и a 2 , a 1 считают- ся различными. Пример 6. Векторы e 1 =( 1 , 0 ,…, 0) , e 2 =( 0 ,1 ,…, 0) ,… , e n =( 0 , 0 ,…, 1) ли- нейно независимы и для всякого x=(x 1 , x 2 ,… , x n ) справедливо равенство x= x 1 e 1 + x 2 e 2 +…+ x n e n , которое означает, согласно теореме 1, линейную зависимость системы векторов x , e 1 ,e 2 ,… , e n Таким образом, векторы e 1 , e 2 ,… , e n образуют базис всего пространства ℝ n Данный базис называется стандартным или каноническим. В следующем параграфе мы покажем, что всякая система векторов из ℝ n содержит конечный базис и что любые два базиса системы содержат одинаковое количество векторов. Теорема 3. Пусть e 1 , e 2 ,… , e r — базис некоторой системы векторов. Тогда всякий вектор системы единственным образом представляется в виде линейной комбинации базисных векторов. Доказательство. Пусть x — произвольный вектор системы. По определению базиса, систе- ма векторов x , e 1 , e 2 ,… , e r линейно зависима, т. е. имеет место равенство α x+α 1 e 1 +α 2 e 2 +…+ α r e r = 0 , где не все коэффициенты равны нулю. Коэффициент α≠ 0, иначе из линейной независимости векторов e i следовало бы, что и все α i = 0 . Выражая из пред- последнего равенства x , находим его искомое представление в виде линей- ной комбинации e 1 , e 2 ,… , e r : x=− α 1 α e 1 − α 2 α e 2 −…− α r α e r Докажем теперь, что такое представление единственно. Допустим, предполо- жив противное, что имеют места два соотношения x=β 1 e 1 +β 2 e 2 +…+β r e r , x= γ 1 e 1 + γ 2 e 2 +…+ γ r e r Вычитая почленно эти равенства, получаем 0=(β 1 −γ 1 ) e 1 +…+(β r −γ r ) e r Из линейной независимости векторов e 1 , e 2 ,… , e r следует, что β i =γ i □ 15 |