Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка
![]()
|
Практическое задание: Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка. y’=2x; x+yy’=0; y’=x+1. Теоретический материал и примеры решения дифференциальных уравнений. 1. Дифференциальное уравнение первого порядка, содержит: 1) независимую переменную ![]() 2) зависимую переменную ![]() 3) первую производную функции: ![]() Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций ![]() Пример 1 Решить дифференциальное уравнение ![]() ![]() ![]() В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции: ![]() Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы». Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Интегрируем обе части: ![]() ![]() Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть, ![]() Вместо записи ![]() ![]() В данном случае: ![]() ![]() Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение. Множество функций ![]() ![]() Придавая константе ![]() Пример 2 Найти частное решение дифференциального уравнения ![]() ![]() По условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши. Сначала находим общее решение. ![]() ![]() Интегрируем уравнение: ![]() ![]() ![]() ![]() Итак, общее решение: ![]() ![]() Необходимо подобрать такое значение константы ![]() ![]() В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку: ![]() В общее решение ![]() ![]() ![]() Пример 3 Решить дифференциальное уравнение ![]() Решение: Переписываем производную в нужном нам виде: ![]() Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака: ![]() ![]() Переменные разделены, интегрируем обе части: ![]() ![]() ![]() ![]() Решение распишу очень подробно: ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: общий интеграл: ![]() Примечание:общий интеграл любого уравнения можно записать не единственным способом. Таким образом, если у вас не совпал результат с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение. Пример 4 Найти частное решение дифференциального уравнения ![]() ![]() Решение: Сначала найдем общее решение.Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы ![]() ![]() ![]() Интегрируем уравнение: ![]() ![]() ![]() ![]() общее решение: ![]() Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию ![]() ![]() ![]() Подставляем найденное значение константы ![]() Ответ: частное решение: ![]() |