системы уравнений. Системы рациональных уравнений
 Скачать 1.7 Mb.
|
|
Глава 4. Системы рациональных уравнений Четвёртая глава посвящена изучению способов решения систем рациональных уравнений. Здесь используются понятия, изученные в 7 классе и применявшиеся ранее к системам линейных уравнений, что даёт возможность повторить изученное и научится действовать в новой ситуации. Это понятия: решения уравнения с двумя (тремя) неизвестными, системы уравнений с двумя (тремя) неизвестными, понятие равносильности уравнений, систем уравнений. Цель изучения главы 4: усвоить перечисленные понятия, научиться решать системы рациональных уравнений и применять их к решению текстовых задач. § 9. Системы рациональных уравнений Основная цель девятого параграфа заключается в том, чтобы, опираясь на известные понятия, связанные с уравнениями и системами линейных уравнений, научится решать системы рациональных уравнений, научиться применять их к решению текстовых задач. 9.1. Понятие системы рациональных уравнений В данном пункте вводятся понятия рационального уравнения с двумя (тремя) неизвестными и его решения, определяется, что значит решить систему уравнений, приводятся утверждения о равносильности систем уравнений. Основными заданиями данного пункта являются задания на установление того, что данная пара (тройка) чисел является решением системы. Дополнительное задание приучает учащихся к решению задач с параметрами. Задание для повторения. При изучении данного пункта можно использовать задание 805–807. Решения и комментарии 500. Является ли решением системы уравнений  пара чисел:а) (0; 3); б) (–3; 2). Решение. а) Так как 0 + 5  3, то пара чисел (0; 3) не является решением второго уравнения системы, а значит, не является и решением системы уравнений.б) Так как –3 + 5 = 2, (–3)2 + (–3)2 – 3 = 0, то пара чисел (–3; 2) является решением системы уравнений. 501. Является ли решением системы уравнений  тройка чисел:а) (1; –1; 1); б) (1; 1; 1). Решение. а) Так как 1 – 1 + 1 3, то тройка чисел (1; –1; 1) не является решением первого уравнения системы, а значит, не является и решением системы уравнений.б) Так как 1 + 1 + 1 = 3, 1 –1 – 1 –2, то тройка чисел (1; 1; 1) не является решением второго уравнения системы, а значит, не является решением системы уравнений.Дополнительное задание 1. При каком значении a пара чисел (2; –1) является решением системы уравнений  Решение. Пусть a — некоторое число, для которого пара чисел (2; –1) является решением системы уравнений, тогда верны два числовых равенства: 1) 2a2 + a = 21 и 2) 10 + a = a2 + 4, которые можно рассматривать как уравнения относительно a. Уравнение 2) имеет два корня: a1 = 3 или a2 = –2. Число a1является корнем уравнения 1), а число a2 = –2 — нет, следовательно, при a = 3 пара чисел (2; –1) является решением системы уравнений. И других значений а, удовлетворяющих условию задачи, нет. 9.2. Способ подстановки решения систем рациональных уравнений В данном пункте на трёх примерах показано, как можно решать способом подстановки рациональных уравнений, в которых имеется хотя бы одно уравнение первой. Задание для повторения. При изучении данного пункта можно использовать задание 810. Решения и комментарии 512. Решите систему уравнений: г)  д)  Решение. г) Выразив x через y из второго уравнения системы и подставив y + 1 вместо x в первое уравнение, перепишем систему в виде:  (1)Теперь, решив первое уравнение системы (1), найдём два его корня y1 = –4 и y2 = 3. Из второго уравнения системы (1) получим соответствующие им значения x: x1 = –3 и x2 = 4. д) Выразив y через x из второго уравнения системы и подставив 3 – 3x вместо y в первое уравнение, перепишем систему в виде:  (2)Теперь, решив первое уравнение системы (2), найдём два его корня x1 =  и x2 =  . Из второго уравнения системы (2) получим соответствующие им значения y: y1 = – и y2 = 2.Ответ. г) (–3; –4), (4; 3); д) ( ; – ), ( ; 2).Промежуточный контроль. С-21. 9.3. Другие способы решения систем рациональных уравнений В данном пункте разобраны примеры решения систем рациональных уравнений — способом сложения уравнений, способом введения новых неизвестных, способом выделения полных квадратов, способом разложения на множители. При этом используются равносильные преобразования уравнений. Иногда решению системы помогает знание того, что сумма квадратов двух чисел равна нулю тогда и только тогда, когда эти числа нули. Задание для повторения. При изучении данного пункта можно использовать задание 820. Решения и комментарии 517. Решите систему уравнений: в)  д)  Решение. в) Заменим в системе первое уравнение суммой двух уравнений этой системы. Получим систему, равносильную исходной системе:  (1)Теперь выделим полные квадраты в первом уравнении системы (1):  (2)Так как сумма квадратов двух чисел равна нулю тогда и только тогда, когда эти числа нули, то первое уравнение системы (2) имеет единственное решение (2; –6). Эта пара чисел является решением второго уравнения системы (2), следовательно, она является решением системы (2) и равносильной ей исходной системы. д) Сделаем замену неизвестных: a =  и b =  . Перепишем систему в виде: (3)Система (3) имеет единственное решение: a1 = 1, b1 =  . Следовательно, система д) также имеет единственное решение: x1 = 1, y1 = 2.Ответ. в) (2; –6); д) (1; 2). 512. ж) Решите систему уравнений  Решение. Обычно решение такой системы записывают, заменяя данную систему равносильными ей системами:      (4)Знаки равносильности ( ) поставлены для учителя, но в классе с углублённым изучением математики его вполне можно использовать.Решениями второго уравнения последней из систем (4) являются такие пары чисел (x; y), которые являются решениями хотя бы одного из уравнений: 1) x + y = 1 и 2) x + y = –1. Поэтому все решения исходной системы есть объединение всех решений двух систем: 3)  и 4)  Решив системы 3) и 4) получим все решения исходной системы: (–1; 2), (2; –1), (1; –2), (–2; 1). Ответ. (–1; 2), (2; –1), (1; –2), (–2; 1). 518. Решите систему уравнений: а)  в)  ж)  Решение. а) Введя новое неизвестное a = x2 – 4y, перепишем первое уравнение системы в виде:  . Оно имеет единственный корень a = 1. Это означает, что данная система равносильна системе (5)Сложив уравнения системы (5) и заменив полученным уравнением первое уравнение системы, получим новую систему, равносильную системе (5), а значит, и исходной системе:  (6)Выделив в первом уравнении системы (6) полные квадраты, перепишем систему (6) в виде:  (7)Теперь очевидно, что первое уравнение системы (7) имеет единственное решение: x1 = 3, y1 = 2. Проверка показывает, что эта пара чисел является решением второго уравнения системы (7), а значит, она является решением системы (7) и равносильной ей исходной системе. Итак, исходная система имеет единственное решение (3; 2). в) Введя новое неизвестное a =  , перепишем первое уравнение системы в виде:  . Оно имеет два корня: a1 = 1 и a2 = –4. Поэтому все решения исходной системы есть объединение всех решений двух систем:1)  и 2)  Используя подстановку y = 9 – x, решим каждую из систем и получим, что система 1) имеет единственное решение (6; 3), а система 2) имеет единственное решение (14  ; –5 ).Итак, исходная система имеет два решения: (6; 3), (14 ; –5 ).ж) Перепишем систему в виде:  (8)Если пара чисел (x0; y0) — решение системы (8), то верны числовые равенства: x0(9x0 + 4y0) = 1 и y0(9x0 + 4y0) = –2. Заметим, что обе части этих числовых равенств не нули, поэтому разделив первое равенство на второе почленно, получим новое числовое равенство:  . Откуда следует, что y0 = –2x0. То есть искомые решения системы (8) являются решениями системы (9)Решив систему (9), получим два её решения: (1; –2), (–1; 2). Проверкой убеждаемся, что обе эти пары чисел действительно являются решениями исходной системы. Ответ. а) (3; 2); в) (6; 3), (14 ; –5 ); ж) (1; –2), (–1; 2).Замечание. Отметим, что мы не доказали в процессе решения задания ж) равносильность системы (9) исходной системе, но из проведённого рассуждения следует, что любое решение исходной системы является решением системы (9) (т. е. система (9) является следствием исходной системы), поэтому необходимо проверить, является ли каждое решение системы (9) решением исходной системы. И эта проверка является обязательной частью решения системы. На самом деле система (9) равносильна исходной системе, что следует из утверждения, доказанного ниже. Дополнительные задания 1. Решите систему уравнений а)  б)  в)  г)  Решение. а) Выделив полные квадраты в первом уравнении, перепишем его в виде: (x – 3)2 + (y – 1)2 = 0. (1) Теперь очевидно, что первое уравнение системы имеет единственное решение: x1 = 3, y1 = 1. Проверкой убеждаемся, что эта пара является решением второго уравнения, а значит, и решением системы уравнений. б) Рассуждая аналогично, получим единственное решение системы (–2, 0,5). в) Разложим левую часть первого уравнения системы на множители: x2 – 7xy + 12y2 = x2 – 3xy – 4xy + 12y2 = x(x – 3y) – 4y(x– 3y) = (x – 3y)(x – 4y). Перепишем данную систему в виде  (2)Теперь очевидно, что все решения системы (2) есть объединение всех решений двух систем: 1)  и 2)  Система 1) имеет два решения: (3; 1), (–3; –1). Система 2) также имеет два решения: (12; 3), (–12; –3). Следовательно, исходная система имеет четыре решения: (3; 1), (–3; –1), (12; 3), (–12; –3). г) Перепишем исходную систему в виде:  (3)Очевидно, что первое уравнение системы (3) имеет единственное решение: (3; –2). Проверка показывает, что оно является оно также и решением второго уравнения системы (3), следовательно, система (3), а значит, и исходная система имеют единственное решение (3; –2). Ответ. а) (3; 1); б) (–2, 0,5); в) (3; 1), (–3; –1), (12; 3), (–12; –3); г) (3; –2). 2. Докажите утверждение: если f (x, y) и g (x, y) — многочлены относительно x и y, a и b — числа, b 0, то равносильны системы 1)  и 2)  Доказательство. 1. Пусть пара чисел (x0; y0) — решение системы 1), тогда верны числовые равенства: f (x0, y0) = a и g (x0, y0) = b. Так как b 0, то и g (x0, y0) 0, поэтому верно числовое равенство:  . Это означает, что любое решение системы 1) является решением системы 2).2. Пусть теперь пара чисел (x0; y0) — решение системы 2), тогда верны числовые равенства: и g (x0, y0) = b. Так как b 0, то и g (x0, y0) 0, поэтому умножив обе части первого числового равенства на равные отличные от нуля числа g (x0, y0) и b, получим новое верное числовое равенство: f (x0, y0) = a. Это означает, что любое решение системы 2) является решением системы 1).3. Предположим, что система 1) не имеет решения, а система 2) имеет решение. Тогда из п. 2. доказательства, проведённого выше, следует, что система 1) имеет решение. Полученное противоречие показывает, что сделанное предположение неверно. Значит, если система 1) не имеет решения, то и система 2) не имеет решения. Аналогично доказывается, что если система 2) не имеет решения, то и система 1) не имеет решения. Из приведённого выше доказательства следует, что системы 1) и 2) равносильны, что и требовалось доказать. Приведём пример решения системы 518, жс помощью этого утверждения.      Решив последнюю систему, получим два её решения: (1; –2), (–1; 2), следовательно, исходная система имеет два решения: (1; –2), (–1; 2). 3. Решите систему уравнений: а)  б)  в)  Решение. а) Исходная система равносильна системе  которую перепишем в виде:  (4)Система (4) имеет единственное решение (1; 2). Следовательно, и исходная система имеет единственное решение (1; 2). б) Исходную систему перепишем в виде  Эта система равносильна системе:  (5)Система (5) имеет единственное решение (–1; –5). Следовательно, и исходная система имеет единственное решение (–1; –5). в) Исходная система равносильна системе  или системе  (6)Система (6) имеет два решения (1; 2; –2), (–1; –2; 2). Следовательно, и исходная система имеет два решения (1; 2; –2), (–1; –2; –2). Ответ. а) (1; 2); б) (–1; –5); в) два решения (1; 2; –2), (–1; –2; –2). Промежуточный контроль. С-22, С-23, С–24*. |