Математика. Заказ 10.2021.. Решение Решим систему уравнений методом Гаусса

• Название: Решение Решим систему уравнений методом Гаусса
• Анкор: Математика
• Дата: 11.12.2021
• Размер: 0.58 Mb.
• Имя файла: Заказ 10.2021..pdf
• Тип: Решение; #299985

1
ЗАДАНИЕ № 1.
Решить систему уравнений методом Гаусса и методом Крамера:
Решение:
1.Решим систему уравнений методом Гаусса.
Пусть
- основная матрица системы.
- матрица неизвестных.
- матрица свободных элементов.
Расширенная матрица исходной системы имеет вид:
С помощью элементарных преобразований систему уравнений приведем к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида.
1.Первую строку записали без изменений. Первую строку умножили на ( - 3 ); сложили первую и вторую строки; результат записали во вторую строку. Третью строку записали без изменений.
2. Первую и вторую строки записали без изменений. Первую строку умножили на
( - 5 ); сложили первую и третью строки; результат записали в третью строку.
3.Первую и вторую строки записали без изменений. Вторую строку умножили на
( - 3 ); третью строку умножили на 5; сложили вторую и третью строки; результат записали в третью строку.
4.Третью строку разделили на ( - 6 ).
Запишем систему уравнений, соответствующую преобразованной матрице коэффициентов:

2
Из последнего ( третьего ) уравнения получили:
Из второго уравнения выразим
, подставим
, получим:
Из первого уравнения выразим
, подставим
, получим:
Получили: и
Проверка: верно верно верно
Ответ: и
2.Решим систему уравнений методом Крамера.
Пусть
- основная матрица системы.
- матрица неизвестных.
- матрица свободных элементов.
Найдем определитель основной матрицы системы по правилу треугольников:
Определитель основной матрицы системы . Так как


0 , то по теореме
Крамера, система имеет единственное решение. Вычислим определители матриц

3 полученных из матрицы A , заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:
Решение системы находим по формулам: откуда получаем:
Ответ: и
ЗАДАНИЕ № 2.
Решить систему линейных уравнений:
Решение:
Пусть
- основная матрица системы.
- матрица неизвестных.
- матрица свободных элементов.
Расширенная матрица исходной системы имеет вид:

4
С помощью элементарных преобразований систему уравнений приведем к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида.
1.Первую строку записали без изменений. Первую строку умножили на ( - 1 ), сложили первую и вторую строки; результат записали во вторую строку. Третью строку записали без изменений.
2.Первую и вторую строки записали без изменений. Первую строку умножили на
( - 2 ), сложили первую и третью строки; результат записали в третью строку.
3.Первую строку записали без изменений. Вторую строку умножили на ( - 1 ); сложили вторую и третью строки; результат записали в третью строку.
4.Первую строки записали без изменений. Вторую строку умножили на ( - 1 ).
Третью нулевую строку удалили.
Запишем систему уравнений, соответствующую преобразованной матрице коэффициентов:
Анализируя полученную систему уравнений, делаем вывод: система имеет множество решений; две базисные переменные, это и
, ; две свободные переменные, это и
(
Базисные переменные всегда «сидят» на ступеньках матрицы, а свободные те, которым не досталась ступенька).
Выразим базисные переменные только через свободные переменные и
Из второго уравнения системы выражаем базисную переменную
Из первого уравнения системы выразим базисную переменную и подставим выражение для
:

5
Получили общее решение системы:
Ответ: Общее решение системы:
ЗАДАНИЕ № 1.
Найти указанные пределы:
Решение:
Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида
Так как под знаком предела стоит отношение двух многочленов, то, разделив числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т. е. на х
3
, получим:
Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида
Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, затем, воспользуемся формулой сокращенного умножения: получим:

6
Представим дробь в виде
Здесь функция при предела вообще не имеет, но является ограниченной , поэтому и дробь также ограниченная функция, а множитель при является бесконечно большой функцией, то по свойству № 3 бесконечно больших функций
Ответ:
ЗАДАНИЕ № 2.
Найти производные первого порядка данных функций.
Решение:

7

8
Ответ:
ЗАДАНИЕ № 3.
Вычислить следующие неопределенные интегралы.
Решение:

9
Ответ: