Конспект лекций по алгебре. Системы линейных уравнений. Основные понятия
 Скачать 0.68 Mb.
|
|
§23. Разложение определителя по элементам строки (столбца) Рассмотрим определитель матрицы A n-го порядка. Выберем в этой матри- це произвольным образом k строк и k столбцов (k⩽n). Элементы матри- цы A, расположенные на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют матрицу порядка k, определитель которой называется минором k-го порядка матрицы A. Если i 1 , i 2 ,…, i k — номера строк, а j 1 , j 2 ,…, j k — номера столбцов, то соответствующий минор k-го порядка обозначим через M j 1 j 2 … j k i 1 i 2 … i k Задача. Сколькими способами можно составить минор k-го порядка из мат- рицы n-го порядка? 45 Элементы матрицы A, не принадлежащие выбранным строкам и столбцам, образуют матрицу порядка n−k , определитель которой называется дополни- тельным минором и обозначается символом M j 1 j 2 … j k i 1 i 2 … i k . Число A j 1 j 2 … j k i 1 i 2 … i k , равное по определению числу (−1) i 1 + i 2 +…+ i k + j 1 + j 2 +…+ j k M j 1 j 2 … j k i 1 i 2 … i k , называется алгебраиче- ским дополнением минора M j 1 j 2 … j k i 1 i 2 … i k Пример 1. Пусть A= ( a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 ) , i 1 = 1, i 2 = 4, j 1 = 3, j 2 = 5. Тогда M 35 1 4 = ∣ a 13 a 15 a 43 a 45 ∣ , M 3 5 1 4 = ∣ a 21 a 22 a 24 a 31 a 32 a 34 a 51 a 52 a 54 ∣ , A 35 1 4 =− ∣ a 21 a 22 a 24 a 31 a 32 a 34 a 51 a 52 a 54 ∣ Пример 2. Каждый элемент a i j матрицы A является минором первого по- рядка, а определитель det A — минором n-го порядка. Пример 3. Рассмотрим матрицу, у которой все элементы первой строки, за исключением может быть первого, равны нулю. Например, для матрицы пятого порядка A= ( a 11 0 0 0 0 a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 ) По определению det A= ∑ σ ∈ S n sgn σ a 1σ (1) a 2 σ (2) … a n σ (n) , однако все слагаемые от- вечающие перестановкам σ∈ S n с σ( 1)≠1 будут нулевыми. Поэтому при вы- числении определителя достаточно рассмотреть лишь те σ∈S n , для кото- рых σ(1)=1. Такие перестановки образуют множество всех биекций множе- ства {2, 3,…, n}, состоящего из n−1 элемента. Отсюда получаем, что det A=a 1 1 ∑ σ ∈ S n−1 sgn σ a 2σ ( 2) … a n σ ( n) Последняя сумма равна минору M 1 1 , дополнительному к элементу a 1 1 Сле- довательно, для матрицы рассматриваемого типа det A=a 1 1 M 1 1 46 Рассмотренный пример обобщается в теоремах 1 и 2. Теорема 1. Определитель матрицы, все элементы i-й строки которой, кроме может быть расположенного в j-м столбце, равны нулю, равен произведению элемента a i j на его алгебраическое дополнение. Доказательство. В случае, когда i= j=1 утверждение теоремы доказано, так как A 1 1 = M 1 1 . К этому случаю можно свести и общий. С этой целью переставим i-ю строку с ( i−1)-й, затем с (i−2)-й и так до тех пор, пока i-я строка не станет первой. Аналогичным образом переместим j-й столбец полученной матрицы в первый. В результате этих ( i−1)+( j−1) перестановок определитель матрицы умно- жится на (−1) i+ j , а относительное расположение строк (отличных от i-й) и столбцов (отличных от j-й) останется прежним. Поэтому (− 1) i+ j det A=a i j M j i и det A=a i j (− 1) i+ j M j i = a i j A j i . □ Теорема 2. (Разложение определителя по элементам строки) Определи- тель матрицы равен сумме произведений элементов i-й строки на их алгебраи- ческие дополнения. Доказательство. Строку ( a i 1 , a i 2 ,…, a i n ) можно представить в виде суммы ( a i 1 ,0 ,…, 0)+(0, a i 2 ,…, 0)+…+(0 , 0,…, a i n ) Для завершения доказательства остаётся воспользоваться свойством определи- телей №4 и уже доказанной теоремой 1: det A=a i 1 A 1 i + a i 2 A 2 i +…+ a i n A n i . □ Пример 4. Рассмотрим матрицу n-го порядка, у которой имеются две одина- ковые строки. Например, при n=5 в матрице A= ( a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 ) совпадают вторая и пятая строки. По свойству определителей №5 det A=0. Разложив определитель матрицы A по элементам пятой строки, получим ра- венство a 2 1 A 1 5 + a 2 2 A 2 5 + a 2 3 A 3 5 + a 2 4 A 4 5 + a 2 5 A 5 5 = 0, 47 левую часть которого можно рассматривать как сумму произведений элементов второй строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов пя- той строки. Это рассуждение очевидным образом преобразуется в доказатель- ство следующей теоремы. Теорема 3. Сумма произведений элементов строки определителя на алгебраи- ческие дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю. Теорема 2 является частным случаем более общего утверждения — теоремы Лапласа v . Прежде чем сформулировать теорему Лапласа, рассмотрим матрицу, в которой верхний правый блок размера p×(n− p) представляет собой нулевую матрицу. Такую матрицу удобно изображать в так называемом блочном виде A= ( A 1 O A 2 A 3 ) , (18) где O — нулевая матрица типа p×(n− p), а A 1 , A 2 , A 3 — произвольные матрицы типа p× p , (n− p)× p , (n− p)×(n− p) соответственно. По определе- нию имеет место равенство det A= ∑ σ ∈ S n sgn σ a 1σ (1) a 2 σ (2) … a n σ (n) Произведение a 1 σ(1) a 2 σ(2) … a n σ (n) будет заведомо нулевым, если хотя бы для од- ного элемента i∈{1, 2,…, p } σ (i)∉{1, 2 ,…, p}. Поэтому в сумме, определяю- щей det A, достаточно рассмотреть только те перестановки из S n , для кото- рых σ(i)∈{1, 2,…, p } для всех i∈{1, 2,…, p }. Нетрудно понять, что каждая такая перестановка может быть единственным способом представлена в виде произведения τρ , где τ∈S p ,ρ∈S n− p . При этом ρ является биекцией мно- жества { p+1, p+2 ,…, n } на себя. Поскольку sgn (τ ρ)=sgn τsgn ρ, то det A= ∑ τ ∈ S p ,ρ∈S n− p sgn (τ)sgn (ρ)a 1 τ(1) … a p τ( p ) a p +1 ρ( p +1) … a n ρ(n) = = ∑ τ∈ S p sgn τ a 1 τ(1) … a p τ( p) ∑ ρ∈ S n−p sgn ρa p +1 ρ( p +1) … a n ρ(n) = det A 1 det A 3 Таким образом, определитель матрицы вида ( A 1 O A 2 A 3 ) , где A 1 , A 3 — квад- ратные матрицы, равен произведению определителей матриц A 1 и A 3 : det ( A 1 O A 2 A 3 ) = det A 1 det A 3 (19) 48 Формула (19) заслуживает того, чтобы её запомнили. И не только из-за просто- ты. Это соотношение часто используется в вопросах алгебраической независи- мости функций, при изучении свойств неявных функций, нелинейных заменах координат и т. п. Теорема 4. (Лаплас) Фиксируем p строк матрицы A. Тогда сумма произве- дений миноров порядка p, принадлежащих этим строкам, на их алгебраические дополнения равна определителю матрицы A. Доказательство. В частном случае, когда матрица имеет вид (18), теорема уже доказана: равен- ство (19) можно переписать в виде det A=M 1 2 … p 1 2 … p M 1 2 … p 1 2 … p = M 1 2 … p 1 2 … p A 1 2 … p 1 2 … p Рассмотрим теперь общий случай. Пусть i 1 , i 2 ,…, i p , где i 1 < i 2 <…< i p , — номера фиксированных строк. В разложение (17) определителя матрицы A входят произведения элементов минора M j 1 j 2 … j p i 1 i 2 … i p на элементы дополнительного минора M j 1 j 2 … j p i 1 i 2 … i p , где j 1 < j 2 <…< j p , причём никаких других членов в разло- жении определителя матрицы A нет. Чтобы вычислить знак при этих произве- дениях, переставим строки и столбцы так, чтобы минор M j 1 j 2 … j p i 1 i 2 … i p оказался в ле- вом верхнем углу матрицы и относительное расположение строк и столбцов до- полнительного минора M j 1 j 2 … j p i 1 i 2 … i p осталось неизменным. Для этого нужно совер- шить (i 1 − 1)+(i 2 − 1)+…+(i p − 1)+( j 1 − 1)+( j 2 − 1)+…+( j p − 1) перестановок, в результате которых определитель матрицы умножится на (−1) i 1 +…+ i p + j 1 +…+ j p Следовательно для каждого набора j 1 , j 2 ,…, j p , где j 1 < j 2 <…< j p , разложе- ние выражения (−1) i 1 +…+ i p + j 1 +…+ j p det A содержит слагаемое M j 1 j 2 … j p i 1 i 2 … i p M j 1 j 2 … j p i 1 i 2 … i p (см. текст перед теоремой 4), а потому разложение (17) определителя матри- цы A содержит слагаемое (− 1) i 1 +…+ i p + j 1 +…+ j p M j 1 j 2 … j p i 1 i 2 … i p M j 1 j 2 … j p i 1 i 2 … i p = M j 1 j 2 … j p i 1 i 2 … i p A j 1 j 2 … j p i 1 i 2 … i p Для завершения доказательства остаётся только перегруппировать слагаемые в сумме (17) так, чтобы в каждую группу входили произведения элементов мат- рицы с одним и тем же набором индексов j 1 , j 2 ,…, j p . □ Замечание. Разумеется все теоремы этого параграфа останутся верными, если вместо строк определителя рассматривать его столбцы. §24. Вычисление обратной матрицы. Формулы Крамера Рассмотрим квадратную матрицу A порядка n и построим по ней другую квадратную матрицу ̂A того же порядка n, поместив в позицию (i j) алгебра- ическое дополнение элемента a j i исходной матрицы. Т. е., если 49 A= ( a 11 a 12 ... a 1 n a 21 a 22 ... a 2 n a n 1 a n 2 ... a n n ) , то ̂A= ( A 1 1 A 1 2 ... A 1 n A 2 1 A 2 2 ... A 2 n A n 1 A n 2 ... A n n ) Матрица ̂ A называется матрицей, присоединённой к матрице A. Пример 1. Для матрицы третьего порядка A= ( − 1 2 1 3 1 1 − 2 −2 −3 ) присоединён- ная матрица ̂A= ( − 1 4 1 7 5 4 − 4 −6 −7 ) Вычислим произведение матриц A и ̂A. Элемент матрицы A ̂A, располо- женный на позиции (i j) равен ∑ k =1 n a i k A k j . В предыдущем параграфе было по- казано, что при i= j значение суммы равно det A, а при i≠ j — нулю. Та- ким образом, A ̂A=(det A)⋅E , где E — единичная матрица порядка n. К тако- му же выводу мы придём, рассматривая произведение ̂A A. Рассмотрим некоторые следствия равенств A ̂A= ̂A A=(det A)⋅E . 1. det A=0 В этом случае ̂A A=O . Нетрудно видеть, что равенство, например, первых строк матриц ̂A A и O можно переписать в виде векторного равенства A 1 1 a 1 * + A 1 2 a 2* +…+ A 1 n a n* = 0, где a i * — i-я строка матрицы A. Если алгебраическое дополнение хотя бы одного элемента первой строки матрицы A отлично от нуля, то последнее век- торное равенство означает линейную зависимость строк матрицы A. Итак, в случае ненулевой матрицы ̂A мы получили ещё одно доказательство трудной части свойства определителей №8, т. е. что из равенства det A=0 сле- дует линейная зависимость строк матрицы A. 2. det A≠0 Равенства A ̂A= ̂A A=(det A)⋅E означают, что матрица 1 det A ⋅̂ A является обратной к A. Таким образом, если det A≠0, то матрица A является обра- тимой и A − 1 = 1 det A ⋅̂ A. 50 В следующем параграфе будет доказана мультипликативность определителя (с. 52), т. е. что для любых квадратных матриц A и B одного и того же поряд- ка справедливо равенство det ( A B)=det A det B . Применяя это свойство к равенству A A − 1 = E , получим, что det Adet A − 1 = 1 и, в частности, det A≠0. В итоге мы можем считать доказанным следующий критерий существования матрицы, обратной к данной. Теорема 1. Матрица A обратима тогда и только тогда, когда det A≠0. Квадратную матрицу с ненулевым определителем называют также невыро- жденной. Теорема 1 означает, что все невырожденные матрицы обратимы и только они. В §3 (§7) мы получили так называемые формулы Крамера, выражающие ре- шение системы двух (трёх) линейных уравнений от двух (трёх) неизвестных че- рез определители. Обобщим этот результат. Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными { a 11 x 1 + a 12 x 2 + ...+a 1 n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ...+a 2 n x n = b 2 , a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ...+a n n x n = b n , матрица коэффициентов которой невырождена. Эта система в матричной записи имеет вид AX = B. В силу теоремы 1 матрица A обратима, поэтому матрич- ное равенство AX = B эквивалентно равенству X = A − 1 B. Первая компонента левого вектора равна x 1 , а правого — выражению A 1 1 b 1 + A 1 2 b 2 +…+ A 1 n b n det A Но сумма A 1 1 b 1 + A 1 2 b 2 +…+ A 1 n b n равна (см. теорему 2 и замечание из §23) опре- делителю матрицы, полученной из матрицы A заменой первого столбца столб- цом свободных членов. Обозначив эту матрицу через A 1 , получим равенство x 1 = det A 1 det A Аналогичные формулы получатся, если приравнивать другие компоненты ра- 51 |