1 Повсти в прве R3 отображения, осн понятия и классифик. Отображения
 Скачать 213.43 Kb.
|
|
1)Пов-сти в пр-ве R3: отображения, осн. понятия и классифик. Отображения. Пусть даны два экземпляра Rm и Rn евклидова пространства с ортонормированными базисами соответственно. Векторы и в этих пространствах представляются в виде разложений Определим на области функции переменных Тогда выражение при всех возможных значениях переменных задает отображение области в пространство специального вида, которое обозначим Функции называются компонентами или координатными функциями отображения . Если функции непрерывны, то отображение называется непрерывным; если функции дифференцируемы, то отображение называется дифференцируемым; если функции непрерывно дифференцируемы, то отображение называется непрерывно дифференцируемым. Если отображение дифференцируемо в каждой точке , то для матрицы линейного оператора имеем следующее выражение: Матрица (1) называется матрицей Якоби отображения Для случая преобразования : эта матрица является квадратной и обозначается а ее определитель называется якобианом преобразования. Матрицы Якоби и якобианы называются также функциональными матрицами и функциональными определителями, соответственно. 2) Пов-сти в пр-ве R3: опр-е поверхн. в пр-ве R3 ; касат. плоскость. Рассмотрим два экземпляра пространств с ортонормированными базисами соответственно. Векторы и в этих пространствах представляются в виде разложений Пусть - некоторая область и - непрерывно дифференцируемое отображение. Множество значений отображения называется наз. (2-мерной) элементарной поверхностью в пространстве Линейная оболочка векторов репера называется касательной плоскостью поверхности в точке Задавая касательные векторы к соответствующим координатным линиям поверхности в каждой точке поверхности в виде можем записать параметрические уравнения касательной плоскости в виде 3) Пов-сти в пр-ве R3: 1-я квадр-я форма пов-сти; формулы для длины пути и угла между путями на пов-сти. Пусть – некоторая поверхность, порождённая непрерывно дифф-ым отобр-ем . Квадратичная форма (1) назыв-ся первой квадр-ой формой, или римановой метрикой на поверхности. Первая квадр. форма (1) по построению явл. положительно определённой, так как определитель её матрицы – это определитель Грама для лин. независ. системы векторов. Если известны ф. , то подстановка в формулу приводит к след. результату для длины пути на поверхности: Для двух путей, пересекающихся в т. M повер-ти , с помощью первой квадр. формы, если известны ф. , можно вычислить косинус угла между касат-ми векторами путей по формуле: 52) Лин. однор. сист. обыкн. дифф. ур-й: общ. реш. лин. однор. сист. обыкн. дифф. ур-й. Если линейная однородная система уравнений имеет в промежутке t (a,b) фундаментальную систему решений , то линейная комбинация , где - произвольные постоянные коэффициенты, являясь решени- ем (4) при любых значениях коэффициентов, будет общим решением системы (4) в области t (a,b). 4) Пов-сти в пр-ве R3: неявн. ур-я пов-сти; множества уровня Неявное ур-е гиперповерхности в пр-е R3 x3 = (x1, x2) называется неявным уравнениям поверхности, разрешённым относительно координаты x3,и которое можно переписать в виде F(x1, x2, x3)º j3(x1, x2)- x3 = 0 – неявным ур-ем повер-и, неразрешённым относительно координат. Рассмотрим , , По непрер. диф. ф. , : ) ) ) ) перепишем в виде СЛАУ Сист однозн-о разрешима если т.е якобиан преобраз-ия имеет r=2. разрешимость приведённой системы возможна только в достаточно малой окрестности точки т.е явл локальной. Опр. Пусть -ф. задающая поверх в пр-ве посредством уравнения x3 = (x1, x2). Тогда ( мн-ва {( ,x2) (x1,x2)=C} наз множествами уровня ф. Число из опр. Наз.высотой МУ, а о самом МУ говорят как как о МУ высоты c. 6) Базисн. векторн. поля и криволин. коорд. в 3-х мерном евкл. пр-ве: отображ-я и криволин. коорд. в евкл. пр-ве; лемма о матр. Якоби. Для координат зададим отображение вида: – гомеоморфизм. Наложим обратное отображение для криволинейных координат : , ,.., . Лемма Матрицы Якоби отображений взаимно обратны и соотв. Якобианы не равны нулю. Док-во Опред. отображение . Тогда . Откуда видно матрицы взаимно обратны и несобственные: 5) Пов-сти в пр-ве R3: норм. вектор пов-сти, задан. неявным ур-ем; ур-я нормали и касат. плоск. Нормальный вектор поверхности, заданной неявным уравнением: Опр. Вектор , ортогональный касательной плоскости поверхности в точке М, соответствующей значению параметрического вектора , называется нормальным вектором плоскости в этой точке. Прямая линия с направляющим вектором называется нормалью поверхности F ( в точке , а сам вектор называется нормальным вектором поверхности. Уравнения нормали и касательной плоскости: – т. на пов-ти, а – т. на кас-ой плоскости пов-ти в т. . Тогда и кас. векторы к гауссовским координатным линиям пов-ти в т. образуют ЛЗ систему. Записывая вектор в виде: , приравнивая нулю опред-ль, получаем уравнение кас-й плоскости пов-ти, заданной уравнением в пространстве : = 0 Канонич. уравнение нормали в т. 7) Базисн. векторн. поля и криволин. коорд. в 3-х мерном евкл. пр-ве: базисн. векторн. поля, лемма о лин. независ. сист. базисн. векторн. полей натур. Базиса, ортогональность Если радиус-вектор явл. ф-цией криволинейных координат, то есть . то для дифференциала радиус-вектора имеем d . -введены новые векторы, которые зависят от криволинейных координат, явл. векторными полями. Лемма векторные поля при условии образуют базис Док-во достаточно показать, что векторы декартова базиса { }можно представить в виде разложения по векторам системы { }. Составим СЛАУ вида = которая разрешима относительно и решение представится в виде: . Если в каждой т. пр-ва вып. усл.: ( )=0, то натуральные базисные поля ортогональны. Док-во: = 8) Базисн. векторн. поля и криволин. коорд. в 3-х мерном евкл. пр-ве: криволин. коорд. в евкл. пр-ве; натура. и взаимн. базисн. векторн. поля; контравар., ковар. и физ. комп. Для координат зададим отображение вида: – гомеоморфизм. Величины называются криволинейными координатами точки Q в области . Радиус-вектор точки в пространстве (или в пространстве ) можно рассматривать как вектор-функцию декартовых или произвольных криволинейных координат. Если радиус-вектор является функцией криволинейных координат то для дифференциала радиус-вектора имеем где по определению положено Введенные определением (3) векторные поля – это базисные векторные поля криволинейной системы координат. Линейная независимая система векторных полей называется натуральным (локальным) или ковариантным базисом криволинейной системы координат, а сами векторные поля – натуральными базисными векторными полями. В свою очередь, совокупность параметров , удовлетворяющих соотношениям (2), называют натуральными (локальными) координатами криволинейной системы координат.Наряду с базисными векторными полями натурального базиса рассматриваются и базисные векторные поля взаимного базиса, которые определяются формулами .Каждое трёхмерное вектр. поле, заданное в криволинейной системе координат, м.б. в виде разложения по ковариантным векторным полям натурального базиса или по контравариантным . Если натуральный базис ортогональный, то нормируя натуральные базисные поля, получаем орты -наз. физическим базисом Компоненты вектора в физическом базисе м. получить по формуле: 55) Лин. неодн. сист. обыкн. дифф. ур-й: ф-ция Коши и общ. вид реш-я задачи Коши для неодн. сист. лин. обыкн. дифф. 1-го пор. Т: Если коэфф. и правая часть неоднород. сист. уравн. явл. непрерыв. ф. на всем промежутке (а,b) изменен. независимой переменной t и известна ФСР соответсв. однород. сист. уравнений: то решение задачи Коши: (9) задается формулой Коши: (10) условие теоремы, сост. в том, что ФСР соответ. однород. сист. должна быть известна, явл. весьма существенным. При выполнении этого усл. для решения задачи Коши (9) можно прим. формулу Коши (10). Для общ. случ. однород. сист. уравнений с перемен. элем. матрицы P(t) (коэфф. системы) фунд. сист. реш. может быть найдена только в искл. случаях. 9) Базисн. векторн. поля и криволин. коорд. в 3-х мерном евкл. пр-ве: ортогон. сист. криволин. коорд. в 3-х мерн.евкл. пр-е (полярн., цилиндр. и сферич. сист. координат). Полярные координаты r- полярный радиус, - полярный угол. Якобиан равен: det . Полярная сис-ма коорд-т не явл-ся регулярной, кроме того, не является взаимно однозначный преобр-ием пл-ти в пл-ть , т.к. точки и совпадают. Орты базисных вект-х полей полярной сис-мы коорд-т выражаются через орты декартовой сис-мы коор-т след. форм-ми: Цилиндрические координаты задаются отобр-ем: , , Якобиан преобразования: det Орты базисных вект-х полей илиндр-й сис-мы коорд-т выражаются как: Сферические координаты: : Якобиан преоб-я : det ;r-радиус, - долгота, - широта. Орты базисных вект-х полей илиндр-й сис-мы коорд-т выражаются как: . 12) Осн. теор. интегр-я в пр-ве R3: опр-е и св-ва квадр. плоск. мн-в. Мера µ(G) множества существует в том и только в том случае, если для любого сколь угодно малого ɛ ˃0 найдутся такие два многоугольника и , что для мер ограниченных ими множеств выполняется условие . Мера области наз. также площадью измеримой области G, а сама измеримая область G наз.квадрируемой. Область измерима (квадрируема) в том и только в том случае, если её граница имеет меру нуль. Можно дать аналогичные определения и сформулировать аналогичную теорему для случая области G в трёхмерном пространстве , если формально заменить существительное “многоугольник” существительным “многогранник”, а существительное “площадь” – существительным “объём”. В случае, когда , мера измеримой области G называется её объёмом, а сама область называется кубируемой. 10) Криволин. интегралы 1 рода: опр-е кривол интегр. 1-го рода и его свойства; вывод ф-лы выч-я криволин. интегр. Опр.: Если при неограниченном измельчении разбиения промежутка изменения параметра t предел послед-ти интегр-х сумм: , то он называется криволинейным интегралом первого рода от ф. по замкнут. пути и обозначается (1). Свойства: Теорема. Пусть и - замкн. п. в , . Тогда, если в точках пути определены ф. и , для которых интеграл (1) то справедливы утверждения: 1) : . 2)Если = то . 3) Если путь - это сумма подпутей: то есть то . 4)Значение крив. ин-ла 1 р. , вычисл. по замкн. п. не зав. от направления обхода: . 5) Значение крив. инт. 1 р. выч. по замкн. контуру Г, не зав. от начальной точки интегрирования. Вывод формулы: кр. инт. 1 р. сводится к обыкновенному интегралу. Длина пути вычисляется: . частичного пути : . . По т. о ср. зн. интегрального исчисления для опред. инт-ла имеем: . Это интегральная сумма Римана для непрерывной на промежутке ф. . Измельчая разб. промеж-а измен. Парам. и, переходя к приделу при услов. получаем: . Обобщ. на сл. замкн.п.в: Естест. параметр-ия путь задан неявным ур-ем y=y(x): x=t. . путь задан в y=y(x),z=z(x). 11) Криволин. интегралы 2 рода: : опр-е кривол интегр. 2-го рода и его свойства; вывод ф-лы выч-я криволин. интегр. Определение : Если при неограниченном измельчении разбиения промежутка изменения параметра существует предел последовательности интегральных сумм, то он обозначается и называется криволинейным интегралом второго рода. Cв-ва кривол-го интеграла 2го рода: 1) 2) Если , то 3) Если путь представлен в виде объединения подпутей 4) За положительное выбирается такое направление обхода, при котором область, заключенная внутри контура, остается слева от текущей точки.5) Значение интеграла зависит от начальной точки интегрирования. .Вывод формулы: Используя теорему Лагранжа, имеем , где . Далее . Мы пришли к пределу интегральной суммы для функции . Тогда видно, что формула для вычисления криволинейного интеграла второго рода по пути с гладкой параметризацией имеет вид: Различные случаи параметризации: Если путь задан неявными уравнениями y=y(x),z=z(x) , то переменная x является параметром и формула будет такая: , где - пределы изменения переменной x. Для переменных параметров y и z формулы получаются аналогично. 13) Осн. теор. интегр-я в пр-ве R3: опр-е и св-ва меры плоск. мн-в. В диф. геом. пов-ть опр. как мн. зн. непр. диф. отобр. дву. обл. в . Если обл. замк. и огр-ая (компак.), то наз. простой пов.(пв). Пусть пв задана вект. парам.(пар) ур-м или, что то же самое, соотв-ми скал. ур-ми где u и v – коорд. пар век. в базисе пар пр-ва . Рассм. на пов-ти “элемент. крив. паралл.”(экп) – отобр. Элем. разбиения в пар пр-ве с дек. сист. коорд. в евкл. пр-во .В пар пр-ве верш. элемент. прям-ка разб. имеют коорд: Соотв. им при отобр. верш. крив. паралл. имеют рад.-век. Век. и , явл. касат. век. к гаусс. коорд. лин., проход. ч-з т. пов-ти. для дифф. длины дуги спр-ва форм. найд. экп, для чего зап-ая дифф. длин дуг гаусс. коорд. линий , Из формул видно, что длины , отл-ся от длин сторон экп на беск. мал. велич. при . Поэт. счит., что площ. экп прибл. равна площ. dS паралл., постр. на век.х . Полученное выражение называется Элементом площади меры на пов-ти. Площадью простой пов-ти наз. двойной инт. 44) Ур-я высших пор.: ур-я, не сод. в прав. части иск. ф-ции и еѐ послед. пр-ных до порядка n-1 Такие уравн. имеют вид , где Введем новую переменную: (2), Тогда , Теперь уравн. (1) примет вид , Порядок уравнения понизился на k единиц. Если можно найти общее решение уравн. (3) , то с учетом обозначений (2) приходим к уравнению , (4) Уравнение (4) имеет вид и для нахождения его решения можно воспользоваться формулой: . Общее решение реш. уравнения (1) принимает вид: . 14) Осн. теор. интегр-я в пр-ве R3: понят. верхн. и нижн. интегр. сумм от ступенч. ф-ций. Двойным интегралом от ступенчатой функции Т, определённой на носителе D, называется действительное число: I(T) = (Pij), где (Pij) = (xi – xi-1) (yj – yj-1). Двойной интеграл I(T) = (Pij) от ступенчатой функции T(x,y) обладает следующими свойствами: 1) если T – ступенчатая функция и ∈ R1, то I( T) = = I(T); 2) если T1 и T2 – две ступенчатые функции, определённые на носителе D, то I(T1+T2) = T1(x,y) + T2(x,y)] = T1(x,y) + T2(x,y) = I(T1) + I(T2); 3) если (∀(x; y) ∈ D) T(x,y) ≥ 0, то I(T) = ≥ 0; 4) если T1 и T2 – две ступенчатые функции, удовлетворяющие условию (∀(x; y) ∈ D) T1(x,y) ≤ T2 (x,y), то ≤ ; 5) если , то ≤ 18) Осн. теор. интегр-я в пр-ве R3: опр-е и выч-е тройного интеграла в дек. сист. коорд.; замена перем.в тройном интеграле. Если последовательность интегральных сумм имеет предел при измельчении разбиения области , то этот предел называется тройным интегралом от функции по области и обозначается Если для функции выполнены условия существования двойного интеграла, то справедлива, например, формула перехода от двойного интеграла к повторному интегралу Из последней формулы следует формула вычисления тройного интеграла через последовательное вычисление трёх (одномерных) определённых интегралов: 15) Осн. теор. интегр-я в пр-ве R3: опр-я и св-ва двойн. интеграла от непрер. ф-ции. Общий предел последовательностей нижних и верхних интегралов Дарбу и для непрерывной на компактном носителе функции называется двойным (двукратным) интегралом от функции по замкнутому и ограниченному носителю . Двойной интеграл от интегрируемой на компактном множестве функции обладает следующими свойствами: 1) если – некоторое действительное число, то 2) Если функции и интегрируемы на , то ; 3) Если и , то ; 4) Если выполняется неравенство , то 5) если функция непрерывна на компактном множестве , то найдётся такая точка , что 41) Обыкн-е дифф. ур-я 1-го пор.: лин. обыкн. дифф. ур-я 1-го пор.; мет. вар-ции пр. пост |