1 Повсти в прве R3 отображения, осн понятия и классифик. Отображения
 Скачать 213.43 Kb.
|
|
32) Осн. тенз. исч-я: опр-е осн. операц. тенз. алгебры; осн-я т-ма тенз. алгебры 1)Определение суммы тензорных полей. Пусть в пространстве размерности заданы 2 тензорн. поля одинак. строения (1), , где и – не обязательно ортонорм.базис.вект. Определим в каждой точке пространства поле объекта типа компоненты которого вычисляются как суммы соответствующих компонентов тенз. полей (1) и (2): (3). Поле объекта (3) называется суммой тензорных полей(1) и (2).( В дальнейшем используем обозначения (1), (2) вместо записи тензорных полей). 2)Произведение тензора на скаляр . Пусть в пространстве размерности задано поле тензора типа (1) и – произвольный скаляр. Объект компонент. котор. в каждой т.простраств. находятся как произв. тенз.поля на , называются произв тенз. на скаляр. 3)Умнож.тензоров. Пусть в пространстве размерности n заданы 2 тенз.поля типов и : (1) и . Определим в кажд. точ. пространства поле объекта как тензор. произведение тенз.полей (1) и (4) . (5) Поле (5) наз.тенз.произ.полей (1) и (4). Произведение некоммутативно. 4)Свертка тензора. Пусть в простр. размер n задано поле тензора (1). Определим в кажд. точ. Пространства поле объекта, компоненты которого вычисляются по формуле = (6). Поле объекта 6 называется свёрткой тенз. поля по паре индексов ( ). Результ. свертки – след. 5)Подстановка индексов. Пусть в простр.разм. задано поле типа (1). Выберем s индексов, расположенных внизу . Совершим перестановку Говорят, что объект получен из исх.тензора (1) при помощи операции подстановки индексов Основн. т. тензорн. алгебры. В результате операции сложения тенз., умножения тензора на скаляр, тензорного умножения, свёртки тензоры и подстановки индексов тензора снова получаются тензоры. Док-во: покажем что операция тенз.умнож. тензоров приводит снова к тензору. Рассмотрим геометрическ.(или физическ.) объект, координаты которого получены путём умножения координат тензоров типа (1) и (4) = (7) причём для произв.тензор. примем порядок следования индексов такой же, как и в произв.тензор.сомножителей. Проверим, что (7) при перех. к новой координат.системе преобр.по тензорному закону.Выпишем тензорный закон преобр. для сомножителей (7) (8) (9) .Перемножая (8) и (9), и учит.(7) в старой и новой координатной сист.получаем = (9). Получ.результ. доказ,что в кажд.точке координатной сист. Величины (9) ялвяются коорд. одного и того же тензора. Следствие из теоремы. В любой точке n-мерного пространства тензоры типа (k,p) образуют относительно операций сложения тензоров и умножения тензора на скаляры векторное пространство размерности . 33) Осн. тенз. исчисл.: инвар. тенз.; собст. векторы и главн. компон. симметр. тензора второй валентности. . Такие функции - инварианты тензора. Инварианты тензора являются или числами, или числовыми функциями точек пространства. Составим инвариант для векторного поля . Скалярный квадрат .Полученная величина - инвариант. что и доказывает инвариантность скалярного квадрата вектора. Рассмотрим тензор специального вида где . где мы воспользовались свойствами векторных полей контравариантного (взаимного) базиса. Полученная свёртка -инвариант. Инвариантами будут также и свёртки следующего вида: Рассмотрим в пространстве вектор смещения из точки в близкую точку M и произвольный симметрический тензор второй валентности .. . Найденная свёртка -инвариант, то есть где C – некоторое число. Так как в левой части уравнения имеем квадратичную форму, то в каждой точке малой окрестности точки М0 это уравнение определяет некоторую поверхность второго порядка, которая называется тензорной поверхностью. Собственные векторы оператора определяются как Трактуя тензор второй валентности как оператор, и переписывая левую и правую части этого уравнения, соответственно, в виде , получаем систему уравнений, для определения собственных векторов или в стандартной матричной форме . Так как тензор симметрический, то в каждой точке существует решение системы уравнений , которое определяет ортонормированный базис. В указанном базисе где i=1,2,3, и уравнение тензорной поверхности приводится к каноническому виду . Базис, в котором уравнение тензорной поверхности приводится к виду (2.24), определяет систему декартовых координат, оси которой называются главными осями тензора Три в общем случае различные компоненты тензора называются его главными компонентами. 34) Осн. тенз. исч-я: транспонир. и ортогон. тенз. поля; лемма о связи компон. тенз. поля и транспонир. тенз. поля Если в пространстве фиксирован ортонормированный базис , то разница между контравариантными и ковариантными компонентами тензоров исчезает и для поля тензора, например, второй валентности, можем записать Определение: Пусть в пространстве задано поле тензора второй валентности . Транспонированным тензором называется поле тензора второй валентности такое, что для любых двух векторных полей справедливо соотношение . (1) Лемма о св. компонент. В ортонормированном базисе пространства компоненты тензорного поля второй валентности связаны с компонентами транспонированного тензорного поля соотношениями = . Доказательство. Для нахождения связи между компонентами тензоров положим , = , = , = ,где -ортонормированные (декартовы) базисные векторные поля. Вычисляя левую и правую части равенства (1), получаем: * = * = = , * = * = = . Подставляя результаты вычислений в , получаем , что и требовалось доказать. Очевидно, что для симметрического тензорного поля справедливо равенство = Определение: Ортогональным тензорным полем называется такое тензорное поле , что для любых двух векторных полей справедливо равенство . Таким образом, ортогональное тензорное поле (валентности 2) сохраняет скалярное произведение векторных полей и, следовательно, является ортогональным оператором в пространстве с ортонормированным базисом . Поэтому оно обладает всеми известными из линейной алгебры свойствами ортогональных операторов. 36) Осн. тенз. исч-я: деформ. в спл. среде, поле тензора деформ и напряж., усл-я равновес. Пусть MN- малый элемент стержня, концы кот-го в недеформированном сост-ии занимают положения M(x) и N(x+Δx). Под дейс-ем силы F стержень растягивается, и т. M и N занимают положения M’(x+u(x)) и N’(x+Δx+u(x+Δx)). 1)Определение: Деформацией стержня в окр-ти т. M с коор-ой x назыв. величина . Опр: Физч-ий объект второй валентности, который в каждой декартовой сист. Коорд. представляется девятью компонентами, называется тензором деформации. Т.о, деформированное сост. сплошной упругой среды опис-тся полем симметрических тензоров второй валентности. 2)Опр: Напряжение называется величина, равная (*) Опр : Двухвалентный тензор с компонентами , смысл которых установлен в формуле (*), наз. тензором напряжений. 3) Условия равновесия: если мат. тело наход. в равновесии, то результ-ая сила и результ-ий момент сил, дейст-ий на произвольный выделенный объем внутри тела, равен 0 вектору. Пусть напряжения в теле вызваны силами, приложенными к поверхности тела, то по 3 закону динамики рез-ая сила равна 0. Поэтому сила, дейс-ая на выделенный объем, равна сумме сил, дейст-их со стороны окр. среды. Рез-ая сила равна . А)По т. Гаусса-Остроградского формула принимает вид Подынт-ая функция fi= - это плотность силы, то есть сила, действ. на единицу объема деф-го тела. Б) так как момент силы относ. начала системы координат M=[r,T], то он явл. антисимметричным тензором второй валентности. Оконч. вид формулы 48) Ур-я высших пор.: лин. неодн. дифф. ур-я 2-го пор. с пост. коэфф., док-во т-мы об общем реш. неодн. ур-я. Это уравнение вида: -однородное уравнение Т. Общее решение лин-го неоднородного обык-го дифф-го урав. второго порядка (3.34) равно сумме общего решения соотв-го однородного уравнения (3.35) и некоторого частного решения неоднородного уравнения (3.34). Док-во: Пусть y(x)=C1y1(x)+C2 y2(x) – общее решение однородного уравнения (3.35), то есть выполняется тождество а z(x) – некоторое частное решение уравнения(3.34), то есть, для него также выполняется аналогичное тождество Тогда, подставляя в уравнение (3.34) функцию u = y(x)+ z(x), приходим к равенству =0 = f (x) из которого и следует доказательство теоремы. 37) Обыкн-е дифф. ур-я 1-го пор.: осн. опр-я; поле напр.; т-ма сущ-я и единст. реш-я. Основные определения: Обыкновенное дифф.ур-е 1-го порядка, не разрешённое относит-но производной искомой ф. , имеет след. общий вид: где – известная ф.. Каждая ф. , кот. при подстановке в ур-е (1) обращает его в тождество, наз. реш-ем этого ур-я, а её график – интегр-ой кривой ур-я (1) Ф. наз. общим реш-ем ур-я (1), если независимо от значения пост-ой подстановка этой ф. в ур-е (1) приводит к тождеству. Уравнение наз-ся интег-ом дифф. ур-я (1), если кажд. ф. , опр-ая этим ур-ем и имеющая непр-ую 1-ю производную, явл. реш-ем ур-я (1). Если можно ур-е (1) разрешить относ-но производной, то ур-е принимает вид где -новая изв-ая ф. Поле направлений. Пусть в области координатной пл-ти задано ОДУ вида (2). Так как значения производной – это значения угла наклона кас-ой к графику ф. (интег-ой кривой) в т. M графика с коорд-ми , то ур-е (2) опр-ет направ-я кас-ых к интег-ым кривым в этой т.. Эти напр-ия изображаются отрезками прямых линий, проходящих через т-ки под соотв-ими углами к полож-ому напр-ию оси т.о., чтобы вып-ось усл. Совокупность таких напр-ий образует поле напр-ий дифф. ур-я (2). Геом-ое место т-ек пл-ти с одинаковым напр-ем кас-ых наз-ся изоклиной. Ур-е изоклины имеет вид: , где – заданный угловой коэфф. Т-ма: Пусть в некоторой окрестности точки вып-ны след-е усл-я: 1) функция непр-на в каждой т. окр-сти как ф-я двух перем-ых ; 2) частная произ-ая в каждой т. окрестности огр-на. Тогда сущ-ет един-ое реш-е ОДУ , опред-ое в некот-ой -окр-ти т. , удовл-щее начальному усл-ию , причём это реш-е единственно. 49) Ур-я высших пор.: метод Лагранжа получ. общ. реш. неоднор. ур-я 2-го пор. с пост. коэфф. Рассмотрим теперь метод Лагранжа получения общего решения неоднородного уравнения ФСР однородного ур-я (3.5) соответствующего неоднородному уравнению (3.4) (3.5) Тогда общее решение y(x)= (x)+ (x) причём вронскиан W[ ]= для любых x a, b) z(x)= (x)+ (x), где = (x)+ + (x)+ Потребуем чтобы выполнялось условие лагранжа (x)+ (x)=0 диф-я несколько раз группируя слагаемые имеем + Предполагая что решение системы найдено +A1, где A1 A2 произвольные постоянные +A2 z(x)=A1 + A2 + dx+ 38) Обыкн-е дифф. ур-я 1-го пор.: ур-я, не сод. в прав. части иск. ф-ции и независ. перем; Их реш.; Урав-ия 1-го порядка, не содержащие в правой части искомой функции. Эти уравнения имеют следующий вид: (1.1) Уравнение (1.1) является простейшим ОДУ первого порядка. Если f(x)-функция, непрерывная на некотором открытом промежутке (a,b) то по определению неопределённого интеграла получаем решение уравнения (1.1): (1.2) Это общее решение уравнения (1.1) в области Если интеграл в (1.2) находится в элементарных функциях, то говорят, что уравнение (1.1) интегрируется в элементарных функциях, в противном случае говорят, что это уравнение интегрируется в квадратурах. Так как первообразная имеет также вид (1.3) где x0ab, что проверяется дифференцированием то общее решение, исходя из формул (1.2), (1.3), можно записать в форме Коши: (1.4) Первообразная вида (1.3) называется первообразной Барроу. При x = x0 Поэтому формула (1.4) принимает вид (1.4’) Это другая форма записи общего решения урав-ия (1.1). Эта же функция (1.4) является и решением задачи Коши Обозначим решение (1.4) так (1.6) Так, например, решение нулевой задачи Коши записывается в виде: Урав-я 1-го порядка, не содержащие в правой части независимой переменной. уравнения имеют вид: Пусть ф. f(x) непрерывна на промежутке y c,d,причём нигде на этом промежутке не принимает нулевого значения, то есть, (yc,df(x)≠0. Тогда ура-ие (1.7) переписывается в виде (1.8) Интегрируя последнее ура-ие, получаем: (1.9) Или (1.10) Где y0c,d Формулы (1.9) или (1.10) дают общий интеграл уравнения (1.7). 39) Обыкн-е дифф. ур-я 1-го пор.: ур-я с разд. и раздаляющ. перем; Их реш-е Уравнения с разделёнными переменными. Уравнение вида (2.16) называются уравнением с разделёнными переменными, так как левая и правая части этого уравнения зависят от разных переменных. Пусть X(x) и Y(y) функции, непрерывные при всех допустимых значениях независимой переменной x . Тогда уравнение (2.16) записывается в виде (2.17) В силу равенства (2.17) заключаем, что (2.18) Формула (2.18) даёт общий интеграл уравнения (2.16). В формуле (2.18) значения берутся из области определения и непрерывности функций X(x) и Y(x). Вместо формулы (2.18) можно записать общий интеграл уравнения (2.16), используя неопределённые интегралы: (2.19). Решение задачи Коши находится из (2.18), если положить Дей- ствительно, подстановка в (2.18) даёт для произвольной постоянной значение C 0 . Следовательно, имеем (2.20) Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнения, имеющие вид (2.21) Называются уравнениями с разделяющимися переменными, так как они могут быть приведены к виду уравнений с разделёнными переменными (2.16). Действительно, если все функции в (2.21) непрерывны и то, деля обе части уравнения (2.21) на это произведение, получаем: (2.22) . Применяя формулу (2.18), находим общий интеграл уравнения (2.21) в виде : (2.23) .Формулу общего интеграла (2.23) можно записать, используя неопределённые интегралы: (2.24) 40) Обыкн-е дифф. ур-я 1-го пор.: ур-я с однор. прав. частью и их реш-е. Функция нескольких переменных называется однородной функцией степени k,если при подстановке в формулу функции произведений имеет место равенство В частности функция двух переменных называется однородной функцией нулевой степени,если выполняется условие (2).Всякая однородная функция нулевой степени зависит только от отношения своих аргументов. Дифференциальное уравнение вида (4),где и -однородные функции одной и той же степени,называется обыкновенным дифф. уравнением с однородной правой частью. Перепишем (4) в нормальном виде: .Полагая ,перепишем (5) в виде (6) Если функция определена и непрерывна на промежутке (a,b),функция определена и непрерывна в области,определенной двойным неравенством .Из этого неравенства следует,что при при .Область уравнения: . Каждая прямая линия с уравнением при и является изоклиной уравнения(6) так как наклон отрезков поля направлений в любой ее точке одинаков: .Все интегральные кривые уравнения пересекают полупрямую с уравнением под одним и тем же углом. Введем новую неизвестную функцию (7),где .Дифференцируя по x: и подставляя результат в (6) получим или (8).Уравнения (8)-это уравнение с разделяющими переменными. Если ,то получаем + .Используя формулу ,получаем .Возвращаясь к исходной к переменной ,получаем ,где 42) Ур-я высших пор.: осн-е опр-я, задача Коши, т-ма сущ-я и единст. реш-я задачи Коши. Ур-ие вида F =0 (1) называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ)порядка n. Таким образом, порядок дифференциального уравнения –это наивысший порядок входящей в него производной. Каждая ф-ция y=y(x) которая при подстановке в уравнение(1) обращает его в тождество, называется решением этого уравнения. График решения y=y(x) наз. интегральной кривой ОДУ. Уравнение Ф(x,y)=0 (2)наз. интегралом ур-я (1), если кажд.ф-я y=y(x), опред-ая ур-ем (2) и имеющая непрерывные производные , явл.решением ур-ия (1). График ф-ии y=y(x), опред-ой ур-ем (2) также наз. интегральной кривой. Если ур-ие (1) разрешено относительно старшей производной , то оно имеет вид =f( где f- известная ф-ия.Форма записи ур-ия (3) наз. нормальной формой ур-я порядка n. Любое ОДУ имеет бесконечное множество решений. Для выделения конкретного решения ставятся начальные условия. Для уравнения (3) такие условия имеют следующий вид: y = ; = ;…; (4) В правых частях (4) стоят числа . Смысл задания начальных условий –выделение из бесконечного множества решений ОДУ (3) единственного решения , интегральная кривая которого проходит через точку , таким образом, чтобы произвольные в этой точке принимали заданные значения (4) . задача решения ур-я (3) при начальных условиях (4) наз задачей Коши теорема Если ф-я в правой части ур-я (3) непрерывна в некот. Окр. Начальной точки ( пр-ва и имеет в этой окрестности непрерывные частные производные по переменным y, , то ур-ие (3) имеет и притом единственное решение y=y(x), удовлетворяющее начальным условиям (4) 43) Ур-я высших пор.: ур-я, не сод. в прав. части иск. ф-ции и их реш-е. ОДУ вида(*) где f(x)– известная функция, непрерывная на некотором промежутке изменения независимой переменной не содержит в правой части иско- мой функции и является простейшим ОДУ порядка n Решение уравнения (*) можно найти, последовательно понижая порядок производной. и проинтегрируем последнее уравнение один раз, получим: , . Интегрируя последнее уравнение, получаем , Интегрируя получим: продолжая : Полученная формула даёт общее решение уравнения (*) в n- мерной области, определённой условиями a Уравнение (*) можно проинтегрировать и с помощью интегралов с переменным верхним пределом. Цепочка интегрирований имеет вид: ………………………………….. (**) Справедлива ф. Дирихле : Заменяя в (**) первое слагаемое по формуле , получаем общее решение уравнения (*) в виде: (2). В этой ф. первое слагаемое – это частное решение уравнения (*), удовлетворяющее следующим нулевым начальным условиям: Так как произвольные постоянные величины, в формулах (1) и (2) отношения вида можно заменить величинами (умножение произвольной постоянной на любое действительное число, равно как и добавление к ней произвольного числа, не влияет на её“произвольность”). 45) Ур-я высших пор.: осн-е понят. теор. лин. обыкн. дифф. ур-ий высш. пор. ; Действие этого оператора на функцию определяется правилом: ; коэффициенты k=0,1,2…n) – известные функции, непрерывные на промежутке изменения независимой переменной, причём ; Уравнение вида (*); где g(x) – заданная на соответствующем промежутке изменения независимой переменной непрерывная функция, называется линейным неоднородным обыкновенным диффуром порядка n, а уравнение – линейным однородным обыкновенным диффуром порядка n, соответствующим неоднородному уравнению (*) ; Запишем уравнения в развёрнутом виде: Общее решение уравнений зависит от n произвольных постоянных и имеет вид Если – любые решения уравнения , то их линейная комбинация также является решением этого уравнения при любых значениях коэффициентов линейной комбинации. Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство сводится к подстановке y(x) в уравнение и учёту того, что каждая функция удовлетворяет этому уравнению. Линейно независимая на промежутке (a,b) система из n решений линейного однородного дифференциального уравнения называется фундаментальной системой решений этого уравнения в промежутке(a,b ). 46) Ур-я высших пор.: лин. однор. дифф. ур-я с пост. коэфф., д-во леммы о лин. независ. сист. ф-ций Пусть дано лин неоднородное диф-е ур-е поряд- ка с пост коэф-ми которое, разделив обе части на , запишем в приведённой форме , где введены обознач: . Соотв однородное ур-е имеет вид . Сист. ф. линейно независима на любом промежутке . Док-во: Сост из ф-ий сист лин комбинацию и потребуем, что- бы её значением было число нуль: Полагая в полученном тождестве , получим . Дифференцируя тождество по один раз, и полагая , получим: . Дифференцируем тождество два раза и полагаем , получим . Продолжая процесс дифференцирования до получения производных по- рядка n 1 включительно, получим . Объединим получ р-ва в сист лин алг ур-ий относительно коэф-в : Это однородная СЛАУ порядка , причём её опр при усл не равен нулю: . Из критерия совместности однородной СЛАУ следует, что полученная система уравнений совместно тривиально, следовательно и система функций линейно независима 47) Ур-я высших пор.: характерис. ур-е, 3 случая сущ-я корней характ. ур-я. коэффициентами соответствующее ему однородное уравнение (*) Выясним, при каких условиях функция вида является решением однородного уравнения Для этого дифференцируем эту функцию два раза подставим найденные производные и саму функцию в уравнение, получим После умножения обеих частей на приходим к квадратному уравнению относительно коэффициента k Уравнение называют характеристическим уравнением для уравнения . Если характеристическое уравнение решаемо, то функция является решением соответствующего однородного дифференциального уравнения . Возможно три случая существования корней характеристического уравнения. 1.Если корни характеристического уравнения вещественные и простые, то общее решение в соответствии с и теоремой 3.5 имеет вид ; 2.Если характеристическое уравнение имеет кратный корень, то общее решение в соответствии с и теоремой 3.5 имеет вид ; 3.Если характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни, то общее решение в соответствии с и теоремой 3.5 имеет вид 50) Сист. обыкн. диф. ур-й: опр-е и разл. формы записи системы ОДУ, однор. и неоднор. сист, … Система соотношений вида определённых на промежутке (a,b) изменения независимой переменной t, где искомые ф-ции независимой переменной t а ф-ции (k=1,2,3..n) известные ф-ции своих аргументов, наз-ся системой ОДУ 1го порядка. Сис-ма непрерывно дифференц-х на промежутке (a,b) ф-ций наз-ся решением системы ОДУ если при подстановке этих ф-ций в уравнения системы последние обращаются в тождества на всём промежутке (a,b) изменения независимой переменной система вида (0.1) называется системами ОДУ в нормальной форме. Если функции в правой части системы ОДУ зависят от искомых функций, то (*) или I (0,2) где L=I +P(t)= + | = , | = Видно, что n скалярных дифференциальных уравнений системы ОДУ (*) первого порядка + = (t) заменили одним векторным диффуром, которое явл-ся системой скалярных диффуров 1го порядка. Фазовое пространство и фазовые траектории. Запишем нормальную систему ОДУ в виде. Пусть t время, а координаты точки в пр-ве Пр-во переменных - фазовое пр-во Каждое решение системы задает движение , а путь который она проходит называется фазовой траекторией Теорема существования и единственности решения нормальной системы ОДУ. Если правые части урав-й сис-мы (0.1) непрерывны в некоторой окр-и точки ( ) и имеют в этой окр-ти непрерывные частные производные по переменным то система ОДУ (0.1) имеет единственное решение Общее и частное решение нормальной системы Система непрерывно дифференцируемых относительно независимой переменной t функций (0.2) определённых в некоторой области изменения переменных называется общим решением системы ур-й Если выполнены следующие условия: 1) = ( (0.3) 2) система функций (0.2) является решением системы уравнений (0.3) при всех допустимых значениях произвольных постоянных Чтобы решить задачу коши достаточно заменить ( усл. ( и разрешить систему отн-но и получим Связь уравнения высшего порядка с системой ОДУ первого порядка всегда можно привести к системе ОДУ в нормальной форме, вводя доп.переменные y= = … = Для вновь введённых функций, таким образом, получаем систему диф. уравнений следующего вида Линейные однородные системы обыкновенных дифференциальных Уравнений (0,2) записывается как + (t) = (t) Однородная система уравнений, соответствующая неоднородной системе + (t) = и в сокращ виде I Решения линейной однородной системы уравнений образуют n мерное векторное пространство, линейной однородной системы с произвольными коэффициентами (t)= (t) 51) Лин. однор. сист. обыкн. дифф. ур-й: лин. незав. сист. частн. реш. однор. сист. ОДУ; фунд. матр. и определитель Вронского Линейные однородные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. системы дифференциальных уравнений в сокращённой индексной форме: , (1). Uде i= 1,n, рассмотрим линейную ОС обыкновенных диффуравнений. ОС уравнений, соответствующая неоднородной системе (1), имеет вид: , (2). Где неизвестные непрерывные ф. В матричном виде система (2), записывается: . (3). В дальнейшем для упрощения выкладок часто будем рассматривать векторно- матричную форму записи системы (2). . Решения линейной ОС у-ий (2) или (3) образуют n-мерное векторное про-тво, то есть если векторы-столбы являются некоторыми частными решениями системы ОДУ, то их линейная комбинация также является решением той же системы уравнений. Действительно, прямой подстановкой (5) в (3) проверяется, что линейная комбинация , (6), любого конечного числа частных решений линейной однородной системы с произвольными коэффициентами также является её решением. В индексной форме записи для (6) имеем: . Линейная независимая система из n частных решений системы уравнений (3),(4) называется фундаментальной системой решений этой системы. Векторы ФСР можно расположить в виде матрицы, составленной из их координат по столбцам: Y(t)= Эта матрица называется фундаментальной матрицей однородной системы уравнений, её определитель есть определитель Вронского |