1 Повсти в прве R3 отображения, осн понятия и классифик. Отображения
 Скачать 213.43 Kb.
|
|
Опр: Если выполнено усл. , то уравн. наз. неоднородным уравнением, а если - однородным, соответ-им данному неоднородному. Общее решение однородного уравнения: ; ; ; ; Найдем общее решение неоднородного уравнения, используя метод вариации произвольной постоянной: 16) Осн. теор. интегр-я в пр-ве R3: выч-е двойного интеграла по прямоуг.обл. Сначала рассмотрим двойной интеграл от непрерывной ф. 𝑓:𝑃→𝑅, где P – некоторый прямоугольник. Справедлива следующая теорема. Теорема 3.8. Пусть 𝑃={(𝑥;𝑦)⊂𝑅2: 𝑎≤𝑥≤𝑏;𝑐≤𝑦≤𝑑} – замкнутый прямоугольник, 𝑓:𝑃→𝑅1 – непрерывная функция и ∬𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝜇≡𝑃∬𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑃 – двойной интеграл от функции 𝑓:𝑃→𝑅 по прямоугольнику P. Тогда, если для каждой точки 𝑥∈[𝑎,𝑏] существует определённый интеграл 𝐼(𝑥)=∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑐(3.11), то существует и повторный интеграл от функции (3.11) вида ∫𝐼(𝑥)𝑏𝑎=∫𝑑𝑥𝑏𝑎(∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑐), причём справедливо равенство: ∬𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑃= =∫𝑑𝑥𝑏𝑎(∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑐)(3.12). Двойной интеграл по прямоугольной области можно вычислить также по формуле ∬𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑃=∫𝑑𝑦𝑑𝑐(∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑏𝑎)(3.13). Д о к а з а т е л ь с т в о. Разобьём прямоугольник P на частичные прямоугольники 𝑃𝑖𝑗, вводя разбиения по осям координат 𝑂𝑋1и 𝑂𝑋2 ∏={𝑎≡𝑥0<𝑥1<⋯<𝑥𝑖−1<𝑥𝑖<𝑥𝑖+1<⋯<𝑥𝑛≡𝑏}1[𝑎,𝑏], ∏={𝑐≡𝑦0<𝑦1<⋯<𝑦𝑗−1<𝑦𝑗<𝑦𝑗+1<⋯<𝑦𝑚≡𝑑}2[𝑐,𝑑]. Всего получим 𝑚∙𝑛 частичных прямоугольников вида 𝑃𝑖𝑗(𝑥1,𝑥2)={(𝑥;𝑦)⊂𝑅2: 𝑥𝑖−1≤𝑥≤𝑥𝑖;𝑦𝑗−1≤𝑦≤𝑦𝑗}, где 𝑖=1,2,…,𝑛 и 𝑗=1,2,…,𝑚. Обозначим ∆𝑥𝑖=𝑥𝑖−𝑥𝑖−1,∆𝑦𝑗=𝑦𝑗−𝑦𝑗−1 , а через 𝑙𝑖𝑗 и ℎ𝑖𝑗 , соответственно, нижнюю и верхнюю грани ф. f на частичном прямоугольнике𝑃𝑖𝑗 . Тогда для (∀(𝑥;𝑦)∈𝑃𝑖𝑗) всегда 𝑙𝑖𝑗≤𝑓(𝑥,𝑦)≤ℎ𝑖𝑗. Фиксируя некоторую точку 𝜉𝑖∈(𝑥𝑖−1,𝑥𝑖) и интегрируя данное неравенство по y в пределах от 𝑦𝑗−1 до𝑦𝑗 , получаем: 𝑙𝑖𝑗∙∆𝑦𝑗≤∫𝑓(𝜉𝑖,𝑦)𝑑𝑦𝑥𝑗2𝑥𝑗−12≤ℎ𝑖𝑗∙∆𝑥𝑖. Суммируя далее по всем 𝑗=1,2,…,𝑚 , имеем: ∑𝑙𝑖𝑗∙∆𝑦𝑗𝑚𝑗=1≤∑∫𝑓(𝜉𝑖,𝑦)𝑑𝑦𝑥𝑗2𝑥𝑗−12𝑚𝑗=1≤∑ℎ𝑖𝑗∙∆𝑥𝑖𝑚𝑗=1. Учитывая свойства определённого интеграла, получаем ∑∫𝑓(𝜉𝑖,𝑦)𝑑𝑦𝑥𝑗2𝑥𝑗−12𝑚𝑗=1=∫𝑓(𝜉𝑖,𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑐=𝐼(𝜉𝑖) . Следовательно, имеем: ∑𝑙𝑖𝑗∙𝑚𝑗=1∆𝑦𝑗≤𝐼(𝜉𝑖)≤∑ℎ𝑖𝑗∙∆𝑥𝑖𝑚𝑗=1 . Умножим теперь последнее неравенство на ∆𝑥𝑖 и просуммируем по 𝑖=1,2,…,𝑛: ∑∑𝑙𝑖𝑗∙∆𝑦𝑗∙∆𝑥𝑖𝑚𝑗=1𝑛𝑖=1≤∑𝐼(𝜉𝑖)∙∆𝑥𝑖𝑛𝑖=1≤∑∑ℎ𝑖𝑗∙𝑚𝑗=1𝑛𝑖=1∆𝑥𝑖∙∆𝑥𝑖 . Нетрудно видеть, что ∑𝐼(𝜉𝑖)∙∆𝑥𝑖𝑛𝑖=1 – интегральная сумма Римана для ф. 𝐼(𝑥). Так как эти последовательности по условию имеют общий предел, равный двойному интегралу ∬𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝜇≡𝑃∬𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑃 , то по теореме о трёх последовательностях последовательность с общим членом ∑𝐼(𝜉𝑖)∙∆𝑥𝑖𝑛𝑖=1 также сходится к тому же пределу, и получаем формулу для вычисления двойного интеграла (3.12), или (3.13) : ∫𝐼(𝑥)𝑏𝑎=∬𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑃=∫(∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑐)𝑑𝑥𝑏𝑎 ≡∫𝑑𝑥𝑏𝑎(∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑐). 54) Лин. неодн. сист. обыкн. дифф. ур-й: ст-ра общ. реш-я лин. неодн. сист. обыкн. дифф. ур-й, лемма и еѐ д-во. (1) Пусть некоторое част. реш. этой сист., а значит вып-ся тождество: (2) Подставляем в (1) , где - новая неизв. вектор-функция: В силу (2) имеем: - это лин. однород. сист., соответст. неоднород. сист. (1). Если Y(t) – фунд. матрица системы (5), то общ. реш. системы нах-ся в виде: Подстановка в (6) и (3) дает: Или: (8) общее реш. лин. неоднор. сист. (1) равно сумме общего реш. (6) соотв. однород. сист. (5) и какого-либо частн. решения неод.сист. 17) Осн. теор. интегр-я в пр-ве R3: выч-е двойного интеграла по простой криволин. обл. Рассмотрим криволинейную область D спец вида , (1.1) где y=g1(x) и y=g2(x) –непрерывные на промежутке [a,b] ф, удов при а ≤x≤b нерав g1(x)≤g2(x). область наз. простой относ OY Теор1. Пусть ф u=f(x,y) определена и непрерывна в области (1.1). Тогда , если существует 2х интеграл ( ) сущ опред интег. То существует и повторный интеграл (1.1) Док-во: Заключим обл D в прямоуг . Продолжим ф f(x,y) на прямоуг P, положив по определению Определённая так ф интегрируема в прямоуг P, так как она в обл D равна интегр по условию ф f(x,y), а в области P-D эта ф тождественно =0 и => интегрируема . Поэтому можем записать : Учитывая 0,=> . Получаем, что (∀ x ∈ [a,b]) существует интеграл = + + , (1.2) Где Действительно, [c, g1(x) ] и [g2(x), d] лежат вне D, а => на них F(x,y) f(x,y). Поэтому в правой части (1.2) 1 и 3 интег равны 0. 2й интеграл существует по условию, так как в области D выполняется: F(x,y) f(x,y)=> = . Тк для ф F(x,y) вып усл применимости теор о вычислении двойного интегр по прямоугольной области, то имеем: Приходим к цепочке = => = => (1.3) Подставляя 3 из равенств (1.3.) во 2, а 2 в 1, получим: Искомый интеграл. Если обл интегр явл простой относительно оси ОХ, то формула выч 2х интегр принимает вид : 19) Выч-е кратн. интегр. в криволин. коорд: эл-т меры в криволин. коорд. в пр-ве R2 Определим элемент меры (площади) на пл-ть в крив-ых коорд. Для этого рассмотрим элем-ый криволин-ый четырех-ник разбиения который образован двумя парами беск-но близких коорд-ых линий , , Вспоминая, что формула Тейлора , для случая ф-и двух прем-ых имеет вид запишем координаты вершин криволин-го четырёх-ка исходя из ур-й (4.40) и формулы Тейлора (4.41) с точностью до линейных членов: -вершина , -вершина , - вершина , - вершина . Из выписанных формул легко видеть, что . Из последних рав-в следует, что отрезки и равны и одинаково напр-ны. Аналог-но, равны и одинаково направ-ны отрезки Итак, с точностью до беск малых величин высших порядков четырёх-ик является паралл-ом. Из аналит геометрии известно, что площадь S( паралл-ма, построенного на привед-ых к общему началу векторах , численно равна норме (длине) вектора – вект-ого произвед-я данных векторов, т.е S( , где =( . В нашем случае в кач-ве векторов , можно выбрать, напр, векторы Тогда вект-ое произв-е опред-я рав-ом = Вычисляя длину этого вектора, получаем для элемента меры (площади) в об- щих кривол-ых коорд-ах след выр-е: Нетрудно видеть, что выр-е, стоящее под знаком абсолютной величины, равно якобиану преоб-я от крив-х коорд-т к декартовым коорд-м вида (4.11) с учётом обозначений крив-х координат Таким образом, получаем для элемента меры в крив-х координатах след выр-ие: 20) Выч-е кратн. интегр. в криволин. коорд: ф-ла замен. перем. в двойном интеграле и еѐ обобщ. на случ. пр-ва R3; замена перем. в тройном интеграле. выпишем формулу замены перем-ой в двойном интеграле: , где )) – результат подстановки в ф-ю завис-тей (4.1). Сведём все ф-лы вместе, опуская индекс 1 у ф-й и : , где положено Получим, формулу замены в двойном интеграле прямоуг-ых дек-ых коорд-т полярными коорд-ми. Формулы, связ-ие декартовы и полярные координаты в используемых обознач-ях имеют вид: , Вычисляем якобиан перехода от полярных координат к дек-ым коорд-ам по формуле (4.5): Теперь формула замены перем-ых принимает вид: Замена перем-ых в тройном интеграле. Для выч-я тройного интеграла удобно использовать замену дек-ых координат криволин-ми коорд-ми. Замена дек-ых координат крив-ыми коорд-ми в тройном интеграле произв-ся так же, как и в случае двойного интеграла, основные формулы: = где – новые, криволинейные координаты. 53) Лин. однор. сист. обыкн. дифф. ур-й: интегрир. лин. однор. сист. обыкн. дифф. ур-й с пост. коэфф. методом Эйлера (1)– ОСОДУ, где . Полагая, что , решение данной системы будем искать в коор. виде , , ... , (2) или в век.виде (3) В пред-ях (2) и (3) , а не равны нулю одновременно. Подставляя (2) в (1), после сокр-я на : (4) ОСЛАУ (4) нетривиально совместна 21) Выч-е кратн. интегр. в криволин. коорд: тройной интеграл в цилиндр. и сферич. коорд. Переход от декар- товых координат к цилиндрич коорд-ам осущ-ся по форму- лам: , где Якобиан перехода = r. Формула вычисления тройного интеграла в цилиндрич координатах имеет вид: Тройной интеграл в сферических координатах. Переход от декартовых координат к сферич коорд-ам осущ-ся по формулам где . Якобиан перехода от сферич координат к декартовым коорд-ам = - Формула выч-я тройного интеграла в сферич координатах имеет вид: : (4.9) 22) Поверхн. интегр. 1-го рода: опр-е, св-ва и выч-е. Если при измельчении разбиения области в параметрическом пространстве для точек поверхности F при выполнении условия существует предел последовательности интегральных сумм, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности F и обозначается следующим символом: Свойства интеграла первого рода: Так как определение поверхностного интеграла первого рода по существу идентично определению двойного интеграла, то все его свойства аналогичны свойствам последнего. ; f и g интегрируемы на D; D= и ; ; fнепрерывна ; Формула вычисления поверхностного интеграла первого рода: 23) Поверхн. интегр. 2-го рода: ориентир. пов-сти в пр-ве R3; опр-е, св-ва и выч-е поверхн. интеграла 2-го рода. Пусть F – простая гладкая поверхность, заданная неявным уравнением ,a – непрерывная вектор функция, определённая в точках поверхности. Ориентируем каким-либо образом поверхность, то есть зададимся одним из двух возможных направлений её нормали, выбрав тем самым одну из её сторон. Если всевозможные направления нормальных векторов поверхности составляют острый угол с осью , то говорят, что выбрана верхняя сторона поверхности, если же всевозможные направления нормальных векторов составляют с осью тупые углы, то – нижняя сторона поверхности. Определение Если при измельчении разбиения области параметрического пространства выполнение условия влечёт за собой существование предела последовательности интегральных сумм , то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода от функции по выбранной стороне поверхности F и обозначается следующим символом: (Аналогично для Свойства поверхностного интеграла второго рода при изменении ориентации поверхности поверхностный интеграл второго рода меняет знак ; f и g интегрируемы на D; D= и ; ; fнепрерывна ; Формула вычисления , в обл. . На каждой частичной поверхности выберем произвольно точку и составим интегральную сумму вида = 24) Понят. поля: скалярн. и вект. поля; вект. сил. линии поля. Опр: Пусть и , если в каждой точке M задано значение опред. ф-ции: , то задано вещественное скалярное поле или функция поля , Опр: -//- задано вещественное векторное поле. Где ) – полевые ф-ции. Пути в области , где в каждой точке касат. вектор с вектором поля , называются векторными (силовыми) линиями в.п. Так как в U(M) путь с точностью до малых первого порядка по t совпадает с касательной пути, то и , откуда, раскладывая по базису декартовой системы координат, получаем уравнения векторных линий 25) Скалярн. поле: град-т скалярн. поля и его св-ва; пр-я по напр. скал. поля, вывод формулы для выч-я пр-ой по направл. Поверхность уровня: =C=const, Полный диф-циал : , где -градиент с.ф. . Скорость изм. в направлении вектора , то есть производная по направлению есть или 26) Вект. поле: поток вект. поля через пов-сть, диверг. вект. поля и еѐ опр-е; Т-ма Остр-Гаусса Потоком Ф векторного поля через поверхность F наз-ся поверхностный интеграл второго рода , где , –вектор элементарной части dF поверхности F, а - орт вектора положительного направления нормали поверхности и произвольной точке . Не зависящая от выбора системы координат характеристика векторного поля ,наз-ся дивергенцией или расхождением векторного поля в точке M∈𝛺. Т-ма О-Г: Поток векторного поля через замкнутую поверхность (в направлении внешней нормали) равен тройному интегралу от дивергенции поля ,взятому по области , ограниченной этой поверхностью : 27) Вект. поле: ротор циркул. вект. поля, инвар. опр-е ротора; Т-ма Стокса. Ротором или вихрем векторного поля в точке M наз-ся (векторная) величина , определяемая следующим соотношением Циркуляцией векторного поля по замкнутому контуру Г наз-ся криволинейный интеграл второго рода Теорема Стокса. Циркуляция векторного поля замкнутому контуру Г равна потоку векторного поля через поверхность ограничнную контуром Г : . 28) Вект. дифф. опер. Гамильт.: вект. дифф. опер. «набла» и его св-ва, симв. исчис. Векторный дифференциальный оператор работает по правилу : Знак “V” над ф-цией устанавливает порядок действия оператора на соответствующую функцию. Если оператор действует на скаляр , то получаем градиент ,если на вектор-функцию ,то получаем или дивергенцию ( ,или ротор , в зависимости от того, какие операции векторной алгебры и над какими ф-ями выполняются в скобка . , , 29) Осн. тенз. исч-я: ф-лы преоб-я вект. натур. базиса; взаимн. базис и св-ва его векторов, т-ма о лин. незав. сист. вект. взаимн. базиса. - формулы преобразования векторов натурального базиса. и – формулы, которые трактуются как формулы разложения взаимных базисных векторных полей по векторным полям натурального базиса. Отсюда не трудно увидеть, что взаимные и натуральные базисные векторные поля взаимно ортогональны, и действительно: = (1). Здесь использована ортонормированность сис векторов декартова базиса Отсюда можно заключить, что матрицы и взаимно обратные Теорема: Контрвар векторные поля , где i,j=1,2,3, образуют базис пространства E3 Доказательство: Покажем, что сис контрвар. векторных полей (i,j=1,2,3) линейно независима. Для этого сост лин комбинацию векторов с некот коэф. И потребуем выпол. тождества: . Находя зн. скалярного произведения обеих частей этого тождества последовательно с базисными векторными полями (k=1,2,3) в качестве второго аргумента, и используя (1), сразу получаем, что для всех k=1,2,3. Последнее по определению и означает лин независимость сис векторов 30) Осн. тенз. исч-я: контр-е, ковар-е и физ. комп. вект. полей. Каждое трехмерное векторное поле, заданное в криволинейной сис коор, можно представить в виде разложения по: *ковариантным векторным полям натурального базиса (1) или * контравариантным векторным полям взаимного базиса – ковариантная компонента векторного поля – контравариантная компонента векторного поля Если натуральный базис ортогональный, то нормируя натуральные базисные поля, получаем орты (2). Данный базис называется физическим базисом. Физический базис строится только для ортогональных систем криволинейных координат. Если пространственный вектор представить в виде линейной комбинации физических базисных векторных полей, то получим , (3) где - физическая компонента векторного поля относительно физ. базиса Из формул (1),(2) и (3) видно, что: + , отсюда получаем с контравар. компонентами с ковариантными компонентами 31) Осн. тенз. исч-я: опр-е тенз., контрав-е, ковар-е и смеш. тенз.; т-ма о сущ. базиса во мн-ве геом. или физ. объек. 2-й вал-сти Простейшим геометрическим или физическим объектом, обладающим свойствами тензора, является вектор. Опр.Инвариантный относительно изменения сист. коорд. геом. или физ.объект , имеющий в каждой сист. коорд. представление вида наз. вектором. Опр.Инвариантный геом. или физ. объект , компоненты которого при изменении сист коорд преобразуются наз контравариантным тензором второй валентности. Опр.Инвариантный геом. или физ. объект , компоненты которого при изменении сист коорд преобразуются наз ковариантным тензором второй валентности. Опр. Инвариантный геом. или физ. объект, заданный в каждой сист. коорд. набором компонент занумерованных k индексами внизу и l индексами вверху и преобразующихся при переходе от одной (новой) системы координат к другой (старой) системе координат по закону Наз. l раз контравариантным и k раз ковариантным l + k валентным тензором. Компоненты тензора наз. его коорд. в соответствующей коорд. сист. Теор. Пусть в евклидовом пространстве заданы базисные векторные поля . Тогда диад, составленных из базисных векторных полей где i,j = 1,2,3, в каждой точке трёхмерного евклидова пространства образуют базис во множестве дважды контравариантных геом. объектов . Док. Достаточно показать, что сист диад (i,j = 1,2,3) линейно независима. Для этого представим объект в виде линейной комбинации системы диад и потребуем тождественного выполнения равенства где 0 – нулевой объект. Если система диад линейно независима, то из этого тождества будет следовать одновременное равенство нулю всех “коэффициентов” тождества – компонентов объекта . Находя скалярное произведение обеих частей основного тождества и векторов взаимного базиса и испол. св. аддитив. лин-го функ-ла получим где k=1,2,3. Здесь справа стоит нулевой вектор. В силу лин-ой незав векторов базиса получаем, что . |