ответы к экзамену. 1. Понитие nмерного вектора, основные определения

• Название: 1. Понитие nмерного вектора, основные определения
• Анкор: ответы к экзамену.doc
• Дата: 17.12.2017
• Размер: 8.76 Mb.
• Имя файла: ответы к экзамену.doc
• Тип: Документы; #11906
• страница: 1 из 3

1. Понитие n-мерного вектора, основные определения.

Определение 1. Любой упорядоченный набор из п действительных чисел аи а2, ..., аn называется п-мерным вектором а; числа, составляющие упомянутый набор, называются координатами (компонентами)

вектора а.

Определение 2. Совокупность всех «-мерных векторов называется

п-мерным векторным пространством R".

Координаты я-мерного вектора а можно расположить либо в строку (вектор-строка)

а = ( а1 а2, ..., аn),

либо в столбец (вектор-столбец)

а=(a1 a2 … an)

Определение 3. Два вектора с одним и тем же числом координат

a=(a1, а2, ..., аn),

b =(b1 b2,...,bn)

называются равными, если их соответствующие координаты равны,

т. е.

a1=b1, a2=b2, …, an=bn

Определение 4. Вектор, все координаты которого равны нулю, называется нулевым вектором:

0=(0, 0, ..., 0).
2. Операции над векторами

Пусть векторы а и b (1.3) принадлежат n-мерному векторному пространству R". Будем называть суммой векторов а и b вектор с, координаты которого равны суммам соответствующих координат этих векторов:

с = а + b = ( а1 + b1, a2+b2, ..,an+bn)

Пустьλ — любое действительное число. Произведением вектора a на число λ будем называть вектор, координаты которого получаются умножением соответствующих координат вектора а на это число:

с = λа = (λa1, λa2, …, λan)

Из введенных таким образом операций над векторами вытекают следующие свойства этих операций. Пусть a, b и с — произвольные векторы n-мерного векторного пространства. Тогда:

1) a + b=b + a — переместительное свойство;

2) (а + b) + с = а + (b + с)— сочетательное свойство;

3) X (а + b) = Ха + Хb, где X — действительное число;

4) (λ+μ)a=λa+μa, где λ и μ — действительные числа;

5) λ( μa)=(λμ)a— действительные числа;

6) а + 0=а;

7) для любого вектора а существует такой вектор - а, что

-а=(-1)а,

а + (-а) = 0;

8) 0 • а = 0 для любого вектора а.
3.Линейная зависимость векторов

При решении различных задач, как правило, приходится иметь дело не с одним вектором, а с некоторой совокупностью векторов одной размерности. Такую совокупность называют системой векторов и

обозначают одной буквой и с разными порядковыми номерами:

а1, а2, …, ak.

Определение 7. Линейной комбинацией векторов (1.10) называется

вектор вида

b=λ1a1+λ2a2+...+λkak

где λ1, λ2, λ3 — любые действительные числа. В этом случае говорят

также, что вектор b линейно выражается через векторы (1.10) или разлагается по этим векторам.

Определение 8. Система ненулевых векторов (1.10) называется линейно зависимой, если существуют такие числа λ1 λ2,..., λk, не равные одновременно нулю, что линейная комбинация данной системы с указанными числами равна нулевому вектору:

λ1a1+λ2a2+...+λkak

(1-12)

Если же равенство (1.12) для данной системы векторов (1.10) возможно лишь при λ1 = λ2 = ... =λк = 0, то такая система векторов называется линейно независимой.

Если система векторов (1.10) является линейно зависимой, то в сумме (1.12) можно выбрать слагаемое, в котором коэффициент λ≠0, и выразить его через остальные слагаемые.

Укажем свойства системы векторов (1.10):

1. Система, состоящая из одного ненулевого вектора, линейно неза-

висима.

2. Система, содержащая нулевой вектор, всегда линейно зависима.

3. Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда среди ее векторов содержится по крайней мере один вектор, который линейно выражается через остальные.

Для векторного пространства R" справедлива следующая теорема.

Теорема 1.1. В пространстве R" любая система, содержащая m векторов, линейно зависима при m > n.
4. Базис и ранг системы векторов.

Максимально независимой подсистемой системы векторов (1.10) называется частичный набор векторов этой системы, удовлетворяющий двум условиям: а) векторы этого набора линейно независимы; б) любой вектор системы (1.10) линейно

выражается через векторы этого набора.

Определение 9. Максимально независимая подсистема системы векторов (1.10) называется ее базисом; векторы, входящие в базис, называются базисными векторами. Будем называть рангом системы векторов число векторов ее базиса. Понятно, что если ранг системы векторов меньше числа k ее векторов, то она может иметь несколько

базисов.

Определение 10. Система п векторов называется базисом пространства R", если:

1) векторы этой системы линейно независимы;

2) всякий вектор из R" линейно выражается через векторы данной

системы.
5. Матрица. Основные понятия и определения.

Определение 11. Прямоугольная таблица чисел вида

А=(а11 а12 … а1n

а21 а22 … а2n

…

аm1 am2 … amn)

называется матрицей. Здесь а^ — действительные числа (i = 1, 2,..., т; = 1,2,..., п), называемые элементами матрицы, i иу — соответственно, индексы строки и столбца. При этом произведение тп числа строк на

число столбцов называют размером матрицы А. Матрицу (1.19) записывают также в сокращенном виде:

А = /aij/,

i = 1, 2, ..., т, j = 1, 2, ..., п.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

В том случае, когда т = п (число строк равно числу столбцов), матрица А называется квадратной. Тогда число п называется порядком матрицы.

Упорядоченная совокупность элементов ап, а>2, -, а„„ называется главной диагональю квадратной матрицы. Квадратная матрица называется диагональной, если ненулевыми являются только элементы главной диагонали.

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все

элементы главной диагонали равны единице, а все другие элементы — нулю:

E=( 1 0 … 0

0 1 … 0

…

0 0 … 1)

Определение 12. Две матрицы А а В называются равными (А = В), если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны: aij=bij; i=1,2,...,m; j=1,2,...,n.
6. Линейные операции над матрицами

1. Сумма матриц. Суммой матриц А я В одинакового размера называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В. Если

A=\aij\. B=|bij|; i=1,2,...,m.; j=1,2,...,n.

Умножение матрицы на действительное число. Произведением матрицы А на действительное число а называется матрица, каждый элемент которой получен умножением соответствующего элемента

матрицы А на число а.

3. Свойства операций суммирования матриц и произведения матрицы на число, непосредственно вытекающие из определения этих операций. Пусть А, В и С — матрицы, имеющие одинаковый размер,

а а и р — некоторые действительные числа. Тогда:

1) А + В = В + А;

2)(А + В) + С = А + (В + С);

3)а (А + В) = аА + аВ

4)(α +β)A= αA+ βA

5)(αβ)A=(αA)β

6)А + О = А, где О — нулевая матрица;

7)0*A =0.

Транспонирование матриц

Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки). Пусть дана исходная матрица А . Тогда, согласно определению, транспонированная матрица А' имеет вид:

A'=(a11 a21 … am1

a12 a22 … am2

…

a1n a2n … amn)

Сокращенная форма записи операции транспонирования матрицы:

A=||aij||

A' = ||aji||;

i = 1 , 2, ..., m,

j = 1 , 2, ..., n.

Свойства операции транспонирования матриц:

1. Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице:

А" = А.

(1.22)

2. Главная диагональ квадратной матрицы не меняется при транспонировании.

Важную роль в алгебре и ее приложениях играют симметрические матрицы — квадратные матрицы, у которых элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, т. е. atj = о,,. Транспонирование таких матриц не меняет их вида, так что равенство

А = А'

(1.23)

также можно полагать определением симметрической матрицы.

1.2.4. Произведение матриц

1. Умножение матриц — это специфическая операция, составляющая основу алгебры матриц. Строки и столбцы матриц можно рассматривать как векторы-строки и векторыстолбцы соответствующих раз-



2. Свойства произведения матриц. Пусть А, В и С— матрицы соответствующих размеров (чтобы произведения матриц были определены), а а — действительное число. Тогда имеют место следующие свойства

произведения матриц:

1) (АВ) С = А (ВС);

2) (А + В)С = АС + ВС;

3)А(В+С)=АВ+АС;

4) а (АВ) = (аА) В = Л (аВ).

В первом пункте этого раздела введено понятие единичной матрицы Е. Нетрудно убедиться, что в алгебре матриц она играет роль единицы, т. е. можно отметить еще два свойства, связанных с умножением на эту матрицу слева и справа:

5) АЕ = А;

6) ЕА = А.

Иными словами, произведение любой матрицы на единичную матрицу, если оно имеет смысл, не меняет исходную матрицу.
7.Операции над определителями

Любой квадратной матрице А порядка п ставится в соответствие некоторое число, называемое определителем n-го порядка этой матрицы.

Основные свойства определителей

Из данного ранее общего определения следуют основные свойства определителей.

1. Если некоторая строка или столбец определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

Это свойство легко проверяется на определителях второго и третьего порядков.

3. Определитель, содержащий две одинаковые строки (два одинаковых столбца), равен нулю.

Действительно, поменяв местами эти строки, получаем А„ = -Д„, откуда и следует, что А„ = 0.

4. Общий множитель любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

5. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя Д„ представлен в виде суммы двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей. Поясним это свойство на примере определителя 3-го порядка:

Δ3=| a11 a12 a13 | =Δ'3 + Δ*3=|a11 a12 a13| + |a11 a12 a13|

|a'21+a*21 a'22+a*22 a'23+a*23| |a'21 a'22 a'23| |a*21 a*22 a*23|

| a31 a32 a33 | |a31 a32 a33| |a31 a32 a33|

6. Определитель не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число. Это свойство является следствием свойств 3—5.

7. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется. Из перечисленых свойств следует, что определитель равен нулю, если по крайней мере одна из его строк (столбцов) является линейной комбинацией каких-либо других его строк (столбцов). Отсюда вытекает необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.

Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.
8. определители второго и третьего порядков.

Пусть дана матрица

:

А=(а11 а12

а21 а22)

тогда ее определитель второго порядка вычисляется по формуле

:

Δ2=|a11 a12|=a11a22-a12a21

|a21 a22|

Формула представляет собой алгебраическую сумму двух попарных произведений элементов матрицы А из разных строк

и столбцов.

В дальнейшем мы не будем приводить матрицу, для которой вычисляется определитель, так как в записи определителя содержатся все элементы соответствующей матрицы.

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

Δ3=|a11 a12 a13|=a11a22a33+a21a32a13+a12a23a31-a13a22a31-a11a23a32-a12a21a33

|a21 a22 a23|

|a31 a32 a33|

Это алгебраическая сумма шести тройных произведений элементов, взятых по одному из разных строк и столбцов.

Рассмотрим определитель n-го порядка

Δn=|

|a11 a12 … a1n|

|a21 a22 … a2n|

|........................|

|am1 am2 … amn|

Определение 17. Определителем матрицы А п-го порядка называется алгебраическая сумма п! произведений п-го порядка элементов этой матрицы, причем в каждое произведение входит по одному элементу

из каждой строки и каждого столбца данной матрицы.
9. Понятие обратной матрицы

Понятие обратной матрицы распространяется только на квадратные

матрицы.

Определение 15. Матрица порядка п называется вырожденной, если

ее ранг r < n.

1.3. Определители 2 7

Определение 16. Матрица А ' называется обратной по отношению

к матрице А, если их произведение равно единичной матрице:

-1 -1

АА=А А = Е.

Несколько забегая вперед, отметим, что для вырожденной матрицы не

существует обратной матрицы. Иными словами, если для некоторой

матрицы порядка п ее ранг г< п, то для нее не существует обратной

матрицы.

Сформулируем правило нахождения обратной м-цы на примере м-цы А.
1. Находим опр-тель м-цы. Если Δ ≠0, то м-ца A-1 сущ-вует.
2. Составим м-цу В алгебр-ких доп-ний элементов исходной м-цы А. Т.е. в м-це В элементом i - ой строки и j - го столбца будет алгебраическое доп-ние Aij (см. 1.3.) элемента aij исходной м-цы.
3. Транспонируем м-цу В и получим BT. Транспонировать м-цу - это значит поменять строки и столбцы местами (1ый столбец с 1ой строкой, 2ой столбец со 2ой строкой и т. д.).

ТЕОРЕМА о существовании обратной матрицы.Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно (<=>),чтобы матрица А была невыражденной — detA<>0;1. необходимые условия. Дано: А, А^-1; Док-ть: detA0; Док-во: Предположим detA=0; AA^-1=E; |AA^{- 1}| = |A| |A^-1| = |E| = 1; |AA^{- 1}| =0; Противоречие, значит|A|0;2. достаточные условия: Дано A, detA0; Док-ть: A^-1-?; Док-во: AA^-1=E -?;A(a₁₁, a₁₂…a₃₂, A₃₃); Заменим каждый элемент алгебраическим дополнением. В = (A₁₁, A₁₂…A₃₂, A₃₃)*1/|A|; Транспонируем и разделим все элементы на Δ: B^T= (A₁₁/Δ, A₂₁/Δ…A₂₃/Δ, A₃₃/Δ); B^T=A^-1-?; B^TA=E -?(a₁₁ a₁₂…a₃₂ a₃₃)*(A₁₁A₁₂…A₃₂ A₃₃)=(a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+a₁₃A₁₃/Δ)=(1 0..0 1)=E;a₂₁A₁₁+a₂₂A₁₂+a₂₃A₁₃ = 0; a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+a₁₃A₁₃=Δ..

10. Ранг матрицы и системы векторов

1. Пусть дана матрица А, состоящая из т строк и п столбцов. Выделим в ней произвольным образом k строк и k столбцов. Элементы, которые находятся на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют

квадратную матрицу k-ro порядка; определитель этой матрицы является минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что в общем случае таких миноров k-то порядка может быть несколько. При этом максимальный порядок миноров равен минимальному из чисел тип, т. е. max & = min (m, n).

Из всех возможных миноров матрицы А выделим те, которые отличны от нуля. В свою очередь, среди этих миноров можно найти по крайней мере один минор наибольшего порядка.

Определение 19. Наибольший порядок миноров матрицы А, отличных от нуля, называется рангом этой матрицы.

Определение 20. Отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором этой матрицы.

Столбцы и строки матрицы, участвующие в образовании базисного минора, также называются базисными.

Заметим, что в общем случае у матрицы может быть несколько базисных миноров.

В 1.2.6 было дано определение ранга матрицы как наибольшего числа линейно независимых ее векторов-строк (столбцов). В курсе алгебры доказывается, что эти два определения эквивалентны. Приведеное в данном разделе определение дает возможность вычислять ранг матрицы, а значит, и ранг системы векторов.




Т. к. диагональная система векторов всегда является линейно независимой, ранг матрицы (эквивалентные преобразования не меняют ранга матрицы)

1) к строке (столбцу) можно прибавить какую либо строку (столбец), предварительно умножив на какое – либо число

2) Строки (столбцы) можно переставить местами

3) Нулевая строка (столбец) может быть удалена

4) может быть удалена одна из двух пропорциональных строк (столбцов)
11.Системы линейных алгебраических уравнений

Общий вид и свойства системы уравнений

Система т линейных уравнений с п неизвестными (переменными) х1

х2, ..., хn имеет вид
{a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1

{a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2

{….......................................

{am1x1+am2x2+...+amnxn=bm
Здесь аij и bi, — заданные числа (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n), которые называются, соответственно, коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравнений (1.35). Первый индекс у коэффициентов

при неизвестных означает номер уравнения, второй индекс соответствует номеру неизвестного xt.

Решением системы уравнений (1.35) называется набор п чисел хх = оц,

х2 = а2,..., хn = аn при подстановке которых в эту систему каждое уравнение данной системы превращается в тождество.

Система уравнений (1.35) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной. Совместная система уравнений либо имеет одно решение и в таком случае называется определенной, либо, если у нее больше одного решения, она называется неопределенной.

Системы уравнений вида (1.35) называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Элементарные преобразования исходной системы приводят к эквивалентной системе.

• вычеркивание уравнения 0x1+0x20...+0xn= 0 — нулевой строки;

• перестановка уравнений или слагаемых aijXj в уравнениях;

• прибавление к обеим частям одного уравнения соответственно обеих частей другого уравнения этой системы, умноженного на любое действительное число;

• удаление уравнений, являющихся линейными комбинациями других уравнений системы.

Матричная форма системы уравнений

Сведем коэффициенты при неизвестных в системе уравнений (1.35)

в матрицу

A=(a11 a12 … a1n)

(a21 a22 … a2n)

(…....................)

(am1 am2 … amn)

Эта матрица состоит из т строк и п столбцов и называется матрицей системы. Введем в рассмотрение две матрицы-столбца: матрицу неизвестных А' и матрицу свободных членов В (векторы-столбцы)

X=(x1), B=(b1)

(x2) (b2)

(....) (…)

(xn) (bm)

Тогда систему линейных уравнений (1.37) можно записать в матричной форме, поскольку размер матрицы А равен тхп, а размер X — n х 1, и значит, произведение этих матриц имеет смысл:

АХ = В.

(1.38)

Произведение матриц АХ является, как и В, матрицей-столбцом размера m x 1. Все уравнения системы (1.35) вытекают из уравнения (1.38) в силу определения равенства двух матриц (см. 1.2.1).

Введем в рассмотрение еще одну матрицу: дополним матрицу системы А столбцом свободных членов и получим новую матрицу размера

тех (п+ 1):

о.,,

An=(a11 a12 … a1n b1)

(a21 a22 … a2n b2)

(…..........................)

(am1 am2 … amn bm)

Матрица Ав называется расширенной матрицей системы. Эта матрица играет важную роль в вопросе о разрешимости системы уравнений.


12. Критерий совместимости СЛАУ (теорема Кронекера-Капелли)

Теорема 1.5 (Кронекера— Капелли: критерий совместности системы).

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда

ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.

Определение 21. Рангом совместной системы линейных алгебраиче-

ских уравнений называется ранг ее матрицы.