Шпоры вышмат Мартыненко. 1. Матрицей
![]()
|
![]() ![]() 2. Суммой матриц одинаковой размерности называется матрица, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов. Произведением матрицы на число называется матрица тех же размеров, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на число. A+B=B+A A+B+C=A+(B+C)=(A+B)+C y*(A+B)=y*A+y*B 3. Транспонированной матрицей ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 4. Второй порядок ![]() Третий порядок ![]() ![]() Свойства: 1) Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами. 2) Перестановка двух строк или столбцов определителя равносильна умножению его на (-1). 3) Если определитель имеет две одинаковые строки или два одинаковых столбца, то он равен нулю. 4) Умножение всех элементов строки или столбца определителя на любое число равносильно умножению определителя на это число . 5) Если все элементы некоторого столбца или строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю. 6) Если элементы двух строк или двух столбцов определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. 7) Если каждый элемент любого столбца или любой строки определителя представлен в виде двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей. 8) Если к элементам некоторой строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на любой общий множитель , то величина определителя не изменится. 5. Минором Mij элемента aij матрицы A n×n именуют определитель матрицы, полученной из матрицы A вычёркиванием i-й строки и j-го столбца (т.е. строки и столбца, на пересечении которых находится элемент aij). Алгебраическим дополнением элемента aij называется соответствующий минор, умноженный на ![]() ![]() 6.Матрица называется обратной для матрицы , определитель которой отличен от нуля , если справедливы равенства , где E – единичная матрица порядка n на n. Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной, то есть, чтобы det A не равнялся нулю. 1)Для невырожденной квадратной матрицы А справедливо равенство формула. ![]() 2)Для обратимой матрицы А выполняется равенство формула ![]() 3)Для любого отличного от нуля числа k справедливо равенств ![]() 4)Для невырожденных квадратных матриц А и В одного порядка выполняется равенство ![]() 7. Ранг матрицы – это наивысший порядок минора матрицы, отличного от нуля. Строки матрицы A называются линейно независимыми, если ![]() 8. Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц, то есть, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица. Теорема (о базисном миноре): Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Остальные строки (столбцы) являются линейными комбинациями базисных строк (столбцов). 9…. 10. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы А равен рангу её расширенной матрицы А. 11. Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю 12. Произведением вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 13. Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. 14. Рангом системы векторов называется число, равное количеству векторов в базисе данной системы. Базисом системы векторов ![]() 15…. 16. Уравнением линии называется соотношение y = f (x) между координатами точек, составляющих эту линию. Поверхностью в пространстве называется геометрическое место точек, прямоугольные декартовые координаты которых удовлетворяют уравнению ![]() 17. Числовой последовательностью {xn} называется закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу n = 1, 2, 3, . . . ставится в соответствие некоторое число xn. Элемент xn называют n-м членом или элементом последовательности. Число A называется пределом последовательности n a , если для любого положительного числа можно подобрать такой номер N члена последовательности, зависящий от , что для всех членов последовательности с номерами n N будет выполнено неравенство n a A 18. Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у, где переменная х- независимая переменная или аргумент и переменная у- зависимая переменная Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом. Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим. Число А называется пределом функции f(x) при x→а. Если для любого положительного числа ε, найдется такое положительное число δ, что для всех х, удовлетворяющих условию 0<|x-a|< δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε. 19. Односторонний предел— предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами. Функция y=f(x)называется бесконечно малой(или бесконечно малой величиной) при ![]() ![]() Свойства бесконечно малых функций: 1. Алгебраическая сумма конечного числа б.м.ф. есть б.м.ф. 2. Произведение б.м.ф. на ограниченную функцию есть б.м.ф. (в том числе на постоянную или на другую б.м.ф.). 3. Частное от деления б.м.ф., предел которой отличен от 0, есть б.м.ф. Функция y=f(x)называетсябесконечно большой(илибесконечно большой величиной) при ![]() ![]() Свойства бесконечно больших функций: 1. Произведение б.б.ф. на функцию, предел которой отличен от 0, есть б.б.ф. 2. Сумма б.б.ф. и ограниченной функции есть б.б.ф. 3. Частное от деления б.б.ф. на функцию, имеющую предел, есть б.б.ф. 20.Бесконечно малые функции (б.м.ф.) сравнивают по скорости их стремления к нулю: чем эта скорость выше, тем больший порядок имеет данная б.м.ф. Сравнение скоростей двух б.м.ф. производится с помощью предела их отношения.
Точка а называется точкой устранимого разрыва функции ![]() ![]() ![]()
Точка а называется точкой разрыва первого рода функции ![]()
Точка а называется точкой разрыва второго рода функции Точка а называется точкой устранимого разрыва функции ![]() 24. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если oна непрерывна на интервале (a, b) Свойства функций, непрерывных на отрезке: Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C> 0, что x [a, b] выполняется неравенство |f(x)| ≤ C. Теорема 2 (Вейерштрасс). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. существуют точки α, β [a, b] такие, что m = f(α) ≤ f(x) ≤ f(β) = M для всех x [a, b] Теорема 3 (о существовании нуля). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a, b) найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f(ξ) = 0. 25. Производной функции y=f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции Δy к приращению независимой переменной Δx при Δx → 0, если этот предел существует (конечный или бесконечный). ![]() 26….. 27. Функцию ![]() ![]() ![]() ![]() где коэффициенты ![]() ![]() ![]() ![]() 28…. 29.Теорема Ролля :Пусть функция f (x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и на концах отрезка принимает равные значения f(a) = f(b). Тогда существует точка c Î (a, b), в которой f ' (c) = 0. Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [a, b],то по свойству непрерывных функций она достигает на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение m. Геометрически теорема Ролля означает, что у графика непрерывной на отрезке [a, b] и дифференцируемой внутри этого отрезка функции, принимающей на его концах f(a) = f(b) равные значения, существует точка (c; f(c)), в которой касательная параллельна оси Оx. Теорема Лагранжа :Если функция f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a, b], дифференцируема внутри него, то существует такая точка с Î (a, b), что выполняется равенство f(b) − f(a) = f '(c)·(b − a). Доказательство. Составим уравнение хорды, проходящей через точки (a, f(a)), (b, f(b)) y = f(a) + Q·(x - a), где ![]() Теорема Коши: Если функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 30. Правило Лопиталя Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
![]() ![]() ![]() не возрастает на ![]() ![]() 32. Точка х0 называется точкой максимума функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() если ![]() ![]() 33. График функции называется выпуклым в интервале ![]() График функции называется вогнутым в интервале ![]() Точка графика непрерывной функции ![]() 34. Для полного исследования функции и построения её графика рекомендуется использовать следующую схему: 1) найти область определения функции; 2) найти точки разрыва функции и вертикальные асимптоты (если они существуют); 3) исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты; 4) исследовать функцию на чётность (нечётность) и на периодичность (для тригонометрических функций); 5) найти экстремумы и интервалы монотонности функции; 6) определить интервалы выпуклости и точки перегиба; 7) найти точки пересечения с осями координат, если возможно и некоторые дополнительные точки, уточняющие график. Исследование функции проводится одновременно с построением её графика. 35. Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х,у) из некоторого множества по какому-либо правилу ставится в соответствие одно значение переменной z, то она называется функцией двух переменных. z=f(x,y,) 36. Частная производная — это предел отношения приращения функции по выбранной переменной к приращению этой переменной, при стремлении этого приращения к нулю. Функция z = f (x, y), полное приращение Dz которой в данной точке (x,y) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: выражения, линейного относительно ![]() ![]() ![]() 37…. 38. Теорема: Пусть u = f (х, у) задана в области D и пусть х = х(t ) и у = у(t ) определены в области ![]() ![]() ![]() Доказательство. Так как u дифференцируема по условию в точке (x0, y0), то её полное приращение представляется в виде ![]() Разделив это соотношение на ![]() ![]() Перейдём к пределу при ![]() ![]() 39. Пусть M0(x0; y0; z0) – фиксированная точка на поверхности, заданной функцией z = f(x; y) или уравнением F(x; y; z) = 0. Касательной плоскостью к поверхности в точке M0 называется плоскость, в которой расположены касательные к всевозможным кривым, проведенным на поверхности через точку M0. Нормалью называется прямая, проходящая через точку M0 перпендикулярно касательной плоскости. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство ![]() Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство ![]() 40. |