Ответ Оп Матрицей a размерности Sxn называется прямоугольная таблица из чисел, состоящая из s строк и n столбцов
![]()
|
Ответ: Опр1. Матрицей A размерности Sxn называется прямоугольная таблица из чисел, состоящая из S строк и n столбцов. ![]() ![]() i – номер строки, j – номер столбца. ![]() Типы матриц: 1. ![]() 2. ![]() ![]() 3. ![]() ![]() 4. ![]() 5. ![]() ![]() 6. ![]() ![]() Определение2 Пусть матрицы А и В имеют одинаковую размерность, тогда ![]() Пусть ![]() ![]() Определение3 Пусть матрицы А и В имеют одинаковую размерность, ![]() ![]() С=А+В; Определение4 Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Свойства линейных операций над матрицами Перестановочность:
Распределительный закон умножения 3. ![]() 4. ![]() 5. ![]() ![]() С – разность А и В, если можно записать А=В+С; обозначается С=А-В. Определение6 Пусть матрицы ![]() ![]() Матрица ![]() ![]() ![]() Определение7 Транспонированная матрица. Транспонировать матрицу А ![]() Вопрос 2: Операция умножения матриц и ее свойства Определение6 Пусть матрицы ![]() ![]() Матрица ![]() ![]() ![]() Свойства: Сочетательное свойство: ![]() ![]() Распределительное свойство: ![]() ![]() Произведение матрицы на единичную матрицу подходящего порядка равно самой матрице: Произведение матрицы на нулевую матрицу подходящей размерности равно нулевой матрице: Если и — квадратные одного и того же порядка, то произведение матриц обладает ещё рядом свойств. Умножение матриц в целом некоммутативно: Если , то матрицы и называются перестановочными или коммутирующими между собой. Определитель и след произведения не зависят от порядка умножения матриц: ![]() ![]() Билет 3. Перестановки и их четность. Изменение четности при транспозиции. Прежде чем обобщить понятие определителя на матрицы более высокого порядка, дадим некоторые новые определения.. Рассмотрим конечное множество из ![]() ![]() Обычный порядок этих чисел можно изменить, переставив их. Например, числа 1,2,3 можно расположить так: 3,1,2 или 2,3,1. Всякое расположение чисел 1,2,…, ![]() Утверждение. Число всех перестановок множества из ![]() ![]() Доказательство. Общий вид перестановки таков: ![]() где каждое из ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() способов переставить числа 1,2,… . ![]() Пусть ![]() некоторая перестановка. Говорят, что ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2 3 1 5 4 - 3 инверсии (2,1), (3,1).(5,4); перестановка нечетная. 4 3 1 5 2 - 6 инверсий (4,3), (4,1), (4,2), (3,1), (3,2), (5,2); перестановка четная. Установленное выше соответствие между перестановками и подстановками позволяет говорить и о четности подстановок: будем называть подстановку четной (нечетной), если соответствующая ей перестановка четная (нечетная). Знак подстановки ![]() Лемма. Две перестановки ![]() ![]() имеют различную четность. Доказательство. Пусть сначала ![]() ![]() ![]() Инверсии, содержащиеся в первой перестановке, в которых хотя бы один элемент не равен ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть теперь ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() затем ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Итого, мы сделаем ![]() Утверждение Любая транспонизация элементов меняет четность перестановки. Подстановкой будем называть любое взаимно однозначное отображение множества ![]() Билет 4. Определители 2, 3 порядков. Определние определителя порядка n. Единичная матрица и ее определитель Определителем квадратной матрицы (det A) называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:
, где М1k - определитель матрицы (детерминант), полученной из исходной матрицы вычеркиванием первой строки и k - oго столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов. \ В частности, формула вычисления определителя матрицы такова: ![]() = a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 Определитель единичной матрицы равен 1 Билет 5. Неизменность определителя при транспонировании его матрицы 1.Определитель не меняется при транспонировании. Пусть А(nxn), пусть В=АT А=||a,ig|| , B=||b,gi|| a,ig = b,gi – очевидно. Рассмотрим слагаемое в detB (-1)N(P)*a£11*a£22*…*a£nn Здесь P=(1 2 … n) (£1 £2 … £n) произведение a£11*a£22*…*a£nn входит в det A со знаком P`=(£1 £2 … £n) (1 2 … n) Очевидно, что четности подстановок совпадают (-1)N(P)=(-1)N(P`) по этому det A b det B состоят из одних и тех же слагаемых произведений. 7). При транспонировании матрицы определитель не меняется: Докажем это. В разложении определителя (*) любое слагаемое с точностью до знака является произведением элементов матрицы по одному из каждой строки и из каждого столбца. Поэтому с точностью до знаков слагаемые в разложениях определителей исходной и транспонированной матриц совпадают. Теперь разберемся со знаками. Возьмем произвольное слагаемое из разложения определителя матрицы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Билет 6. Разложение определителя в сумму определителей, если какой-либо столбец определяется суммой столбцов Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же. Например, ![]() Билет 7. Свойства определителя – вынесение за знак определителя общего множителя из строки или стобца, перестановка двух строк или столбцов Ответ:.Общий множитель элементов некоторой строки можно вынести за знак определителя. Если одну из строк матрицы умножить на некоторое число ![]() ![]() ![]() ![]() 2). Если две строки матрицы поменять местами (элементарное преобразование типа I), то определитель матрицы поменяет знак (кососимметричность). Иначе, пусть ![]() Тогда ![]() Доказательство. Рассмотрим произвольное слагаемое в формуле (*) для матрицы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Согласно лемме четность подстановок ![]() ![]() ![]() ![]() Билет 8. Свойства определителя - прибавление к строке определителя другой строки, умноженной на число; прибавление линейной комбинцации 2 строк, аналогичное для столбцов. Ответ: Если к одной строке матрицы прибавить другую строку, умноженную на какое-нибудь число (элементарное преобразование типа II), то определитель матрицы не изменится. Доказательство немедленно следует из предыдущих свойств. Пусть ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() матрица, у которой ![]() ![]() ![]() Определитель ![]() равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеют место следующие равенства: , , , , , . |