Ответ Оп Матрицей a размерности Sxn называется прямоугольная таблица из чисел, состоящая из s строк и n столбцов

Название	Ответ Оп Матрицей a размерности Sxn называется прямоугольная таблица из чисел, состоящая из s строк и n столбцов
Анкор	Otvety_Linal.docx
Дата	22.12.2017
Размер	7.71 Mb.
Формат файла
Имя файла	Otvety_Linal.docx
Тип	Документы #12535
страница	3 из 7

1 2 3 4 5 6 7

Свойства решений систем линейных алгебраических уравнений

Используя свойства линейных операций с матрицыми, нетрудно доказать, справедливость следующих утверждений.

Если и — два решения системы , то при любых и вектор — решение системы.
Если и — два решения системы , то вектор — решение приведенной однородной системы .
Если решение системы , а — решение системы , то вектор — решение системы .

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы

25. Понятие о базисных и свободных неизвестных, условие нетривиальной совместности однородной системы.

Система совместна – если имеет хотябы одно решение. Несовместна – если не имеет ни одного решениия

Система линейных алгеьраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Если система совместна, найти какой-либо базисный минор порядка r(минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется ранг матриц). Взять r уравнений из коэффицентов которых составлен базисный минор(остальные уравнения отбросить). Неизвестные которые входят в базисный минор называются главными, и оставляются слева, а оставшиеся назыаются свободные, и переносятся вправо

26. Понятие о линейной зависимости решений; существование фундаментальной системы решений

. Пусть дана однородная система линейных уравнений

(*)

Предположим, что набор чисел

- какое-то решение этой системы. Тогда набор чисел

тоже является решением. Это проверяется непосредственной подстановкой в уравнения системы. Далее, если набор

- некоторое другое решение, то

тоже является решением:

И вообще, любая линейная комбинация решений системы (*) является решением этой системы.

Всякий базис в множестве Q состоит из n – r векторов e₁,...,e_n_-_r.Соответствующая ему в каноническом базисе система вектор-столбцов Е₁,..., Е_n–_r наз. фундаментальной системой решений.

К примеру у нас было 4 неизвестных, 2 базисных, 2 свободных. X3,x4 заменяем на c1 и с2. Как пример ответ: ( ¾ - 1/4с1+7/4с2)

½ + 3/2c1-1/2c2

C1

C2

Базисные решения Е₁,..., Е_n–_r могут быть получены по правилу Крамера, если свободным неизвестным придавать поочередно значение 1, полагая остальные равными 0.

27. Выражение базисных через свободные

Если система совместна, найти какой-либо базисный минор порядка r(минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется ранг матриц). Взять r уравнений из коэффицентов которых составлен базисный минор(остальные уравнения отбросить). Неизвестные которые входят в базисный минор называются главными, и оставляются слева, а оставшиеся назыаются свободные, и переносятся вправо.

После чего выражаем базисные через свободные.

Как пример: Получена система 2x1+x2=2+x3+3x4 ; 4x1 = 3-x3+7x4

у нас было 4 неизвестных, 2 базисных, 2 свободных. X3,x4 заменяем на c1 и с2. Как пример ответ: ( ¾ - 1/4с1+7/4с2)

½ + 3/2c1-1/2c2

C1

C2

28. Понятие обшего решения одногородной системы, теорема об общем решении

Однородная система: АX=0. Неоднородная AX=B

Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных, т.е. r
Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю

Определяем ранг матрицы. Базисный минор – из него черпаем именно те неизвестные. Остальные неизвестные заменяем на c1…cn. Затем выписываем общее решение, и делаем фундаменталку – т.е. если у нас 3 c1 c2 c3, в каждом решении чередуем 1 и 0 – (x1,x2,1,0,0), (x1,x2,0,1,0)

29.

Теорема (об общем решении неоднородных систем).
Пусть $r=\mathrm{rang}a=\mathrm{rang} \tilde{a}\!$ (т.е. система (2) совместна), тогда:

если , где — число переменных системы (2), то решение (2) существует и оно единственно;
если , то общее решение системы (2) имеет вид $\vec{x}_{oh}=\vec{x}_{oo}+\vec{x}_{4h}\!$ , где — общее решение системы (1), называемое общим однородным решением, — частное решение системы (2), называемое частным неоднородным решением.

Решим систему
$\left\{ \begin{array}{ccccccccc} x_1 &+& 2x_2 &-& 3x_3 &+& x_4 &=& 1 \\ & & & & 3x_3 &+& x_4 &=& 4 \\ & & & & x_3 &+& 2x_4 &=& 3 \end{array} \right.$

Преобразуем её к
$\left\{ \begin{array}{ccccccccc} x_1 &+& 2x_2 &-& 3x_3 &+& x_4 &=& 1 \\ & & & & x_3 &+& 2x_4 &=& 3 \\ & & & & & & x_4 &=& 1 \end{array} \right.$

Тогда переменные и обязательно будут главными, возьмём также в качестве главной.

Заметим, что является частным решением.

Составим однородную систему:
$\left\{ \begin{array}{ccccccccc} x_1 &+& 2x_2 &-& 3x_3 &+& x_4 &=& 0 \\ & & & & x_3 &+& 2x_4 &=& 0 \\ & & & & & & x_4 &=& 0 \end{array} \right.$

Тогда, подставив единицу в качестве свободной переменной , получим ФСР однородной системы:

$\begin{array}{c|c|c|c|c} & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ \hline \vec{x} & 1 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \end{array}$

Общее решение системы может быть записано так:

$\vec{x}_{oh}=c\left(\begin{array}{c}1\\-\frac{1}{2}\\0\\0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right)\!$

30 МЕТОД ГАУССА

15. Исследование систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений является метод последовательного исключения неизвестных путем элементарных преобразований. - метод Гаусса. Он состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему (имеющей такие же решения) специального вида, которая легко исследуется и решается. Применение метода Гаусса не зависит ни от числа уравнений, ни от числа неизвестных в системе.

Применим данный метод для решения системы

Пусть в системе (1.7) а₁₁0. Этого можно добиться несколькими способами в числе которых перестановка уравнений местами, элементарные преобразования над строками. Все преобразования в дальнейшем будем проводить с расширенной матрицей. Нужно исключить все коэффициенты при х₁, т.е. обратить все элементы первого столбца, начиная со второй строки в 0. Разделим первую строку на а₁₁, т.е. преобразуем систему в равносильную так, чтобы а₁₁=1.

Единственное условие, которое должно быть выполнено при выборе, состоит в том, что коэффициент при избранном неизвестном должен быть не равен 0.

x₁+

+...+

(1.10)

Исключим теперь х₁ из остальных уравнений системы. Будем умножать (1.8) последовательно на а₂₁, а₃₁,..., а_n₁ и вычитать соответственно из 2-го, 3-го и последнего уравнений системы. После этого система уравнений (1.7), заменится эквивалентной системой.

(1.11)

Эти уравнения также образуют систему n уравнений с неизвестными х₁,...,х_n. Порядок ее тот же, что и у исходной системы. К ней можно применить такое же преобразование. Выбрать второе уравнение, коэффициент при х₂привести к 1, исключить х₂ из остальных уравнений и т.д. Такие преобразования проводятся до тех пор, пока они возможны, т.е. либо мы переберем все уравнения системы, либо когда в оставшихся уравнения не будет коэффициентов не равных 0.

В результате получаем систему ступенчатого вида:

(1.12)

Возможны 3 случая.

Получаем строку вида: 0+0+0+...+0=d_r.

В этом случае решений нет.

a_nnx_n=b_n

В этом случае единственное решение.

- бесчисленное множество решений.

Пример Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Запишем расширенную матрицу системы:

.

Нужно преобразовать данную матрицу таким образом, чтобы а₁₁=1. Для этого можно разделить первую строку матрицы на 2. А можно переставить местами 1-ю и 2-ю строки, тогда получим а₁₁=1.

.

Умножаем первую строку матрицы последовательно на (-2), (-4) и складываем соответственно со второй и третьей строками, получаем:

.

В полученной матрице 2-ю строку нужно разделить на 5, для того чтобы а₂₂=1. В данном примере проще провести следующие эквивалентные преобразования: 3-ю строку разделить на 9, и переставить местами 2-ю и 3-ю строки. Получим:

.

Теперь умножаем 2-ю строку на (-5) и прибавляем к третьей строке:

.

Получили матрицу ступенчатого вида. Третьей строке соответствует уравнение:

-4z=-4. Откуда получаем z=1. Второй строке соответствует уравнение: y-z=-2. Получаем, что у= -1. И, наконец, первой строке соответствует уравнение: x-y+2z=5. Откуда х=2.
31.Векторы в пространстве, линейные операции над ними и их свойства.
Линейные операции над векторами

Опр1: Вектор

- направленный отрезок.

A – начало, В – конец.Если А=В

1)Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на || прямых;

- компланарные, если будучи приведены к одному началу лежат в одной плоскости;

3)

, если а)|

|=|

|;б)

Опр2:Суммой векторов

назовем вектор

, такой что:

Опр3:Произведением

на вещественно число

назовем

:

1)|

<0

Утв:Множество векторов(направленных отрезков) с операциями

, введенными в опр2 и опр3, есть линейное пространство.

Свойства линейных операций над векторами:

1)

2) (

)

3) (

)

Опр4:

если

Длинна вктора = x2+y2+z2 в корне

32. Базисы на прямой, на плоскости и в пространстве

Базисы на прямой, на плоскости, в пространстве.

Опр1. Вектор

называется базисом на прямой L, если

вектор

||L может быть записан в виде

Опр2.Два линейно независимых вектора

, лежащие в плоскости P, называются базисом на плоскости Р, если

вектор

, лежащий на плоскости Р можно записать в виде

.

Опр3.Три линейно независимых вектора

называются базисом в пространстве, если

вектор

может быть записан в виде

Теорема

Любой ненулевой вектор

образует базис на прямой L.

Любая пара неколлинеарных векторов

, лежащих в плоскости Р образует базис на плоскости Р

Любая тройка некомпланарых векторов

образует базис в пространстве.

Док-во: самостоятельно

(1)

на прямой

(2)

на плоскости

(3)

в пространстве

Опр4 Правые части формул (1),(2),(3) называются разложением векторов

по базисам

;

соответственно, числа

соответственными координатами.

Теорема1:Разложение по базису единственно(самостоятельно!)

Теорема2:При сложении векторов их соответственные координаты складываются. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число

1 2 3 4 5 6 7