Ответ Оп Матрицей a размерности Sxn называется прямоугольная таблица из чисел, состоящая из s строк и n столбцов

Название	Ответ Оп Матрицей a размерности Sxn называется прямоугольная таблица из чисел, состоящая из s строк и n столбцов
Анкор	Otvety_Linal.docx
Дата	22.12.2017
Размер	7.71 Mb.
Формат файла
Имя файла	Otvety_Linal.docx
Тип	Документы #12535
страница	5 из 7

1 2 3 4 5 6 7

40. Общее уравнение плоскости и уравнение плоскости в отрезках

Плоскость P в декартовой прямоугольной системе координат 0xyz может быть задана уравнением одного из следующих видов

Аx+By+Cz+D=0 – общее уравнение плоскости

11.1 Общее уравнение плоскости. Зафиксируем декартову прямоугольную систему координат. Рассмотрим произвольное уравнение первой степени

. (*)

Заметим, что хотя бы один из коэффициентов

не равен нулю (иначе это уравнение имело бы нулевую степень). Тогда уравнение (*) имеет хотя бы одно решение

, т.е. существует хотя бы одна точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (*):

. (**)

Вычтем из уравнения (*) уравнение (**):

. (***)

Уравнение (***) эквивалентно уравнению (*), т.е. если координаты точки удовлетворяют уравнению (*), то они удовлетворяют уравнению (***), и наоборот.

Обозначим

вектор с координатами

. Пусть

- плоскость, проходящая через точку

и перпендикулярная вектору

. Если точка

лежит в плоскости

, то вектор

перпендикулярен вектору

, скалярное произведение этих векторов равно 0. Тогда координаты точки

удовлетворяют уравнению (***) и, следовательно, уравнению (*). Если же точка

не лежит в плоскости

, то векторы

не перпендикулярны, и скалярное произведение этих векторов не равно 0. Значит, в этом случае координаты точки

не удовлетворяют уравнению (***) и уравнению (*).

Пусть теперь дана произвольная плоскость. Выберем вектор

, перпендикулярный этой плоскости, и произвольную точку

, лежащую в этой плоскости. Если

произвольная точка плоскости, то векторы

перпендикулярны, их скалярное произведение равно 0. Тогда координаты точки удовлетворяют уравнению (***) и, следовательно, уравнению (*), являющимся уравнением первой степени. Мы доказали

Утверждение. Произвольная плоскость в пространстве определяется уравнением первой степени. Обратно, любое уравнение первой степени определяет в пространстве плоскость.

Уравнение (*) называется общим уравнением плоскости.

11.3. Уравнение плоскости в отрезках. Общее уравнение плоскости (*) называется полным, если все коэффициенты

отличны от нуля. В противном случае оно называется неполным. Неполные уравнения задают плоскость, проходящую через начало координат, параллельную какой-либо координатной оси или параллельную какой-либо координатной плоскости. Все эти случаи несложно рассмотреть.

Мы же рассмотрим полное уравнение плоскости. Так как все коэффициенты общего уравнения отличны от нуля, его можно переписать в виде:

,

где

.

Этот вид уравнения плоскости называется уравнением плоскости в отрезках.
41. Взаимное расположение двух плоскостей.

Возможны два случая взаимного расположения двух плоскостей в пространстве:

Параллельны
Пересекаться

Опр. Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются, в противном случаи они пересекаются.

Теорема1: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство:

Пусть и - данные плоскости, а1 и а2 - прямые в плоскости , пересекающиеся в точке А, в1 и в2 - соответственно параллельные им прямые в

плоскости . Допустим, что плоскости и не параллельны, т.е. пересекаются по некоторой прямой с. По теореме прямые а1 и а2, как параллельные прямым в1и в2, параллельны плоскости , и поэтому они не

пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости через точку А проходят две прямые (а1 и а2) , параллельные прямой с. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию ЧТД.

Перпендикулярные плоскости: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Теорема2: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Доказательство:

Пусть - плоскость, в -перпендикулярная ей прямая, - плоскость, проходящая через прямую в, с - прямая, по которой пересекаются плоскости и . Докажем, что плоскости и перпендикулярны. Проведем в плоскости через точку пересечения прямой в с плоскостью прямую а,

перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и в плоскость . Она перпендикулярна прямой с, т.к. прямая с перпендикулярна прямым а и в. Т. к. прямые а и в перпендикулярны, то плоскости и перпендикулярны. ч.т.д.

42. Нормальное уравнение плоскости и его свойства

Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

$x \cos \alpha+ y \cos \beta+ z \cos \gamma - p=0 \qquad (2)$

в векторной форме:

$(\mathbf{r},\mathbf{n^0})\mathbf{-p}=0,$

где - единичный вектор, — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

$\mu = \pm \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

(знаки и противоположны).

43. Уравнения прямой линии в пространстве: Общие уравнения, каноничекие и параметрические уравнения.

Канонические уравнения:

Выведем уравнение прямой, проходящей через данную точку

и параллельную данному направляющему вектору

. Заметим, что точка

лежит на этой прямой тогда и только тогда, когда векторы

коллинеарны. Это означает, что координаты этих векторов пропорциональны:

.

Эти уравнения называют каноническими. Заметим, что одна или две координаты направляющего вектора могут оказаться равными нулю. Но мы воспринимаем это как пропорцию:

мы понимаем как равенство

.
Общие уравнения:

(A1x+B1y+C1z+D1=0

(A2x+B2y+C2z+D2=0

Где коэффиценты А1-С1 не пропорциональны A2-C2,что равносильно ее заданию как линии пересечения плоскостей

Параметрические:

Откладывая от точки

векторы

для различных значений

, коллинеарные направляющему вектору, мы будем получать на конце отложенных векторов различные точки нашей прямой. Из равенства

следует:

или

Переменную величину

называют параметром. Поскольку для любой точки прямой найдется соответствующее значение параметра и поскольку различным значениям параметра соответствуют различные точки прямой, то существует взаимно однозначное соответствие между значениями параметра и точками прямой. Когда параметр

пробегает все действительные числа от

до

, соответствующая точка

пробегает всю прямую.

44. Понятие линейного пространства. Аксиомы. Примеры линейных пространств

Пример линейного пространства – множество всех геометрических векторов.

Линейное, или векторное пространство над полем P — это непустое множество L, на котором введены операции

сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый и

умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствие элемент из , обозначаемый $\lambda\mathbf{x}\in l(p)$ .

При этом на операции накладываются следующие условия:

, для любых (коммутативность сложения);

$\mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z}) = (\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z}$ , для любых (ассоциативность сложения);

существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;

для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента).

$\alpha(\beta\mathbf{x}) = (\alpha\beta)\mathbf{x}$ (ассоциативность умножения на скаляр);

(умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).

$(\alpha + \beta)\mathbf{x} = \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{x}$ (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

$\alpha(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \alpha \mathbf{x} + \alpha \mathbf{y}$ (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Элементы множества L называют векторами, а элементы поля P — скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.

Простейшие свойства

Векторное пространство является абелевой группой по сложению.

Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.

для любого .

Для любого противоположный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.

для любого .

$(-\alpha)\mathbf{x} = \alpha(-\mathbf{x}) = -(\alpha\mathbf{x})$ для любых и .

для любого .

Элементы линейного пространства называются векторами. Пространство называется действительным, если в нем оперция умножения векторов на число определена только для действительных числе, и комплексным, если эта оперкция определана только для комплексных чисел.

45. Базис и размерност линейного прорстранства, связь между ними.
Конечная сумма вида

$\alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n$

называется линейной комбинацией элементов $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n \in l$ с коэффициентами $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in p$ .

Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.

Элементы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная θ. В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.

Бесконечное подмножество векторов из L называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.

Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом (базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса также называют базисными векторами. Свойства базиса:

Любые n линейно независимых элементов n-мерного пространства образуют базис этого пространства.

Любой вектор можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:

$\mathbf{x} = \alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n$ .

46. Координты вектора в данном базисе. Линейные операции с векторами в координатной форме

п.4. Линейные операции с векторами в координатной форме записи.

Пусть – базис пространства и – два его произвольных вектора. Пусть и – запись этих векторов в координатной форме. Пусть, далее, – произвольное действительное число. В этих обозначениях имеет место следующая теорема.

Теорема. (О линейных операциях с векторами в координатной форме.)

1) ;

2) .

Пусть Ln – произвольное n-мерное пространство, B = (e1,….,en) - фиксированный базис в нем. Тогда всякому вектору x пренадлежащему Ln взаимно однозначно соответствует столбец его координат в этом базисе.

X = x1e1+….xnen  X = (X1

….

XN)

47Переход к новому базису. М атрица перехода. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

48. Линейные операторы в линейном пространстве. Матрица оператора и ее использование при осуществлении действия оператора.

49. Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису

13.4. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов. Посмотрим, как изменится матрица линейного отображения, если в пространствах

перейти к новым базисам. Пусть

- новые базисы. Обозначим через

матрицу перехода от

, через

- матрицу перехода от

. Тогда:

.

Подставим в равенство (*):

.

Отсюда

.

Значит, при изменении базисов матрица

отображения преобразуется в матрицу

.

В случае, когда линейное отображение является линейным оператором, вместо пары базисов мы имеем один базис в пространстве

. Тогда при замене этого базиса матрица оператора преобразуется по формуле

.
Сканировать 129

50. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Характерестический многочлен и его независимость от выбора базиса.
14.2. Собственные векторы и собственные значения оператора. Попробуем решить задачу нахождения одномерных подпространств, инвариантных относительно оператора .

Определение. Пусть

- вещественное (комплексное) линейное пространство. Ненулевой вектор

называется собственным вектором оператора , если
для некоторого

. При этом число

называется собственным значением оператора .

Обозначим

множество всех векторов

из

, для которых выполняется равенство

. Заметим, что если

, то

.

Легко видеть, что

является инвариантным подпространством, его ненулевые векторы являются собственными, отвечающими собственному значению

.

Если вектор

является собственным, отвечающим собственному значению

, то выполняется равенство

, откуда . Это означает, что ядро оператора нетривиально, следовательно, равен 0 определитель этого оператора. Зафиксируем базис пространства. Если в этом базисе матрица оператора равна

,

то равенство нулю определителя оператора запишется в виде:

.

Представив определитель как сумму произведений элементов матрицы (по определению), мы получим равенство, в левой части которого стоит многочлен степени

от

. Определение. Многочлен

называется характеристическим многочленом матрицы

Пусть L — линейное пространство над полем K, — линейное преобразование.

Собственным вектором линейного преобразования A называется такой ненулевой вектор , что для некоторого

Ax = λx

Собственным значением линейного преобразования A называется такое число , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение Ax = λx имеет ненулевое решение .

Упрощённо говоря, собственный вектор - любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный λx, а соответствующий скаляр λ называется собственным значением оператора.

Собственным подпространством линейного преобразования A для данного собственного числа называется множество всех собственных векторов , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его E_λ. По определению,

$e_{\lambda}=\ker(a-\lambda \cdot e)$

где E — единичный оператор.

1 2 3 4 5 6 7