Ответ Оп Матрицей a размерности Sxn называется прямоугольная таблица из чисел, состоящая из s строк и n столбцов
![]()
|
Теорема. В любом конечномерном пространстве существует ортонормированный базис. Доказательство теоремы немедленно следует из того, что существует базис ![]() ![]() ( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Свойства: в ортонормированном базисе скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов. Любую ортонормированную систему векторов конечномерного евклидова пространства можно дополнить до ортонормированного базиса. 56.Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лангаржа. ![]() ![]() ![]() 57. Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой. Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу ![]() Тогда эта форма положительно определена, если и только если все её главные (угловые) миноры Δi положительны. Форма отрицательно определена, если и только если знаки Δi чередуются, причём Δ1 < 0. Здесь главными минорами матрицы A называются определители вида ![]() ![]() ![]() Для неотрицательно определённых матриц критерий действует только в одну сторону: если форма неотрицательно определена, то главные миноры неотрицательны. Обратное неверно. Например, матрица ![]() не является неотрицательно определённой — так как, например, (Mv,v) = − 2 для v = (0,1, − 1). В то же время все её главные миноры равны 0, то есть неотрицательны. Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны. 58.Кривые второго порядка: Канонические уравнения и форма: Эллипс ![]() ![]() Эллипс, его фокусы и главные оси Гипербола ![]() ![]() Асимптоты гиперболы (красные кривые), показанные голубым пунктиром, пересекаются в центре гиперболы, C. Два фокуса гиперболы обозначены как F1 и F2. Директрисы гиперболы обозначены линиями двойной толщины и обозначены D1 и D2. Эксцентриситет ε равен отношению расстояний точки P на гиперболе до фокуса и до соответствующей директрисы (показаны зеленым). Вершины гиперболы обозначены как ±a. Парабола ![]() ![]() 59. Поверхности второго порядка Эллиптический цилиндр: ![]() ![]() Параболический цилиндр: ![]() Гиперболический цилиндр: ![]() ![]() Эллипсоид: Однополостной ![]() ![]() гиперболоид: ![]() ![]() Двуполостной гиперболоид: ![]() ![]() ![]() ![]() 60. Комплексные числа: Сложение, вычитание, умножение и деление в алгебраической форме 1. Понятие комплексного числа. Из школьного курса математики известно, что действительных чисел недостаточно для решения квадратных уравнений. Простейшее из квадратных уравнений ![]() Выберем на плоскости прямоугольную систему координат с осью абсцисс ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Заметим, что ![]() ![]() Поэтому точки, лежащие на оси ![]() ![]() ![]() Кроме того, ![]() Традиционно эту точку обозначают буквой ![]() Учитывая, что для ![]() ![]() ![]() ![]() В этой записи операции сложения и умножения выглядят так: ![]() ![]() т.е. эти операции выполняются как с обычными двучленами с учетом равенства ![]() Пусть дано число ![]() ![]() ![]() ![]() Определив операции сложения и умножения, естественно ввести обратные операции вычитания и деления: ![]() Последняя формула довольно громоздка, и запоминать ее не стоит. Следует только знать, что для вычисления дроби нужно числитель и знаменатель умножить на сопряженное знаменателю число. Итак, построенная система чисел с алгебраическими операциями называется множеством комплексных чисел и обозначается С. Ко́мпле́ксные[1] чи́сла — расширение множества вещественных чисел. обычно обозначается . Каждое комплексное число z представляет собой сумму x + iy, где x и y вещественные, а i это так называемая мнимая единица, являющейся корнем уравнения i2 = − 1 Множество комплексных чисел обозначается в литературе как (ажурное), а иногда как C (простое), (полужирное). 61. Тригонометрическая форма комплексного числа Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа(2 СТРАНИЦЫ) 2. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Форма записи комплексного числа ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Кроме этой формы существует другая – тригонометрическая. Сначала введем некоторые понятия. Модулем комплексного числа называется неотрицательное действительное число ![]() Геометрический смысл модуля прост – это расстояние от начала координат до точки плоскости, соответствующей комплексному числу ![]() Аргументом ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Аргумент может принимать любые значения, но при заданном модуле углы, отличающиеся на ![]() ![]() Для числа 0 аргумент не определен. Действительная и мнимая части комплексного числа связаны с модулем и аргументом очевидными соотношениями: ![]() Тогда ![]() Это и есть тригонометрическая форма записи комплексного числа ![]() Заметим, что операции сложения и вычитания выглядят в алгебраической форме просто и естественно, но формулы для умножения и деления кажутся весьма громоздкими. Если же мы перейдем к тригонометрической форме записи комплексного числа, то получим: ![]() Итак, модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей. Несложно показать, что при делении модули делятся, а аргументы вычитаются: так как ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня. Из формулы для умножения комплексных чисел в тригонометрической форме сразу же следует формула для возведения комплексного числа в степень – формула Муавра: ![]() Теперь попробуем извлечь из комплексного числа корень произвольной степени. В отличие от действительных чисел это всегда возможно. Пусть дано комплексное число ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Геометрически это выглядит так: корни ![]() ![]() ![]() ![]() 4. Важное замечание. Мы расширили систему действительных чисел с целью иметь возможность решить уравнение ![]() ![]() ![]() |