Курсовая. курсовая работа. Поверхности второго порядка

• Название: Поверхности второго порядка
• Анкор: Курсовая
• Дата: 22.11.2020
• Размер: 231.87 Kb.
• Имя файла: курсовая работа.docx
• Тип: Курсовая; #152710

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему

«Поверхности второго порядка»


Содержание

Введение

Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени. В данной работе мы подробно изучим эту тему.

Целью данной курсовой работы являются формы поверхности второго порядка. Закрепление полученных теоретических знаний и практических навыков по изучению и анализу поверхностей второго порядка.

Задачами курсовой работы является:

1. 
   Изучить классификацию поверхностей второго порядка;
   
2. 
   Изучить классификацию нецентральных поверхностей второго порядка
   
3. 
   Исследовать форму поверхности методом сечений плоскостями, построить линии, полученные в сечениях;
   
4. 
   Построить поверхность в канонической системе координат.
   

Глава 1. Теоретическая часть

1.1 Общие понятия

Поверхностью второго порядка S называется геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

, (1)

где по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

Уравнение (1) называют общим уравнением поверхности второго порядка S, а систему координат Oxyz называют общей системой координат.

Теорема: Для произвольной поверхности S, заданной общим уравнением существует такая декартова прямоугольная система координат что в этой системе поверхность S имеет уравнение одного из следующих семнадцати канонических видов.

1) — эллипсоид,

2) — мнимый эллипсоид,

3) — однополостный гиперболоид,

4) — двуполостный гиперболоид,

5) — конус,

6) — мнимый конус (точка),

7) — эллиптический параболоид,

8) — гиперболический параболоид,

9) — эллиптический цилиндр,

10) — мнимый эллиптический цилиндр,

11) — две мнимые пересекающиеся плоскости (ось

O'Z),

12) — гиперболический цилиндр,

13) — две пересекающиеся плоскости,

14) — параболический цилиндр,

15) — две параллельные плоскости,

16) — две мнимые параллельные плоскости,

17) — две совпадающие плоскости (плоскость XOZ).

В вышеперечисленных уравнениях a, b, c, p ­— положительные параметры. Систему координат называют канонической.


1.2 Классификация поверхностей второго порядка

1. Классификация центральных поверхностей. Пусть S — центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате указанных операций уравнение поверхности примет вид

a₁₁х² + а₂₂у² + a₃₃z² + а₄₄ = 0         (2)

Так как инвариант I₃ для центральной поверхности отличен от ноля и его значение, вычисленное для уравнения (2) , равно a₁₁ • а₂₂ • a₃₃ , то коэффициенты a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃ удовлетворяют условию:

Возможны следующие случаи:

1. Коэффициенты a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃  одного знака, а коэффициент а₄₄ отличен от нуля. В этом случае поверхность S называется эллипсоидом.

Если коэффициенты a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃ , а₄₄ одного знака, то левая часть (2) ни при каких значениях х, у, z не обращается в нуль, т. е. уравнению поверхности S не удовлетворяют координаты никакой точки. В этом случае поверхность S называется мнимым эллипсоидом.

Если знак коэффициентов a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃ противоположен знаку коэффициента а₄₄ , то поверхность S называется вещественным эллипсоидом. В дальнейшем термином «эллипсоид» мы будем называть лишь вещественный эллипсоид.

Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно, числа


положительны. Обозначим эти числа соответственно а², b², с². После несложных преобразований уравнение эллипсоида (2) можно записать в следующей форме:


Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллипсоида.

Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (3), то оси Ох, Оу и Оz. называются его главными осями.

2. Из четырех коэффициентов a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃ , а₄₄ два одного знака, а два других—противоположного. В этом случае поверхность S называется однополостным гиперболоидом.

Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, a₁₁ > 0, а₂₂ > 0, a₃₃ < 0, а₄₄ < 0. Тогда числа


положительны. Обозначим эти числа соответственно а², b², с². После несложных преобразований уравнение (2) однополостного гиперболоида можно записать в следующей форме:

Уравнение (4) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (4), то оси Ох, Оу и Oz называются его главными осями.

3. Знак одного из первых трех коэффициентов a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃ , а₄₄ противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность S называется двуполостным гиперболоидом.

Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канонической форме. Пусть, ради определенности, a₁₁ < 0, а₂₂ < 0, a₃₃ > 0, а₄₄ < 0. Тогда:


Обозначим эти числа соответственно через a², b², с². Поcли несложных преобразований уравнение (2) двуполостного гиперболоида можно записать в следующей форме:


Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением, то оси Ох, Оу и Оz называются его главными осями.

4. Коэффициент а₄₄ равен нулю. В этом случае поверхность S называется конусом второго порядка.

Если коэффициенты a₁₁ , а₂₂ , a₃₃  одного знака, то левая часть (2) обращается в нуль (а₄₄ = 0) лишь для х=у=z=0, т. е. уравнению поверхности S удовлетворяют координаты только едной точки. В этом случае поверхность S называется мнимым конусом второго порядка. Если коэффициенты a₁₁ , а₂₂ , a₃₃ имеют разные знаки, то поверхность S является вещественным конусом второго порядка.

Обычно уравнение вещественного конуса второго порядка записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности,

a₁₁ > o, а₂₂ > 0, a₃₃ < 0. Обозначим



соответственно через а², b², с². Тогда уравнение (2) можно записать в виде

Уравнение (6) называется каноническим уравнением вещественного конуса второго порядка.
1.3 Классификация нецентральных поверхностей второго порядка

Пусть S — нецентральная поверхность второго порядка, т. е. поверхность, для которой инвариант I₃ равен нулю. Произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид

a´₁₁х´² + а´₂₂у´² + a´₃₃z´² + 2а´₁₄ x´ + 2а´₂₄у´+2а´₃₄z´ +а´₄₄  = 0              (7)

для системы координат Ox´y´z´

Так как инвариант I₃ = 0 и его значение, вычисленное для уравнения (7) , равно

a´₁₁ • а´₂₂ • a´₃₃ , то один или два из коэффициентов a´₁₁ , а´₂₂ , a´₃₃  равны нулю. В соответствии с этим рассмотрим следующие возможные случаи.

1. Один из коэффициентов a´₁₁ , а´₂₂ , a´₃₃   равен нулю. Ради определенности будем считать, что a´₃₃ = 0 (если равен нулю какой-либо другой из указанных коэффициентов, то можно перейти к рассматриваемому случаю путем переименования осей координат). Перейдем от координат х', у', z' к новым координатам х, у, z по формулам

Подставляя х', у' и z', найденные из (8), в левую часть (7) и заменяя затем

a´₁₁  на  a₁₁ , а´₂₂  на а₂₂ , а´₃₄ на p и  а´₄₄ на q , получим следующее уравнение поверхности S в новой системе координат Oxyz :

a₁₁х² + а₂₂у² + 2pz + q = 0                   (9)

1) Пусть р = 0, q = 0. Поверхность S распадается на пару плоскостей

При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a₁₁ и а₂₂  одинаковы, и вещественными, если знаки a₁₁ и а₂₂ различны.

2) Пусть р = 0, q ≠ 0. Уравнение (9) принимает вид

a₁₁х² + а₂₂у² + q = 0                   (10)

Известно, что уравнение (10) является уравнением цилиндра с образующими, параллельными оси Оz. При этом если a₁₁ , а₂₂ , q имеют одинаковый знак, то левая часть (10) отлична от нуля для любых х и y, т. е. цилиндр будет мнимым. Если же среди коэффициентов a₁₁ , а₂₂ , q имеются коэффициенты разных знаков, то цилиндр будет вещественным. Отметим, что в случае, когда a₁₁ и а₂₂  имеют  одинаковые знаки, a q — противоположный, то величины положительны.



Обозначая их соответственно через а² и b², мы приведем уравнение (10) к виду


Таким образом, в отмеченном случае мы имеем эллиптический цилиндр. В случае, a₁₁ и а₂₂ имеют различные знаки, мы получим гиперболический цилиндр. Легко убедиться, что уравнение гиперболического цилиндра может быть приведено к виду


3) Пусть р≠0. Произведем параллельный перенос системы координат, выбирая новое начало в точке с координатами



(0, 0,).

При этом оставим старые обозначения координат х, у, z. Очевидно, для того чтобы получить уравнение поверхности S в новой системе координат, достаточно заменить в уравнении (9)

Получим следующее уравнение:

a₁₁х² + а₂₂у² + 2pz = 0             (13)

Уравнение (13) определяет так называемые параболоиды. Причем если a₁₁ и а₂₂ имеют одинаковый знак, то параболоид называется эллиптическим. Обычно уравнение эллиптического параболоида записывают в канонической форме:



Уравнение (14) легко получается из (13). Если a₁₁ и а₂₂ имеют разные знаки, то параболоид называется гиперболическим. Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид


Это уравнение также легко может быть получено из (13).

  2°. Два из коэффициентов a´₁₁ , а´₂₂ , a´₃₃  равны нулю. Ради определенности будем считать, что  a´₁₁ = 0  и  а´₂₂ = 0 Перейдем от х,', у', z' к. новым координатам х, у, z по формулам :


Подставляя х', у' и z' , найденные из (16) в левую часть (7) и заменяя затем a´₃₃  на a_{33  ,}  a´₁₄   на р , a´₂₄  на  q и a´₄₄ на r , получим следующее уравнение поверхности S в новой системе координат Охуz :

a₃₃ z² + 2px + 2qy + r = 0        (17)


1) Пусть р=0, q=0. Поверхность S распадается на пару параллельных плоскостей

При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a₃₃ и r одинаковы, и вещественными, если знаки a₃₃ и r различны, причем при r = 0 эти плоскости сливаются в одну.

2) Хотя бы один из коэффициентов р или q отличен от нуля. В этом случае повернем систему координат вокруг оси Oz так, чтобы новая ось абсцисс стала параллельной плоскости 2рх+2qy+r=0. Легко убедиться, что при таком выборе системы координат, при условии сохранения обозначения х, у и z для новых координат точек, уравнение (17) примет вид

a₃₃ z² + 2q´y = 0                (19)

которое является уравнением параболического цилиндра с образующими, параллельными новой оси Ох.

1.4 Исследование формы поверхности второго порядка методом сечения плоскостями

Если дано каноническое уравнение поверхности S, то представление о поверхности можно получить по форме линий пересечения ее плоскостями:

Z = h— параллельными координатной плоскости XO'Y,

X = h — параллельными координатной плоскости YO'Z,

Y = h — параллельными координатной плоскости XO'Z.

Практическая часть

Решение задач
Дано:

;

Это эллипсоид в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz, где оси OX, OY, OZ — оси симметрии.

1. 
   Рассмотрим линии плоскостями =h (h=const):
   

(1)
Плоскость Z=h параллельна плоскости Oxy.

Уравнения проекций на Oxy имеют вид:


Если , то , и тогда поделим обе части уравнения на , получим:


Это уравнение эллипсов с полуосями , ; увеличивающиеся с уменьшением , центр эллипса (0;0;h)

При различных h имеем:




Если , тогда и значит линии удовлетворяющих уравнению(1) нет.

2. 
   Рассмотрим полученные в сечениях эллипсоида плоскостями X=h:
   

(2)
Уравнение проекций на YOZ.

Это уравнение эллипсов с полуосями , ;

Если , то a=3, b=2, и

Если , тогда мы получаем семейство эллипсов:
, ;

, ;
Если , тогда — это уравнение точки с координатами (h;0;0).

Если , тогда и значит линии удовлетворяющих уравнению (2) нет.

3. Рассмотрим полученные в сечениях эллипсоида плоскостями Y=h:
(3)
Уравнения эллипсов, проекций на YOZ и имеют центры (0;h;0).

Полуоси ,

Если , тогда , уравнение точек с координатами (0;h;0).

Если , тогда мы получаем семейство эллипсов:
, ;

, ;
Если , тогда и значит линии удовлетворяющих уравнению (3) нет.

Построим однополостный гиперболоид

в канонической системе координат проанализировав уравнение поверхности и результаты исследования методом сечения ее плоскостями.

Вывод

Проанализировав уравнение эллипсоида , получили некоторые представления о форме эллипсоида.

Из уравнения следует, что оси OX, OY, OZ — оси симметрии, плоскости XOY, YOZ, XOZ — плоскости симметрии.

Рассекая поверхность плоскостями y=h,z=h,x=h, в сечениях имеем эллипсы, наибольшие из которых получаются в плоскостях x=0, y=0, z=0, полуоси их уменьшаются с увеличением , вершины эллипсов имеют координаты по оси X; по оси Y; по оси Z.

Список используемой литературы

1. 
   В.А. Ильин, Э.Г. Позняк «Аналитическая геометрия»
   
2. 
   Копылова Т. В. Конспект лекций по линейной алгебре;
   
3. 
   Копылова Т. В. Линейная алгебра. — Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 1996;
   
4. 
   Ефимова Л. В., Демидович Б. П. Линейная алгебра и основы математического анализа. — М: Наука, 1993.