Главная страница
Навигация по странице:

  • Определение комплексного числа в алгебраической форме, действия над ними.

  • Геометрическое изображение комплексных чисел. Модуль и аргументы комплексного числа.

  • Решение алгебраических уравнений.

  • Элементы линейной алгебры

  • Введение в анализ

  • Дифференциальное исчисление

  • Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения

  • Теория вероятностей и математическая статистика

  • Prikladnaia_matematika 31 мая. Основные понятия комплексных чисел Определение комплексного числа в алгебраической форме, действия над ними


    Скачать 69.43 Kb.
    НазваниеОсновные понятия комплексных чисел Определение комплексного числа в алгебраической форме, действия над ними
    Дата12.05.2023
    Размер69.43 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаPrikladnaia_matematika 31 мая.docx
    ТипДокументы
    #1124897

    Основные понятия комплексных чисел

    Определение комплексного числа в алгебраической форме, действия над ними.

    Мнимые числа, которыми мы дополняем действительные числа, записываются в виде bi, где i – мнимая единица, причем 2 = -1.

    Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа.

    Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b - действительные числа. При этом выполняются условия:

    а) Два комплексных числа a1 + b1и a2 + b2равны тогда и только тогда, когда a1=a2b1=b2.

    б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:

    (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2) i.

    в) Умножение комплексных чисел определяется правилом:

    (a1 + b1i) (a2 + b2i) = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 - a2b1) i.

    Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.

    Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю: a = b = 0

    Комплексное число a + bi при b = 0 считается совпадающим с действительным числом aa + 0i = a.

    Комплексное число a + bi при a = 0 называется чисто мнимым и обозначается bi0 + bi = bi.

    Два комплексных числа z = a + bi и   = a – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

    Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.

    1) Сложение. Суммой комплексных чисел z1 = a1 + b1 i и z2 = a2 + b2называется комплексное число z, действительная часть которого равна сумме действительных частей z1 и z2, а мнимая часть - сумме мнимых частей чисел z1 и z2, то есть z = (a1 + a2) + (b1 + b2) i. Числа z1 и zназываются слагаемыми.

    Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

    1º. Коммутативность: z1 + z2 = z2 + z1.

    2º. Ассоциативность: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3).

    3º. Комплексное число – a – bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi. Комплексное число, противоположное комплексному числу z, обозначается -z. Сумма комплексных чисел z и -z равна нулю: z + (-z) = 0

    2) Вычитание. Вычесть из комплексного числа z1 комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z + z2 =z1. Разность комплексных чисел существует и притом единственная.

    3) Умножение. Произведением комплексных чисел z1=a1+ b1 i и z2=a2+b2i называется комплексное число z, определяемое равенством:

    z = (a1 a2 b1b2) + (a1b2 + a2b1) i. Числа z1 и z2 называются сомножителями.

    Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

    1º. Коммутативность: z1z2 = z2 z1.

    2º. Ассоциативность: (z1z2)z3 = z1 (z2z3)

    3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:

    (z1 + z2) z3 = z1z3 + z2z3.

    4º. z ·   = (a + bi) (a – bi) = a2 + b- действительное число.

    На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.

    4) Деление. Разделить комплексное число z1 на комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z · z2 = z1. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z2 ≠ 0 + 0i.

    5) а) Возведение в целую положительную степень. Чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой равен остатку от деления.

    б) Возведение комплексного числа в целую положительную степень производится по правилу возведения двучлена в соответствующую степень, так как оно представляет собой частный случай умножения одинаковых комплексных сомножителей.

    С помощью комплексных чисел можно решать квадратные уравнения, у которых отрицательный дискриминант.

    Геометрическое изображение комплексных чисел.

    Модуль и аргументы комплексного числа.

    Любое комплексное число (кроме нуля) z=a+bi  можно записать в тригонометрической форме:

    z=|z|∙(cosφ+isinφ),

    где |z| – это модуль комплексного числа, а φ – аргумент комплексного числа.

    Изобразим на комплексной плоскости число z=a+bi  . Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что a>0, b>0 :



    Модулем комплексного числа z называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

    Модуль комплексного числа z стандартно обозначают: |z| или r.

    По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: 

    .

    Данная формула справедлива для любых значений a и b.

    Аргументом комплексного числа z называется угол φ между положительной полуосью действительной оси Re z и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: z=0.

    Аргумент комплексного числа z стандартно обозначают: φ или arg z.

    Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:



    Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-ой и не 4-ой координатной четверти, то формула будет немного другой.

    Формулы для нахождения   в зависимости от а и b:

    1. 

    2. 

    3. 

    4. 

    5. 

    6. 

    7. 

    8. 

















    Решение алгебраических уравнений.

    Алгебраическое уравнение  — уравнение вида:

    P(x1, x2, …, xn)=0,

    где P — многочлен от переменных x1,x2,…,xn, которые называются неизвестными.

    Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого поля F, и тогда уравнение P(x1, x2, …, xn)=0 называется алгебраическим уравнение над полем F.

    Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

    Связанные определения. Значения переменных x1, x2, …, xn, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

    Уравнения, сводящиеся к алгебраическим.

    1. Биквадратными называются уравнения вида:

    ах4 + bх2 + с = 0,

    где а, b, с – заданные числа, причем, а ≠ 0.

    Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению при помощи подстановки у=х2.

    Новое квадратное уравнение относительно переменной у: 

    ay2+by+c=0.

    Решая это уравнение, мы получаем корни квадратного уравнения y1 и y2.

    Решая эти два уравнения (y1=x12 и y2=x12) относительно переменной x, мы получаем корни данного биквадратного уравнения.

    Порядок действий при решении биквадратных уравнений

    1. Ввести новую переменную у=х2

    2. Подставить данную переменную в исходное уравнение

    3. Решить квадратное уравнение относительно новой переменной

    4. После нахождения корней (y1; y2) подставить их в нашу переменную у=х2 и найти исходные корни биквадратного уравнения

    2. Симметрические уравнения.

    Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида ax3 + bx2 + bx + a = 0, где a, b –  заданные числа.

    Для того, чтобы успешно решать уравнения такого вида, полезно знать и уметь использовать следующие простейшие свойства симметрических уравнений:

    10.  У любого симметрического уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1.

    20.  У симметрического уравнения корней, равных нулю, нет.

    30. При делении многочлена нечетной степени на (х + 1) частное является снова симметрическим многочленом.

    3. Возвратные уравнения.

    Уравнение вида:

    anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0

    называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т.е. an-1=ak, при k=0, 1, …, n.

    Порядок действий при решении возвратных уравнений вида ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0:

    • разделить левую и правую части уравнения на  . При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения;

    • группировкой привести полученное уравнение к виду 



    • ввести новую переменную  , тогда выполнено
       , то есть 

    в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным: at2 +bt+c–2a=0;

    • решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

    Элементы линейной алгебры

    Матрицы и действия над ними.

    Экономико-математические методы.

    Матричные модели.

    Определитель матрицы.

    Системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения (метод обратной матрицы, метод Гаусса, метод Крамера).

    Моделирование и решение задач линейного программирования.

    Введение в анализ

    Функции двух и нескольких переменных, способы задания, символика, область определения.

    Предел функции.

    Бесконечно малые функции.

    Метод эквивалентных бесконечно малых величин.

    Раскрытие неопределённости вида 0/0 и ∞/∞.

    Замечательные пределы.

    Непрерывность функции.

    Дифференциальное исчисление

    Производная функции.

    Первый дифференциал функции, связь с приращением функции.

    Основные правила дифференцирования.

    Производные и дифференциалы высших порядков.

    Возрастание и убывание функций.

    Экстремумы функций.

    Частные производные функции нескольких переменных.

    Полный дифференциал.

    Частные производные высших порядков.

    Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения

    Первообразная функция и неопределённый интеграл.

    Основные правила неопределённого интегрирования.

    Задача нахождения площади криволинейной трапеции.

    Определённый интеграл.

    Формула Ньютона-Лейбница.

    Основные свойства определённого интеграла.

    Интегрирование по бесконечному промежутку.

    Интегрирование неограниченных функций.

    Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

    Основные понятия и определения дифференциальных уравнений.

    Теория вероятностей и математическая статистика

    Элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания.

    Генерирование основных комбинаторных объектов.

    Основные понятия теории вероятностей.

    Классическое, геометрическое и статистическое определение вероятности.

    Теорема сложения и умножения вероятностей.

    Формула полной вероятности.

    Формула Байеса.

    Бином Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля.

    Генеральная и выборочная совокупности.

    Вариационный ряд и его графическое изображение.

    Числовые характеристики вариационных рядов.

    Правило суммы и правило произведения.

    Сочетания, размещения и перестановки с повторениями и без повторений.



    написать администратору сайта