ПСК. Теория вероятностей и математическая статистика
 Скачать 0.64 Mb.
|
|
Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Кафедра вычислительных методов и программирования А.И. Волковец, А.Б. Гуринович ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Практикум для студентов всех специальностей БГУИР дневной формы обучения Минск 2003 УДК 519.2 (075.8) ББК 22.171+22.172 я 73 В 67 Волковец А.И. В 67 Теория вероятностей и математическая статистика: Практикум для студ. всех спец. БГУИР дневной формы обучения / А.И. Волковец, А.Б. Гуринович. – Мн.: БГУИР, 2003. – 68 с.: ил. ISBN 985-444-533-X. Содержит задачи, рекомендуемые для решения на практических занятиях по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика». Темы практических занятий соответствуют типовой рабочей программе курса. Во всех разделах приводятся необходимые теоретические сведения и примеры решения типовых задач. УДК 519.2 (075.8) ББК 22.171+22.172 я 73 © Волковец А.И., Гуринович А.Б., 2003 ISBN 985-444-533-X © БГУИР, 2003 СОДЕРЖАНИЕ 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ 2. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 3. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА 4. ПОВТОРЕНИЯ НЕЗАВИСИМЫХ ОПЫТОВ 5. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 6. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ 7. ТИПОВЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 8. ФУНКЦИИ ОДНОГО СЛУЧАЙНОГО АРГУМЕНТА 9. ДВУХМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 10. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВУХМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 11. ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 12. ОЦЕНКА ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 13. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК И ПАРАМЕТРОВ 14. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК 15. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 16. ОЦЕНКА КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ И ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ ЛИТЕРАТУРА ПРИЛОЖЕНИЕ 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Достоверным называется событие Ω, которое происходит в каждом опыте. Невозможным называется событие ∅, которое в результате опыта произойти не может. Несовместными называются события, которые в одном опыте не могут произойти одновременно. Суммой (объединением) двух событий A и B (обозначается A+B, A ∪B) называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т.е. A или B, или оба одновременно. Произведением (пересечением) двух событий A и B (обозначается A ⋅B, A∩B) называется такое событие, которое заключается в том, что оба события A и B происходят вместе. Противоположным событию A называется такое событие A , которое заключается в том, что событие A не происходит. События A k (k = 1, 2, ..., n) образуют полную группу, если они попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие. При преобразовании выражений можно пользоваться следующими тождествами: ; ; ; ; ; A A A A A A А A + = Ω ⋅ = ∅ + Ω = Ω ⋅ Ω = ⋅∅ = ∅ ; ; ; A A A B A B A B A B A A B A B + ∅ = + = ⋅ ⋅ = + + ⋅ = + Классическое определение вероятности : вероятность случайного события A определяется по формуле ( ) m p A n = , (1.1) где n – число равновозможных исходов данного опыта; m – число равновозможных исходов, приводящих к появлению события. Геометрическое определение вероятности . Пусть в некоторую область случайным образом попадает точка T, причем все точки области Ω равноправны в отношении попадания точки T. Тогда за вероятность попадания точки T в область A принимается отношение ( ) ) ( ) ( Ω = S A S A p , (1.2) где S(A) и S( Ω) – геометрические меры (длина, площадь, объем и т.д.) областей A и Ω соответственно. Основные комбинаторные формулы Пусть имеется множество X = {x 1 , x 2 , ..., x n }, состоящее из n различных элементов. (n, r)- выборкой называется множество, состоящее из r элементов, взятых из множества X. Упорядоченной называется выборка, для которой важен порядок следования элементов. Если каждый элемент множества X может извлекаться несколько раз, то выборка называется выборкой с повторениями Число упорядоченных (n, r)-выборок ( размещений ) с повторениями ) , ( ˆ r n A и без повторений A(n, r) равно r n r n A = ) , ( ˆ , (1.3) A n r n n r ( , ) ! ( )! = − . (1.4) Если r=n, то размещения без повторений называются перестановками, т.е. это – расположение элементов исходного множества в определенном порядке. Число перестановок из n элементов равно ! 1 ... n P n n = = ⋅ ⋅ . (1.5) Пустое множество можно упорядочить только одним способом: P 0 = 0! = 1. Число неупорядоченных (n, r)-выборок ( сочетаний ) с повторениями r n Cˆ и без повторений r n C равно ( ) ( ) ! 1 ! ! 1 ˆ − − + = n r r n C r n , (1.6) ( ) ! ! ! r n r n C r n − = (1.7) Число различных разбиений множества из n элементов на k непересекающихся подмножеств (причем в 1-м подмножестве r 1 элементов, во 2-м r 2 элементов и т.д., а n = r 1 + r 2 +... + r k ) равно ( ) ! ! ! ! ,..., , 2 1 2 1 k k n r r r n r r r P = . (1.8) Пример 1.1. В партии транзисторов n стандартных и m бракованных. При контроле оказалось, что первые k транзисторов стандартны. Найти вероятность p того, что следующий транзистор будет стандартным. Решение. Всего осталось для проверки n + m – k транзисторов, из которых стандартных n – k. По формуле классического определения вероятности k m n k n p − + − = Пример 1.2. Среди кандидатов в студенческий совет факультета три первокурсника, пять второкурсников и семь студентов третьего курса. Из этого состава наугад выбирают пять человек. Найти вероятность того, что все первокурсники попадут в совет. Решение. Число способов выбрать пять человек из 3 + 5 + 7 = 15 равно числу сочетаний из 15 по 5 (неупорядоченная выборка без повторений): 5 15 15! 3003 5! 10! C = = ⋅ Выбрать трех первокурсников из трех можно одним способом. Оставшихся двух членов совета можно выбрать 2 12 C способами: 2 12 12! 66 2! 10! C = = ⋅ Искомая вероятность p = 66 / 3003 = 2 / 91. Пример 1.3. Банковский сейф имеет кодовый замок, состоящий из шести дисков с восемью буквами на каждом. Сейф открывается при наборе единственной комбинации букв. Злоумышленник пытается открыть сейф, причем на проверку одной кодовой комбинации у него уходит 10 секунд. Какова вероятность того, что злоумышленник успеет открыть сейф, если в его распоряжении 1 час? Решение. Обозначим искомую вероятность через P(A). По формуле (1.1) она будет равна m/n . Здесь n – общее число исходов, равное числу кодовых комбинаций замка, оно определяется по формуле (1.3) и равно 8 6 ; m – число благоприятствующих исходов, в данном случае равное числу комбинаций, которые успеет испробовать злоумышленник за 1 час, т.е. 360. Таким образом, искомая вероятность будет равна 3 6 360 ( ) 1,4 10 8 P A − = ≈ ⋅ ЗАДАЧИ 1.1. Пусть А, B, С – три события, наблюдаемые в данном эксперименте. Выразить следующие события через события А, В и С: D = {ни одно из трех событий А, B, С не произойдет); Е = {из трех событий А, B, С произойдет ровно одно}; F = {из трех событий произойдет ровно два}; G = {из трех событий произойдет хотя бы одно]; H = {из трех событий произойдет не менее двух}. Ответ: , , , , D ABC E ABC ABC ABC F ABC ABC ABC G A B C H AB AC BC = = + + = + + = + + = + + 1.2. Прибор состоит из двух блоков первого типа и трех блоков второго типа. Прибор работает, если исправен хотя бы один блок первого типа и не менее двух блоков второго типа. Пусть события: А i , i = 1, 2 – исправен i-й блок первого типа, B j , j = 1, 2, 3 – исправен j – блок второго типа. Выразить событие С, означающее работу прибора, через события А i , и B j Ответ: С = (А 1 + А 2 )(В 1 В 2 +В 1 В 3 + В 2 В 3 ). 1.3. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера. Полученные кубики перемешаны. Определить вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь две окрашенные грани. Ответ: 0,096. 1.4. Группа, состоящая из 8 человек, занимает места за круглым столом в случайном порядке. Какова вероятность того, что два определенных лица окажутся сидящими рядом? Ответ: 2/7. 1.5. Шесть человек вошли в лифт на первом этаже семиэтажного дома. Считая, что любой пассажир может с равной вероятностью выйти на любом этаже, кроме первого, найти вероятность того, что на каждом этаже выйдет по одному пассажиру. Ответ: 5/324. 1.6. Из разрезной азбуки выкладывается слово МАТЕМАТИКА. Затем все буквы этого слова перемешиваются и выкладываются в случайном порядке. Какова вероятность того, что снова получится слово МАТЕМАТИКА Ответ: 6,6 ⋅ 10 –6 1.7. Самолет, имеющий радиолокационную станцию с дальностью действия d, осуществляет поиск со скоростью ν в достаточно большом районе площадью S, в любой точке которого может находиться в течение времени t подводная лодка. Найти вероятность р обнаружения подводной лодки, если время t невелико и лодка обнаруживается при попадании в зону действия радиолокатора. Ответ: (πd 2 + 2d ν t) / S. 1.8. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода пароходов независимо и равновозможно в течение суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать причала, если время стоянки первого парохода – один час, а второго – два часа. Ответ: 139/1152. 2. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Вероятность суммы несовместных событий A 1 , ... , A n равна сумме вероятностей этих событий ( ) ( ) 1 2 1 n n i i p A A A p A = + + + = ∑ … . (2.1) Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей каждого из событий минус вероятность их совместного появления: p(A + B) = p(A) + p(B) – p(A ⋅ B). (2.2) Вероятность суммы трех совместных событий вычисляется по следующей формуле: p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) – p(A ⋅ B) – p(B ⋅ C) – p(A ⋅ C) + p(A ⋅ B ⋅ C). (2.3) Вероятность суммы n событий A 1 , ... , A n равна 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) . k k n n n n i i i i i i i i n n k n i i i n i i p A p A p A A p A A A p A A A = = = = + + = = = − + + − + + − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ С учетом того, что ( ) 1 ( ) p A p A = − , вероятность суммы n событий (если n > 3) удобнее вычислять по формуле 1 2 1 2 ( ) 1 ( ) n n p A A A p A A A + + + = − ⋅ ⋅ ⋅ … … (2.4) Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого. ( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) p AB p A p B A p B p A B = = . (2.5) Для независимых событий ( ) ( ) ( ) p AB p A p B = . (2.6) Вероятность произведения n событий ( 1, 2, , ) i A i n = … равна 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( / ) ( / ) ( / ), n n n p A A A p A p A A p A A A p A A A A − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ … … … (2.7) где 1 1 ( / ) k k p A A A − ⋅ ⋅ … – вероятность появления события A k , при условии, что события 1 2 1 , , , k A A A − … в данном опыте произошли. В случае независимых событий данная формула упрощается: p(A 1 ⋅ A 2 ⋅ … ⋅ A n ) = p(A 1 ) ⋅ p(A 2 ) ⋅ …⋅ p(A n ). (2.8) Пример 2.1. Сообщение передается одновременно по n каналам связи, причем для надежности по каждому каналу оно повторяется k раз. При одной передаче сообщение (независимо от других) искажается с вероятностью p. Каждый канал связи (независимо от других) «забивается» помехами с вероятностью q; «забитый» канал не может передавать сообщения. Найти вероятность того, что адресат получит сообщение без искажений. Решение. Обозначим события: A = {хотя бы один раз сообщение передано без искажений}; B i = {по i-му каналу сообщение хотя бы один раз было передано без искажений}. Для выполнения события i B i-й канал, во-первых, не должен быть забит помехами и, во-вторых, хотя бы одно сообщение по нему не должно быть искажено. Вероятность того, что канал не «забит» помехами, равна 1 – q. Вероятность того, что хотя бы одно сообщение передано без помех, равна 1 – p k (p – вероятность того, что все сообщения переданы с искажениями). Тогда p(B) = (1 – q) ⋅(1 – p k ). Вероятность события A, состоящего в том, что хотя бы на одном канале произойдет событие, равна 1 1 1 ( ) 1 ( ) 1 1 (1 ( )) n n n i i i i i i p A p B p A p B p B = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = − = − = − − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∏ U I )] 1 )( 1 ( 1 [ 1 n k p q − − − − Пример 2.2. Какова вероятность угадать в спортлото «5 из 36» не менее трех номеров? Решение. Событие А – угадать не менее трех номеров в спортлото – разбивается на сумму трех несовместных событий: А 3 – угадать ровно три номера; А 4 – угадать ровно четыре номера; А 5 – угадать ровно пять номеров. При этом p(A) = p(A 3 ) + p(A 4 ) + p(A 5 ), так как события несовместны. Найдем вероятность p(A 3 ). Для этого воспользуемся формулой (1.1). Здесь общее число комбинаций n по формуле (1.7) будет равно числу возможных заполнений карточек: 5 36 36! 376992 5!(36 5)! n C = = = − Число благоприятствующих комбинаций m в этом случае определяется следующим образом. Выбрать три номера из пяти выигравших можно 3 5 10 C = способами. Однако каждый выбор трех правильных номеров сочетается с выбором двух неправильных номеров. Число таких выборок равно 2 31 465 C = Таким образом, число благоприятствующих событий равно произведению найденных чисел: 3 2 5 31 10 465 4650 m C C = ⋅ = ⋅ = Тогда 1 3 4650 ( ) 0,123 10 376992 m P A n − = = ≈ ⋅ Аналогично вычисляются 3 4 ( ) 0,478 10 p A − = ⋅ , 5 5 ( ) 0,265 10 p A − = ⋅ . Таким образом, искомая вероятность будет равна 1 3 5 1 ( ) 0,123 10 0,478 10 0,265 10 0,128 10 p A − − − − = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ Пример 2.3. В урне а белых и b черных шаров. Из урны вынимаются сразу два шара. Найти вероятность того, что эти шары будут разных цветов. Решение. Введем следующие обозначения: A – шар белый, B – шар черный, С – шары разных цветов. Событие С может появиться в двух несовместных вариантах: (Б, Ч) или (Ч, Б). По правилу умножения вероятностей: 1 ) / ( ) ( ) ( − + ⋅ + = ⋅ = b a b b a a A B p A p AB p , 1 ) / ( ) ( ) ( − + ⋅ + = ⋅ = b a a b a b B A p B p BA p По правилу сложения вероятностей несовместных событий ) 1 )( ( 2 ) ( ) ( ) ( − + + = + = b a b a ab BA p AB p C p |