ПСК. Теория вероятностей и математическая статистика
 Скачать 0.64 Mb.
|
|
ЗАДАЧИ 13.1 Найти методом моментов оценку параметра λ случайной величины, распределенной по экспоненциальному закону (см. пример13.2) Ответ: 1 ˆ x λ = 13.2. Отобрано 5 телевизоров с целью контроля некоторых параметров. Результаты измерения напряжения источника питания в телевизорах: 12; 11,5; 12,2; 12,5; 12,3 В. Методом наибольшего правдоподобия найти оценку параметра m, если напряжение – случайная величина X, распределенная по нормальному закону . Ответ: ˆ m = 12,1 В. 13.2. Определить методом наибольшего правдоподобия оценку параметра p биномиального распределения ! ( ) !( )! i n i i n p X i p p q i n i − = = = − , если в n1 независимых опытах событие A появилось m1 раз и в n2 независимых опытах – m2 раз. Ответ: p = (m1 + m2)/(n1 + n2). 14. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК Доверительным называется интервал, в который с заданной вероятностью (надежностью) γ попадают значения параметра Q. Вероятность γ выбирается близкой к 1: 0,9; 0,95; 0,975; 0,99. Доверительный интервал надежностью γ для математического ожидания случайной величины X с неизвестным законом распределения: 0 0 , X S z S z x m x n n γ γ ⋅ ⋅ − < < + (14.1) где arg ( ) 2 z γ γ = Φ – значение аргумента функции Лапласа Ф(zγ) = 2 γ (см. приложение). Доверительный интервал надежностью γдля математического ожидания нормально распределенной случайной величины X : 0 , 1 0 , 1 , n n X S t S t x m x n n γ γ − − ⋅ ⋅ − < < + (14.2) где , 1 n t γ − – значение, взятое из таблицы распределения Стьюдента (см. приложение). Доверительный интервал надежностью γдля дисперсии случайной величины X с неизвестным законом распределения: 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 1 1 X S z S D S z S n n γ γ − < < + − − , (14.3) где arg ( ) 2 z γ γ = Φ – значение аргумента функции Лапласа Ф(zγ) = 2 γ (см. приложение). Доверительный интервал надежностью γдля дисперсии нормально распределенной случайной величины X: 2 2 0 0 2 2 1 1 , 1 , 1 2 2 ( 1) ( 1) , X n n n S n S D γ γ χ χ − + − − − − < < (14.4) где 2 2 1 1 , 1 , 1 2 2 , n n γ γ χ χ − + − − – значения, взятые из таблицы распределения 2 χ (см. приложение). Доверительный интервал надежностью γдля вероятности события A в схеме независимых опытов Бернулли * * * * * * (1 ) (1 ) ( ) p p p p p z p A p z n n γ γ − − − ⋅ < < + ⋅ , (14.5) где * * ( ) m p p A n = = – частота появления события A в n опытах; m – число опытов, в которых произошло событие A; n – число проведенных опытов. Пример 14.1. Производится серия независимых опытов с целью определения вероятности события A. В 100 опытах событие произошло 40 раз. Частота события * ( ) m p A n = принимается за приближенное значение вероятности этого события. Найти вероятность того, что допущенная при этом ошибка меньше 0,1. Решение. Необходимо найти надежность γ следующего доверительного интервала: ( ) * * * ( ) ( ) 0,1 ( 0,1 ( ) 0,1) p p A p A p p p A p γ − ≤ = − < < + = , т.е. * * (1 ) 0,1 p p z n γ − ⋅ = (см. формулу (14.5)). С учетом того, что * 40 0,1 100 0,4, z 2,041 100 0,4 0,6 p γ ⋅ = = = = ⋅ , искомая вероятность 2 (2, 041) 0, 958 γ = ⋅ Φ ≈ Пример 14.2. Найти минимальный объем выборки, при котором с вероятностью 0,95 точность оценки математического ожидания случайной величины по выборочному среднему равна 0,2, если S 0 = 1,5. Решение. Из условия задачи известно, что ( ) 0,2 ( 0,2 0,2) 0,95 X X p m x p x m x − < = − < < + = В соответствии с формулой (14.1) точность оценки математического ожидания 2 0 0 0, 2 0, 2 S z S z n n γ γ ⋅ ⋅ ⎛ ⎞ < ⇒ > ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Из таблицы функции Лапласа выбираем значение 0, 95 arg ( ) 1, 96 2 z γ = Φ = Следовательно, ( ) 2 1,5 1,96/0,2 216,09 217 n > ⋅ > = Пример 14.3. По результатам 10 измерений определена несмещенная оценка дисперсии 2 2 0 4м S = . Определить доверительный интервал для дисперсии с надежностью 0,96. Решение. Воспользуемся формулой (14.4), так как погрешности измерений, как правило, распределены по нормальному закону. Из таблицы 2 χ выбираем значение 2 2 0,02;9 0,98;9 19, 68; 2,53 χ χ ≈ ≈ Поэтому 9 4 9 4 1,829 14,23 19,68 2,53 X X D D ⋅ ⋅ < < ⇒ < < ЗАДАЧИ 14.1. Вычислить доверительный интервал для математического ожидания емкости конденсатора, если 2 0 м к Ф x = , n = 16, доверительная вероятность γ = 0,9, среднее квадратическое отклонение равно 4 мкФ. Ответ: (18,35 мкФ; 21,65 мкФ). 14.2. Производится серия независимых опытов с целью определения вероятности события A. В результате 100 опытов событие произошло 36 раз. Относительная частота принимается за приближенное значение вероятности. Каково должно быть число опытов, чтобы с вероятностью 0,99 можно было утверждать, что допущенная при этом ошибка не превышает 0,05 ? Ответ: 139. 14.3. По результатам пяти измерений определена несмещенная состоятельная оценка дисперсии 2 2 0 10м S = . Оценить вероятность того, что истинное значение дисперсии попадает в интервал (5м2; 20 м2). Ответ: 0,64. 14.4. Что происходит с длиной доверительного интервала при увеличении: а) объема выборки n, б) доверительной вероятности γ? Ответ: а) уменьшается; б) увеличивается. 15. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Критерием согласия называется случайная величина ( ) 1 , , , n U x x ϕ = K где x i – значение выборки, которая позволяет принять или отклонить гипотезу о предполагаемом законе распределения. Алгоритм проверки гипотезы при помощи критерия согласия 2 χ : 1. Построить интервальный статистический ряд вероятностей и гистограмму. 2. По виду гистограммы выдвинуть гипотезу H0: f(x) = f0(x), F(x) = F0(x), H1: f(x) ≠ f0(x), F(x) ≠ F0(x), где f0(x), F0(x) – плотность и функция гипотетического закона распределения. 3. Используя метод моментов или максимального правдоподобия, определить оценки неизвестных параметров 1 ˆ ˆ , ..., m Q Q гипотетического закона распределения. 4. Вычислить значение критерия по формуле ( ) ( ) 2 2 * 2 1 1 M M j j j j j j j j p p np n p np ν χ = = − − = = ∑ ∑ , (15.1) где pj – теоретическая вероятность попадания случайной величины в j - й интервал при условии, что гипотеза H 0 верна: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) j j B j j j j j A p p A X B f x dx F B F A = ≤ < = = − ∫ . (15.2) Замечания . При расчете p 1 и p M в качестве крайних границ первого и последнего интервалов A 1 , B M следует использовать теоретические границы гипотетического закона распределения. Например, для нормального закона A 1 = – ∞ , BM = + ∞ . После вычисления всех вероятностей pi проверить, выполняется ли контрольное соотношение 1 1 0,01 M i j p = − ≤ ∑ 5. Из таблицы 2 χ (см. приложение) выбирается значение 2 ,k α χ , где α – заданный уровень значимости ( α = 0,05 или 0,01), а k – число степеней свободы, определяемое по формуле - 1 - k M s = , где s – число параметров гипотетического закона распределения, значения которых были определены в п. 3. 6. Если 2 2 ,k α χ χ > , то гипотеза H 0 отклоняется, в противном случае нет оснований ее отклонить. Последовательность действий при проверке гипотезы о законе распределения при помощи критерия согласия Колмогорова следующая. 1. Построить вариационный ряд и график эмпирической функции распределения F *( x ) (см. (12.1)). 2. По виду графика F *( x ) выдвинуть гипотезу: H 0: F ( x ) = F 0( x ), H 1: F ( x ) ≠ F 0( x ), где F 0( x ) – функция гипотетического закона распределения. 3. Используя метод моментов или максимального правдоподобия, определить оценки неизвестных параметров 1 ˆ ˆ , ..., m Q Q гипотетического закона распределения. 4. Рассчитать 10 − 20 значений функции F 0 ( x ) и построить ее график в одной системе координат с функцией F *( x ). 5. По графику определить максимальное по модулю отклонение между функциями F *( x ) и F 0 ( x ). * 0 1 max ( ) ( ) . n i i i Z F x F x = = − (15.3) 6. Вычислить значение критерия Колмогорова n Z λ = ⋅ (15.4) 7. Из таблицы распределения Колмогорова (см. приложение) выбрать критическое значение λγ , 1 γ α = − . Здесь α – заданный уровень значимости ( α = 0,05 или 0,01). 8. Если λ > λγ , то нулевая гипотеза H 0 отклоняется, в противном случае нет оснований ее отклонить. Пример 15.1 . Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины X и проверить ее с помощью критерия χ 2. Вариационный ряд, интервальные статистические ряды вероятностей и гистограммы распределения случайной величины X приведены в примере 12.2. Уровень значимости α равен 0,05. Решение . По виду гистограмм, приведенных в примере 12.2, выдвигаем гипотезу о том, что случайная величина X распределена по нормальному закону: H 0: 2 0 2 1 ( ) ( ) exp 2 2 x a f x σ σ π ⎧ ⎫ − = − ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ , 0 ( ) 0, 5 x m F x σ − ⎛ ⎞ = + Φ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; H 1: f ( x ) ≠ N ( m , σ ). Используя метод моментов, определим оценки неизвестных параметров m и σ гипотетического (нормального) закона распределения: 0 ˆ ˆ 1, 7 , = 1, 9 8 m x S σ = = − = Значение критерия вычисляем по формуле (15.1): * 2 10 2 1 ( ) 100 j j j j p p p χ = − = ∑ При проверке гипотезы используем равновероятностную гистограмму. В этом случае * 10 0,1. 100 j j p n ν = = = Теоретические вероятности pi рассчитываем по формуле (15.2) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) j j j j j B x A x p F B F A S S − − = − = Φ −Φ : p 1 = Ф((–4,5245 + 1,7) / 1,98) – Ф((– ∞ + 1,7) / 1,98) = Ф(–1,427) – Ф(– ∞ ) = 0,078. p 2 = Ф((–3,8865 + 1,7) / 1,98) – Ф((–4,5245 + 1,7) / 1,98) = Ф(–1,104) + 0,845 = 0,058. p 3 = 0,094; p 4 = 0,135; p 5 = 0,118; p 6 = 0,097; p 7 = 0,073; p 8 = 0,059; p 9 = 0,174; p 10 = Ф((+ ∞ + 1,7) / 1,98) – Ф((0,6932 + 1,7) / 1,98) = 0,114. После этого проверяем выполнение контрольного соотношения 10 1 1 0 0, 01. j j p = − = < ∑ Тогда 2 2 2 2 (0,078 0,1) (0,064 0,1) (0,114 0,1) 100 0,078 0,064 0,114 χ ⎛ ⎞ − − − = ⋅ + + + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ L = 100 ⋅ (0,0062 + 0,0304 + 0,0004 + 0,0091 + 0,0028 + 0,0001 + 0,0100 + + 0,0285 + 0,0315 + 0,0017 ) = 100 ⋅ 0,1207 = 12,07. После этого из таблицы распределения χ 2 выбираем критическое значение 2 2 ; 0,05; 7 14,07 k α χ χ = = . Так как 2 14,07, χ < то гипотеза H 0 принимается (нет основания ее отклонить). Пример 15.2 . По критерию Колмогорова проверить гипотезу о равномерном законе распределения R (0,5; 5,25) случайной величины по выборке объема 10: 2,68 1,83 2,90 1,03 0,90 4,07 5,05 0,94 0,71 1,16, уровень значимости α = 0,05. Решение . Вариационный ряд данной выборки имеет вид: 0,71 0,90 0,94 1,03 1,16 1,83 2,68 2,90 4,07 5,05. После этого строим график эмпирической функции распределения F *( x ) (рис. 15.1). Рис. 15.1 Теоретическая функция распределения F 0( x ) равномерного закона R (0,5;5,25) равна ( ) 0 0, 0,5 ( 0,5) /(5,25 0,5),0,5 5,25 1, 5,25 x F x x x x < ⎧ ⎪ = − − ≤ < ⎨ ⎪ > ⎩ Максимальная разность по модулю между графиками F *( x ) и F 0( x ) Z = 0,36 при х = 1,16. Вычислим значение критерия Колмогорова 10 0,36 1,14. n Z λ = ⋅ = ⋅ = Из таблицы Колмогорова выбираем критическое значение λ λ λ γ α = = = − 1 0 95 1 36 , , Так как λ < 1,36, гипотеза о равномерном законе распределения принимается. ЗАДАЧИ 15.1. С помощью критерия Колмогорова проверить гипотезу о законе распределения случайной величины по выборке, приведенной в задаче 12.2. 15.2. По критерию χ 2 проверить гипотезу о законе распределения по выборке, приведенной в задаче 12.3. 15.3. Проверить гипотезу о равномерном и экспоненциальном законах распределения по данным задачи 14.2. 1 2 3 4 5 x F (x) * F (x) 0 0,36 1 16. ОЦЕНКА КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ И ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ Пусть проводится n независимых опытов, в каждом из которых двухмерная СВ ( Х,У ) принимает определенные значения и результаты опытов представляют собой двухмерную выборку вида {( х 1 , у 1 ), ( х 2 , у 2 ), ( х n , у n )}. Первичная обработка опытных данных включает в себя обработку составляющих Х и У как одномерных величин (см. разделы 12–15) и вычисление оценок, присущих только двухмерным (многомерным) случайным величинам. Состоятельная несмещенная оценка корреляционного момента равна * 1 1 ( )( ), 1 n XY i i i K x x y y n = = ⋅ − − − ∑ (16.1) где xi , yi – значения, которые приняли случайные величины X , Y в i -м опыте; , x y – средние значения случайных величин X и Y соответственно. Состоятельная оценка |