ПСК. Теория вероятностей и математическая статистика
 Скачать 0.64 Mb.
|
|
ЗАДАЧИ 2.1. Вероятность безотказной работы блока в течение заданного времени равна 0,8. Для повышения надежности устанавливается такой же резервный блок. Найти вероятность безотказной работы системы с резервным блоком. Ответ: 0,96. 2.2. Двадцать экзаменационных билетов содержат по два неповторяющихся вопроса. Экзаменуемый знает ответы на 35 вопросов. Найти вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса одного билета или на один вопрос билета и один дополнительный вопрос из других билетов. Ответ: 0,837. 2.3. На шахматную доску наудачу ставят две ладьи. Вычислить Р(В/А), если А ={ладьи попали на клетки разного цвета}, В={ладьи побьют друг друга}. Ответ: 0,25. 2.4. Жюри состоит из трех судей. Первый и второй судьи принимают правильное решение независимо друг от друга с вероятностью р, а третий судья для принятия решения бросает монету. Окончательное решение жюри принимает по большинству голосов. Какова вероятность того, что жюри примет правильное решение? Ответ: р. 2.5. Продолжение. Все трое членов жюри принимают независимо друг от друга правильное решение с вероятностью р. Каким должно быть р, чтобы данное жюри принимало правильное решение с большей вероятностью, чем жюри из предыдущей задачи? Ответ: р > 1 / 2. 2.6. Имеется 10 ключей, из которых лишь один подходит к двери. Ключи пробуют подряд. Какова вероятность, что годный ключ попадет на четвертом шаге? Ответ: 0,1. 3. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА Допустим, что проводится некоторый опыт, об условиях которого можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез): {H1, H2, …, Hn}, Hi ∩ Hj = ∅ при i≠j. Событие A может появляться совместно с одной из гипотез Hi. Тогда полная вероятность события A равна ∑ = ⋅ = n i i i H A p H p A p 1 ) / ( ) ( ) ( (3.1) Если опыт произведен и произошло некоторое событие А, то определить вероятность гипотезы H k с учетом того, что произошло событие А, можно по формуле Байеса : 1 ( ) ( / ) ( ) / ) ( ) ( / ) k k k n i i i P H P A H P H A P H P A H = ⋅ = ⋅ ∑ (3.2) Пример 3.1. В продажу поступили телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 10% телевизоров с дефектом, второго – 5% и третьего – 3%. Какова вероятность купить неисправный телевизор, если в магазин поступило 25% телевизоров с первого завода, 55% – со второго и 20% – с третьего? Решение. С рассматриваемым событием A = {приобретенный телевизор оказался с дефектом} связано три гипотезы: H1 = {телевизор выпущен первым заводом}, H2 = {выпущен вторым заводом}, H3 = {выпущен третьим заводом}. Вероятности этих событий определяются из условия задачи: p(H1) = 0,25; p(H2) = 0,55; p(H3) = 0,2. Условные вероятности события A также определяются из условия задачи: p(A/H1) = 0,1; p(A/H2) = 0,05; p(A/H3) = 0,03. Отсюда по формуле полной вероятности следует: p(A) = 0,25 ⋅0,1 + 0,55⋅0,05 + 0,2⋅0,03 = 0,0585. Пример 3.2. На вход радиоприемного устройства с вероятностью 0,9 поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0,1 только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то приемник с вероятностью 0,8 регистрирует наличие сигнала, если поступает только помеха, то регистрируется наличие сигнала с вероятностью 0,3. Известно, что приемник показал наличие сигнала. Какова вероятность того, что сигнал действительно пришел? Решение. С рассматриваемым событием A = {приемник зарегистрировал наличие сигнала} связано две гипотезы: H1 = {пришел сигнал и помеха}, H2 = {пришла только помеха}. Вероятности этих гипотез p(H1) = 0,9, p(H2) = 0,1. Условные вероятности события A по отношению к гипотезам H1 и H2 находим из условия задачи: p(A/H1) = 0,8, p(A/H2) = 0,3. Требуется определить условную вероятность гипотезы H1 по отношению к событию A, для чего воспользуемся формулой Байеса: 96 , 0 3 , 0 1 , 0 8 , 0 9 , 0 8 , 0 9 , 0 ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( 2 2 1 1 1 1 1 = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = H A H p H A p H p H A p H p A H p Пример 3.3. Для решения вопроса идти в кино или на лекцию, студент подбрасывает монету. Если студент пойдет на лекцию, он разберется в теме с вероятностью 0,9, а если в кино – с вероятностью 0,3. Какова вероятность того, что студент разберется в теме? Решение. Применим формулу полной вероятности (3.1). Пусть А – событие, состоящее в том, что студент разобрался в теме, событие (гипотеза) H 1 – студент идет в кино, Н 2 – студент идет на лекцию. Известны из условия задачи следующие вероятности: P(H 1 ) = P(Н 2 ) = 0,5; P(A / Н 1 ) = 0,3; P(A / Н 2 ) = 0,9. Искомая вероятность события А будет равна P(A) = P(H 1 ) ⋅ P(A / Н 1 ) + P(Н 2 ) ⋅ P(A / Н 2 ) = 0,5 ⋅ 0,3 + 0,5 ⋅ 0,9 = 0,6. Пример 3.4. Пусть одна монета из 10 000 000 имеет герб с обеих сторон, остальные монеты обычные. Наугад выбранная монета бросается десять раз, причем во всех бросаниях она падает гербом кверху. Какова вероятность того, что была выбрана монета с двумя гербами? Решение. Применим формулу Байеса (3.2). Пусть событие А – монета десять раз подряд падает гербом кверху. Гипотезы: H 1 – выбрана обычная монета; Н 2 – выбрана монета с двумя гербами. По условию задачи необходимо определить условную вероятность P(Н 2 / A). Неизвестные в формуле (3.2) вероятности равны P(Н 1 ) = 0,9999999; P(Н 2 ) = 10 –7 ; P(A / Н 1 ) = 0,5 10 ; P(A / Н 2 ) = 1. Следовательно, 7 4 2 2 2 7 10 1 1 2 2 ( ) ( / ) 10 1 ( / ) 1,02 10 . ( ) ( / ) ( ) ( / ) 10 1 0,9999999 0,5 P H P A H P H A P H P A H P H P A H − − − ⋅ ⋅ = = ≈ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ЗАДАЧИ 3.1. Имеются две урны. В первой урне два белых и три черных шара, во второй – три белых и пять черных. Из первой и второй урн не глядя берут по одному шару и кладут их в третью урну. Шары из третьей урны перемешиваются и берут из нее наугад один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белый. Ответ: 31/80. 3.2. Прибор, установленный на борту самолета, может работать в двух режимах: в условиях нормального полета и в условиях перегрузки при взлете и посадке. Нормальный режим полета составляет 80% времени полета, перегрузка – 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время полета в нормальном режиме равна 0,1, в условиях перегрузки – 0,4. Вычислить надежность прибора за время полета. Ответ: 0,84. 3.3. Шесть шаров, среди которых 3 белых и 3 черных, распределены по двум урнам. Наудачу выбирается урна, а из нее один шар. Как нужно распределить шары по урнам, чтобы вероятность вынуть белый шар была максимальной? Ответ: в одной урне один белый шар, а в другой – остальные. 3.4. Среди поступающих на склад деталей 30% – из цеха № 1, 70% – из цеха № 2. Вероятность брака для цеха № 1 равна 0,02; для цеха № 2 – 0,03. Наудачу взятая деталь оказалась доброкачественной. Какова вероятность того, что она изготовлена в цехе № 1? Ответ: 0,302. 3.5. В двух коробках имеются однотипные конденсаторы. В первой коробке 20 конденсаторов, из них 2 неисправных, во второй 10, из них 3 неисправных. Наугад взятый конденсатор оказался годным. Из какой коробки он вероятнее всего взят? Ответ: из первой. 3.6. Прибор состоит из двух последовательно включенных узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени Т) первого узла равна 0,9, второго 0,8. За время испытаний в течение времени Т зарегистрирован отказ прибора. Найти вероятность того, что отказал только первый узел. Ответ: 0,85. 3.7. Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для каждого стрелка соответственно равны: 0,7, 0,75, 0,8. Какова вероятность того, что второй стрелок промахнулся, если после выстрелов в мишени осталось две пробоины? Ответ: 0,33. 3.8. По каналу связи передается цифровой текст, содержащий только три цифры 1, 2, 3, которые могут появляться в тексте с равной вероятностью. Каждая передаваемая цифра в силу наличия шумов принимается правильно с вероятностью 0,9 и с вероятностью 0,1 принимается за какую-либо другую цифру. Цифры искажаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что было передано 111, если принято 123. Ответ: 0,0025. 4. ПОВТОРЕНИЯ НЕЗАВИСИМЫХ ОПЫТОВ Пусть производится n независимых одинаковых опытов. В результате каждого опыта событие A появляется с вероятностью р. Вероятность P(n, k) того, что в последовательности из n опытов событие А произойдет ровно k раз ( формула Бернулли ), равна ! ( , ) , 0 ! ( )! k k n k k n k n n P n k C p q p q k n k n k − − = ⋅ ⋅ = ⋅ ≤ ≤ ⋅ − , (4.1) где q =1 – р – вероятность того, что событие А не произойдет в одном опыте. Вычисление вероятностей ( , ) P n k при больших значениях n по формуле Бернулли проблематично. Поэтому вычисление соответствующих вероятностей проводится с помощью следующих приближенных формул. Если количество испытаний велико n → ∞, а вероятность события мала 0 p → , так что np → a, 0 < a < ∞ и p << 1 n , то используется формула Пуассона ( , ) , 0, ! k a a P n k e k n k − ≈ ⋅ = . (4.2) Если количество испытаний n велико, вероятности p и q не малы, так что выполняются следующие условия: 0 < np – 3 npq , np + 3 npq < n, то применяются приближенные формулы Муавра–Лапласа : – локальная ( ) ( , ) , x P n k npq ϕ ≈ (4.3) где 2 1 ( ) exp , 2 2 x x ϕ π ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ k np x npq − = ; – интегральная 1 2 2 1 ( , ) ( ) ( ) P n k k k x x ≤ ≤ ≈Φ −Φ , (4.4) где x k np npq 1 1 = − ( ) , x k np npq 2 2 = − ( ) , 2 0 1 ( ) exp 2 2 x x x dx π ⎛ ⎞ Φ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ – функция Лапласа. Функции ϕ (х) и Ф(х) табулированы (см. приложение). При использовании таблиц следует помнить, что ϕ (х) является четной ( ϕ (–х) = ϕ (х)), а функция Лапласа – нечетной (Ф(–х) = –Ф(х)). Пусть производится серия из n независимых испытаний, в результате каждого из которых может появиться одно из событий A 1, A 2, ... , Ar с вероятностями p 1, p 2, ... , pr соответственно. Вероятность того, что в серии из n испытаний событие A 1 наступит ровно k 1 раз, событие A 2 – k 2 раз, ... , событие Ar – kr раз ( k 1 + ... + kr = n ), равна 1 2 1 1 2 1 ! ( , , ..., ) ! ... ! r k k k r r r n P n k k p p p k k = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (4.5) Пример 4.1 . По каналу связи передается n = 6 сообщений, каждое из которых независимо от других с вероятностью p = 0,2 оказывается искаженным. Найти вероятности следующих событий: A = {ровно два сообщения из шести искажены}, B = {не менее двух сообщений из шести искажены}, C = {все сообщения будут переданы без искажений}, D = {все сообщения будут искажены}. Решение . По формуле Бернулли (4.1) 2 2 4 2 4 6 6! ( ) (1 ) 0,2 0.8 0,197 4! 2! P A C p p = ⋅ ⋅ − = ⋅ = ⋅ , P ( B ) = P (6,2) + P (6,3) + P (6,4) + P (6,5) + P (6,6) = 1- P (6,0) – P (6,1) = 0 0 6 1 1 5 6 1 5 6 6 1 (1 ) (1 ) 1 0,8 6 0,2 0,8 0,345 C p p C p p = − − − − = − − ⋅ ⋅ = , 6 ( ) (1 ) 0,262 P C p = − = , 6 6 ( ) 0,2 0,000064 P D p = = = Пример 4 2. Вероятность появления события A за время испытаний равна 0,8. Определить вероятность того, что в 100 испытаниях событие A появится: а) 80 раз; б) не менее 75 и не более 90 раз; в) не менее 75 раз. Решение 1) Воспользуемся локальной теоремой Муавра–Лапласа: ( ) 80 100 0,8 (100,80) , 0. 100 0,8 0,2 100 0,8 0,2 x P x ϕ − ⋅ = = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ϕ (0) = 0,3989, тогда P(100,80) = 0,0997. 2) Согласно интегральной теореме Муавра–Лапласа P(100,75 < k < 90) = 90 80 75 80 4 4 − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Φ −Φ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = Φ (2,5) – Φ (–1,25) = Φ (2,5) + Φ (1,25). Значение функции Лапласа определяем по таблице Лапласа: Φ (2, 5) = = 0,4938; Φ (1, 25) = 0,3943. P(100, 75 < k < 90) = 0,8881. ЗАДАЧИ 4.1. Устройство состоит из 8 независимо работающих элементов. Вероятности отказов каждого из элементов за время Т одинаковы и равны р = 0,2. Найти вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы 3 элемента из восьми. Ответ: 0,203. 4.2. На контроль поступила партия деталей из цеха. Известно, что 5% всех деталей не удовлетворяют стандарту. Сколько нужно испытать деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,95 обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь? Ответ: n > 59. 4.3. Вероятность появления события в одном опыте равна 0,78. Чему равно наивероятнейшее число наступления события в 150 опытах? Ответ: 117. 4.4. Вероятность появления событий в каждом из 100 независимых испытании равна р = 0,8. Найти вероятность того, что событие появляется не менее 75 раз и не более 90 раз? Ответ: 0,8882. 4.5. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,1. Найти вероятность того, что сообщение из 10 знаков: а) не будет искажено; б) содержит три искажения; в) содержит не более трех искажений. Ответ: а) 0,3487; б) 0,0574; в) 0,9872. 4.6. Из одной ЭВМ в другую необходимо переслать файл объемом 10 000 символов. Вероятность ошибки при передаче символа составляет 0,001. а) определить вероятность безошибочной передачи файла; б) вычислить вероятность того, что в переданном файле будет ровно 10 ошибок; в) определить, какова должна быть вероятность ошибки при передаче одного символа, чтобы вероятность передачи всего файла без ошибок составила 0,99. Ответ: а) 8,54·10 –4 ; б) 0,126; в) 1,005 ⋅ 10 –6 4.7. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно провести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие появится не менее 75 раз. Ответ: 100. 4.8. Вероятность успеха в каждом испытании равна р . Найти вероятность того, что k -й по порядку успех происходит в n -м испытании. Вычислить эту вероятность для р = 0,7; k = 5, n = 12. Ответ: 0,0011. 5. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Под случайной величиной (СВ) понимается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение, причем, заранее, до опыта, неизвестно, какое именно. Случайные величины в зависимости от вида множества значений могут быть дискретными или непрерывными |